1、91 不等式的性质及应用1.(2015 山西二测,文 3,不等式的性质及应用 ,选择题) 已知 aab B.aab2 C.abab2解析:由题意得 ab-ab2=ab(1-b)b,ab0,则下列不等式中: a2b2; ; a3b3; a2+b22ab.10b 时,显然有 a30b3,当 a,b 同号时,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)0,所以 恒成立; 对于 ,a2+b2-2ab=(a-b)20,所以 a2+b22ab,即 恒成立.综上所述,不等式恒成立的个数为 2.答案:292 一元二次不等式的解法1.(2015 广西柳州 3 月模拟,文 9,一元二次不等式的解法,选择题) 若 A
2、BC 为钝角三角形,三边长分别为 2,3,x,则 x 的取值范围是( )A.(1, ) B.( ,5)5 13C.( ) D.(1, )( ,5)5, 13 5 13解析:依题意,当 x 是最大边长时,则有解得 22+32, 13当 3 是最大边长时,则有 3-222+2,解得 10 且 f(1)=1.若对于任意 a- 1,1,存在 x- 1,1,使(1)-(2)1-2f(x)t 2-2at-1 成立,则实数 t 的取值范围是 ( )A.-2t2 B.t-1- 或 t +13 3C.t0 或 t2 D.t2 或 t- 2 或 t=0解析:因为对于任意 x1,x2-1,1,x 1x2,总有 0,
3、(1)-(2)1-2故函数 f(x)在-1,1 上单调递增.由于存在 x-1,1,使 f(x)t 2-2at-1 成立,故f(x) mint 2-2at-1,结合函数的单调性可知 f(-1)t 2-2at-1.因为函数 f(x)为奇函数,故 f(-1)=-f(1)=-1,故 t2-2at-1-1,即 t2-2at0.由于对任意 a-1,1, t2-2at 0(*)恒成立,故令 g(a)=-2ta+t2,问题转化为g( a)min0. 当 t=0 时,易知(*)式显然成立 ; 当 t0 时,函数 g(a)在 -1,1上单调递减,则 g(1)=-2t+t20,解得 t2.综上所述,实数 t 的取值
4、范围为 t2 或 t-2 或 t=0,故选 D.答案:D4.(2015 山西大附中第五次月考 ,文 11,一元二次不等式的解法,选择题) 定义(a,b),a,b),( a,b,a,b的长度均为 d=b-a,用x表示不超过 x 的最大整数,例如3 .2=3,-2.3=-3,记x =x-x,设 f(x)=xx,g(x)=x-1,若用 d 表示不等式 f(x)1,不符合题意;当 x1,2)时,x=1,不等式的解为 00 解析:结合图形求解,作出不等式组对应的平面区域是以点(0,0),(0,2),(1,1)为顶点的三角形区域,点P(t,1)在区域内,则 01, A. B.(-12,1) -12,1C.
