1、高考大题专项练五 高考中的解析几何1.(2016 山西太原一模) 已知椭圆 M: =1(a0)的一个焦点为 F(-1,0),左右顶点分别为22+23A,B.经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D 两点.(1)求椭圆方程;(2)当直线 l 的倾斜角为 45时,求线段 CD 的长;(3)记 ABD 与ABC 的面积分别为 S1和 S2,求|S 1-S2|的最大值.导学号 372706462.已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足| |= (+)+2.+(1)求曲线 C 的方程;(2)点 Q(x0,y0)(-2n0),椭圆 C2的方程为
2、: =(0,且 1),则称22+22 22+22椭圆 C2是椭圆 C1的 倍相似椭圆.如图,已知 C2是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆,若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2于两点 M,N,试求弦长|MN|的取值范围.导学号 372706495.已知动点 C 是椭圆 : +y2=1(a1)上的任意一点,AB 是圆 G:x2+(y-2)2= 的一条直径2 94(A,B 是端点), 的最大值是 .314(1)求椭圆 的方程;(2)已知椭圆 的左、右焦点分别为点 F1,F2,过点 F2且与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 于 P,Q 两点.在线段 OF2上是否存在点 M(m,0),使得以 MP,
3、MQ 为邻边的平行四边形是菱形?若存在 ,求实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.导学号 372706506.已知椭圆 C: =1(ab0)的右焦点 F(1,0),过点 F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆22+22交于 P,Q 两点,当直线 PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为 60.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 O 为坐标原点 ,线段 OF 上是否存在点 T(t,0),使得 ?若存在,求出实=数 t 的取值范围;若不存在,说明理由.导学号 372706517.如图,已知椭圆 =1 的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的中点24+23为 G,AB
4、的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D,E 两点.(1)若点 G 的横坐标为 - ,求直线 AB 的斜率;14(2)记 GFD 的面积为 S1,OED(O 为原点)的面积为 S2.试问: 是否存在直线 AB,使得S1=S2?说明理由 .导学号 372706528.(2016 天津,理 19)设椭圆 =1(a )的右焦点为 F,右顶点为 A.已知 ,22+23 3 1|+1|=3|其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y轴交于点 H.若 BFHF,且 MOA
5、MAO,求直线 l 的斜率的取值范围.导学号 37270653参考答案高考大题专项练五 高考中的解析几何1.解(1)因为 F(-1,0)为椭圆的焦点,所以 c=1.又 b2=3,所以 a2=4,所以椭圆方程为 =1.24+23(2)因为直线的倾斜角为 45,所以直线的斜率为 1,所以直线方程为 y=x+1,和椭圆方程联立得到 24+23=1,=+1,消掉 y,得到 7x2+8x-8=0,所以 =288,x1+x2=- ,x1x2=- ,87 87所以|CD|= |x1-x2|= .1+2 2(1+2)2-412=247(3)当直线 l 无斜率时 ,直线方程为 x=-1,此时 D ,C ,ABD
6、,ABC 面积相等,|S 1-S2|=0.(-1,32) (-1,-32)当直线 l 斜率存在(显然 k0)时,设直线方程为 y=k(x+1)(k0),设 C(x1,y1),D(x2,y2),与椭圆方程联立得到 24+23=1,=(+1),消掉 y 得(3+4k 2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然 0,方程有根,且 x1+x2=- ,x1x2= ,823+42 42-123+42此时|S 1-S2|=2|y1|-|y2|=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=12|3+42= 123|+4|1223|4|=12212= ,3(当且 仅 当
7、 =32时 等号成立 )所以|S 1-S2|的最大值为 .32.解(1) =(-2-x,1-y), =(2-x,1-y), =(x,y), =(0,2), +| |= ( )+2,+ =2y+2,42+4(1-)2x 2=4y.曲线 C 的方程为 x2=4y.(2)设 Q ,(0,204)则 SQAB=2 ,(1-204)y= ,y= x,24 12k l= x0,12切线 l 的方程为 y- x0(x-x0)与 y 轴交点 M ,|PM|=1- .204=12 (0,-204) 204直线 PA 的方程为 y=-x-1,直线 PB 的方程为 y=x-1,由 得 xD= ,=-1,=120-2
8、04, 0-22由 得 xE= ,=-1,=120-204, 0+22S PDE= |xD-xE|PM|=1- ,12 204QAB 与PDE 的面积之比为 2.3.解由题知 F .(12,0)设 l1:y=a,l2:y=b,则 ab0,且 A ,B ,P ,Q ,R .(22,) (22,) (-12,) (-12,) (-12,+2)记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于 F 在线段 AB 上,故 1+ab=0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则 k1= =-b=k2.-1+2=-2-=1=-所以 ARFQ.(2)设 l