5、 D.(-1,12) -1,12解析:在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线 mx+y+m-1=0,即 m(x+1)+(y-1)=0,该直线的斜率是-m ,过定点 (-1,1).结合图形可知,要使直线 mx+y+m-1=0 经过该平面区域内的点,则需- 10)仅在点(3,0) 处取得最大值,则 a 的取值范围是( )+2-30,+3-30,-10, A. B.(-,-12) (-12,0)C. D.(0,12) (12,+)解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点 (3,0),(0,1)和(1,1) 为顶点的三角形,若目标函数z=ax+y,a0 仅在 (3,0)处取得最大值,则-
6、a ,故选 D.12 12答案:D9.(2015 辽宁大连双基测试,文 9,与目标函数有关的最值问题,选择题) 设变量 x,y 满足约束条件则 z=-2x+y 的最小值为( )-20,3+-60,3, A.-7 B.-6 C.-1 D.2解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线-2x+y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(5,3)时,相应直线在 y 轴上的截距达到最小,此时 z=-2x+y 取得最小值-7,故选 A.答案:A10.(2015 吉林长春质量监测(二),文 5,与目标函数有关的最值问题,选择题)若 x,y 满足约束条件则 3x+5y 的取值范围是
7、 ( )-+1,+1,0, A.-5,3 B.3,5 C.-3,3 D.-3,5解析:由题意可知 3x+5y 在(-1,0)处取得最小值,在(0,1) 处取得最大值,即 3x+5y -3,5,故选 D.答案:D11.(2015 贵州贵阳监测考试(一),文 10,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数 x,y 满足不等式组 若目标函数 z=y-ax 取得最大值时的唯一最优解为(1,3),则实数 a 的取值范围为( )-+20,+-40,2-50,A.(1,+) B.1,+) C.(0,1) D.(-,-1)解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点 (1,3),(3,1),(7,9)为
8、顶点的三角形,若目标函数y=ax+z 取得最大值时的最优解是唯一的(1,3),则 a1,故选 A.答案:A12.(2015 广西柳州 3 月模拟,文 14,与目标函数有关的最值问题,填空题) 已知 x,y 满足不等式组则 z=2x+y 的最大值为 . ,+2,2, 解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2x+y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时,相应直线在 x 轴上的截距达到最大,此时 z=2x+y 取得最大值 6.答案:613.(2015 吉林省吉林市二调,文 13,与目标函数有关的最值问题,填空题) 若实数 x,y 满足则 z=2x+3y
9、 的最小值是 . +10,-2,4, 解析:不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示 ,由 z=2x+3y 得 y=- x+ ,由图象可知,当 y=- x+ 经过 的交点(4,2) 时,z min=8+6=14.23 3 23 3 -=2,=4 答案:1415.(2015 山西四校三联,文 14,与目标函数有关的最值问题,填空题) 设变量 x,y 满足约束条件的最小值是 . 3-2,-2+10,2+8, 则 -1解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域; 可视为该平面区域内的点(x ,y)-1与点 A(1,0)连线的斜率,结合图形可知,在该平面区域内的点 (x,y)与点 A(
10、1,0)连线的斜率最小的点是(3,2),因此 的最小值是 1.-1答案:114.(2015 河南十校测试(四), 文 7,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数 x,y 满足若目标函数 z=x-y 的最小值是- 2,则此目标函数的最大值是 ( )+-0,2-+10,-10, A.2 B.3 C.4 D.5解析:根据约束条件,作出对应的可行域 ,应用数形结合思想求解.由约束条件可知可行域如图中的阴影部分所示,目标函数等值线 y=x-z 过点 A 时,在(-13,2+13 )y 轴上的截距最大 ,此时目标函数取值最小,最小值为 zmin=x-y=- ,则- =-2,m=4.+23 +23直线
11、y=x-z 过点 B(m-1,1),即 B(3,1)时,在 y 轴上的截距最小,此时目标函数取值最大,最大值为zmax=3-1=2,故选 A.答案:A16.(2015 江西九校联合考试,文 15,与目标函数有关的最值问题,填空题) 设不等式组 所1,-2+30, 表示的平面区域是 1,平面区域 2 与 1 关于直线 3x-4y-9=0 对称,对于 1 中的任意一点 A 与 2中的任意一点 B,|AB|的最小值为 . 解析:依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域 1 及直线 3x-4y-9=0,结合图形可知,在该平面区域内所有的点中,点(1,1)到直线 3x-4y-9=0 的距离最近,该
12、距离等于 =2,因此|AB|31-41-9|5的最小值等于 22=4.答案:421.(2015 山西 3 月质量监测,文 13,与目标函数有关的最值问题,填空题) 若变量 x,y 满足则 2x+y 的取值范围为 . |+|1,0, 解析:不等式组 等价于|+|1,0 +1,0,0 或 -1,0,0, 在平面直角坐标系内画出其表示的平面区域,易知目标函数 z=2x+y 在点(1,0)处取得最大值 2,在点(- 1,0)处取得最小值-2,即 2x+y 的取值范围为 -2,2.答案:-2,217.(2015 河南实验中学质量检测 ,文 8,与目标函数有关的最值问题,选择题) 已知 z=2x+y,其中
13、实数 x,y满足 且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是 ( ),+2, A. B. C.4 D.211 14 112解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(a,a),( a,2-a),(1,1)(a0,b0)的最大值为 6,则 的最小值为( )0,0,-+20,3-20, 1+2A.8 B.4 C.9 D.3解析:在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图易得当目标函数经过平面区域内的点(2,4)时,z=ax+by 取得最大值 6,即 2a+4b=6,a+2b=3,则 (a+2b)1+2=13=3,当且仅当 a=b=1 时,等号成立,所以
14、 的最小值为 3,故(1+2)=13(5+2+2)13(5+222) 1+2选 D.答案:D24.(2015 山西太原模拟(一), 文 10,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数 x,y 满足条件若目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,则其最大值为 ( )2,+4,-2+0,A.10 B.12 C.14 D.15解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点 (2,2),(2,4-c)和 (c2)为顶点的三角形区(+43,8-3)域(包含边界), 当目标函数 z=3x+y 经过点(2,4-c) 时,z 取得最小值 5,所以 6+4-c=5,c=5.当目标函数 z=3x+y 经过点 ,
15、即(3,1)时,z 取得最大值 10,故选 A.(+43,8-3)答案:A25.(2015 河北石家庄一检,文 8,与目标函数有关的最值问题,选择题) 实数 x,y 满足条件则 z=x-y 的最小值为 ( )+-40,-2+20,0,0, A.1 B.-1 C. D.212解析:在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,则当目标函数过点A(0,1)时 ,z=x-y 取得最小值- 1,故选 B.答案:B26.(2015 河北石家庄二检,文 5,与目标函数有关的最值问题,选择题) 已知实数 x,y 满足条件则 z=2x+y 的最小值为( ),+1,1, A.3 B.2 C.
16、D.032解析:结合图形求解.作出约束条件对应的平面区域如图 ,当目标函数 y=-2x+z 经过点(1,1)时,z 取得最小值,故选 A.答案:A27.(2015 河北唐山一模,文 6,与目标函数有关的最值问题 ,选择题) 设 x,y 满足约束条件则 z=3x+2y 的最大值为( )-+20,2+-50,2-30,A.8 B.9 C.28 D.29解析:先作出线性约束条件表示的平面区域 ,然后利用图解法求 z=3x+2y 的最大值.线性约束条件 表示的平面区域如图中的阴影部分所示.-+20,2+-50,2-30由 z=3x+2y 可得 y=- x+ ,由 得 A(5,7),由图可知当直线 y=