9、与 x 轴的交点为 D(x1,0),则 SABF= |b-a|FD|12= |b-a| ,12 |1-12|SPQF= .|-|2由题设可得 |b-a| ,12 |1-12|=|-|2所以 x1=0(舍去),x 1=1.设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y).当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kAB=kDE 可得 (x1).2+=-1而 =y,+2所以 y2=x-1(x1).当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y2=x-1.4.解(1)设椭圆 C 的方程为 =1(ab0),22+22直线 AB 的方程为 =1.-+F 1(-1,0)到直线 AB 的距离 d=
10、 b,a2+b2=7(a-1)2.|-|2+2=77又 b2=a2-1,解得 a=2,b= ,3故椭圆 C 的方程为 =1.24+23(2)椭圆 C 的 3 倍相似椭圆 C2的方程为 =1,212+29若切线 l 垂直于 x 轴,则其方程为 x=2,易求得|MN|=2 .6若切线 l 不垂直于 x 轴,可设其方程为 y=kx+b,将 y=kx+b 代入椭圆 C 的方程 ,得(3+4k 2)x2+8kbx+4b2-12=0,= (8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0,即 b2=4k2+3, (*)设 M,N 两点的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),
11、将 y=kx+b 代入椭圆 C2的方程 ,得(3+4k 2)x2+8kbx+4b2-36=0,此时 x1+x2=- ,x1x2= ,83+42 42-363+42|x1-x2|= ,43(122+9-2)3+42|MN|= 1+243(122+9-2)3+42=4 =2 .6 1+23+42 61+ 13+423+4k 23,11,所以当 y= -1,即 1-1,即 a3 时, 的最大值是 ,42(1-) 4(1-)(+74)-164(1-)由条件得 ,即 a2-7a+10=0,4(1-)(+74)-164(1-) =314解得 a=5 或 a=2(舍去).综上所述,椭圆 的方程是 +y2=1
12、.25(2)设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 的中点坐标为(x 0,y0),则满足 =1, =1,两式相减,215+21 225+22整理得 =- =- ,2-12-1 2+15(2+1) 050从而直线 PQ 的方程为y-y0=- (x-x0),050又右焦点 F2的坐标是(2,0),将点 F2的坐标代入 PQ 的方程得 -y0=- (2-x0),050因为直线 l 与 x 轴不垂直,所以 2x0- =5 0,从而 0x02.20 20假设在线段 OF2上存在点 M(m,0)(0m2),使得以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形,则线段 PQ 的垂直平分线必过点 M,而线段
13、PQ 的垂直平分线方程是 y-y0= (x-x0),500将点 M(m,0)代入得-y 0= (m-x0),500得 m= x0,从而 m .45 (0,85)6.解(1)由题意知 c=1,又 =tan60= , 3所以 b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆的方程为 =1.24+23(2)设直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)(k0),代入 =1,得24+23(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),线段 PQ 的中点为 R(x0,y0),则 x0= ,y0=k(x0-1)=- ,1+22 =423+42 33+42由 ( )= (2 )=0
14、,=得 +所以直线 TR 为直线 PQ 的垂直平分线,直线 TR 的方程为y+ =- ,33+421(- 423+42)令 y=0 得点 T 的横坐标 t= .23+42= 132+4因为 k2(0,+),所以 +4(4,+),32所以 t .(0,14)所以线段 OF 上存在点 T(t,0),使得 ,其中 t .= (0,14)7.解(1)依题意可知 ,直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y=k(x+1),将其代入 =1,24+23整理得(4 k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 x1+x2=- .8242+3故点 G 的横坐标为 =- ,
15、解得 k= .1+22 =-4242+314 12(2)假设存在直线 AB,使得 S1=S2,显然直线 AB 不能与 x 轴或 y 轴垂直.由(1)可得 G .(-4242+3, 342+3)设点 D 坐标为(x D,0).因为 DGAB ,所以 k=-1,342+3- 4242+3-解得 xD=- ,242+3即 D .(-242+3,0)因为GFDOED,且 S1=S2,所以|GD|=|OD|.所以( -242+3- -4242+3)2+(- 342+3)2= ,|-242+3|整理得 8k2+9=0.因为此方程无解,所以不存在直线 AB,使得 S1=S2.8.解(1)设 F(c,0),由
16、 ,即 ,1|+1|=3| 1+1= 3(-)可得 a2-c2=3c2,又 a2-c2=b2=3,所以 c2=1,因此 a2=4.所以,椭圆的方程为 =1.24+23(2)设直线 l 的斜率为 k(k0),则直线 l 的方程为 y=k(x-2).设 B(xB,yB),由方程组 24+23=1,=(-2)消去 y,整理得 (4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得 x=2 或 x= ,82-642+3由题意得 xB= ,82-642+3从而 yB= .-1242+3由(1)知,F(1,0), 设 H(0,yH),有 =(-1,yH), .=(9-4242+3, 1242+3)由 BFHF,得 =0,所以 =0,42-942+3+1242+3解得 yH= .9-4212因此直线 MH 的方程为 y=- x+ .1 9-4212设 M(xM,yM),由方程组 消去 y,=(-2),=-1+9-4212解得 xM= .202+912(2+1)在MAO 中, MOAMAO|MA|MO| ,即(x M-2)2+ ,22+2化简得 xM1, 即 1,202+912(2+1)解得 k- 或 k .64 64所以,直线 l 的斜率的取值范围为 .(-,-6464,+)