17、- x+ 经过点 A(5,7)时,有32 2 -+2=0,2-3=0 32 2最大值 zmax=35+27=29,故选 D.答案:D28.(2015 河南六市一联,文 7,与目标函数有关的最值问题 ,选择题) 已知正数 x,y 满足则 z=4-x 的最小值为( )2-0,-3+50, (12)A.1 B. C. D.1432 116 132解析:结合图形求解.点(x ,y)对应的平面区域是以点(0,0), 和(1,2)为顶点的三角形区域(不包含 y 轴(0,53)上的点),当 2x+y 经过点(1,2) 时取得最大值 4,此时 z=4-x 取得最小值 ,故选 C.(12)=(12)2+ 116
18、答案:C29.(2015 河南洛阳 3 月统一考试 ,文 8,与目标函数有关的最值问题,选择题) 已知不等式组表示的平面区域的面积为 2,则 的最小值为( )+2,0, +2+1A. B. C.2 D.432 43解析:在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域,易知平面区域的面积为 (2-m)2=2,12解得 m=0.又因为 =1+ 表示平面区域内的点与点( -1,-1)的连线的斜率加 1,易知平面区域内的点+2+1 +1+1(2,0)与点( -1,-1)的连线的斜率最小,则 的最小值为 ,故选 B.+2+1 2+0+22+1=43答案:B30.(2015 江西南昌一模,文 5,与目
19、标函数有关的最值问题 ,选择题) 已知实数 x,y 满足 若+1-0,+-40, 目标函数 z=2x+y 的最大值与最小值的差为 2,则实数 m 的值为 ( )A.4 B.3 C.2 D.-12解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点 (m-1,m),(4-m,m), ,m0 时,a 恒成立.1+2又因为 =x+ 2 =2,当且仅当 x= 0,即 x=1 时取等号, 的最小值是 2, 的最大1+2 1 1 1 1+2 1+2值是 ,所以 a ,a 的最小值是 ,故选 C.12 12 12答案:C3.(2015 贵州八校二联,文 7,利用基本不等式求最值 ,选择题) 已知点 A(m,n)
20、在直线 x+2y=1 上,其中mn0,则 的最小值为( )2+1A.4 B.8 C.9 D.122解析:由题意得 m+2n=1,所以 =(m+2n) =4+ 4+2 =8,当且仅当 ,即 m=2+1 (2+1) 4+ 4 4=,n= 时等号成立,所以 的最小值为 8,故选 B.12 14 2+1答案:B4.(2015 江西八校联考,文 6,利用基本不等式求最值 ,选择题) 正项等比数列a n满足:a 3=a2+2a1,若存在am,an,使得 aman=16 ,则 的最小值为( )21 1+9A.2 B.16 C. D.83 32解析:利用等比数列的通项公式和基本不等式求解 .设正项等比数列a
21、n的公比为 q,q0,由 a3=a2+2a1 得 q2-q-2=0,解得 q=2(舍负).又存在 am,an,使得 aman=16 ,则 2m+n-2=16 ,21 21 21即为 m+n=6,所以 +2 ,1+9=(1+9)(6+6)=53+6+3253 632=83当且仅当 ,m= ,n= 时取等号 ,所以 的最小值为 ,故选 C.6=32 32 92 1+9 83答案:C10.(本小题满分 12 分)(2015 江西八校联考 ,文 17,利用基本不等式求最值,解答题)在直角坐标系 xOy中,角 的始边为 x 轴的非负半轴 ,终边为射线 l:y=2 x(x0).2(1)求 cos 的值;(
22、+6)(2)若点 P,Q 分别是角 始边、终边上的动点,且 PQ=6,求POQ 面积最大时,点 P,Q 的坐标.解:(1)由射线 l 的方程为 y=2 x,可得 sin = ,cos = , (2 分)2223 13故 cos . (5 分)(+6)=133222312=3-226(2)设 P(a,0),Q(b,2 b)(a0,b0).2PQ2=(a-b)2+8b2=36, (6 分)即 36=a2+9b2-2ab6ab-2ab=4ab,所以 ab9, (8 分)所以 SPOQ= ab9 ,2 2当且仅当 a=3b,即 a=3 ,b= 取得等号. (10 分)3 3所以POQ 面积最大时,点
23、P,Q 的坐标分别为 P(3 ,0),Q( ,2 ). (12 分)3 3 65.(2015 河南郑州第三次质量检测 ,文 6,利用基本不等式求最值,选择题) 已知等比数列a n中,a 2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( )A.(-,-1 B.(-,-1)(1, +)C.3,+) D.(-,-13,+)解析:因为 a2=1=a1q,所以 S3=a1+1+a1q2= +q+1,当 q0 时 , +q2,当 q1),当4-1x=a 时, f(x)取得最小值为 b,则 a+b= . 解析:f(x )=x-1+ +12 +1=5,当且仅当 x-1= ,即 x=3 时取等号,所以 a=3,
24、b=5,所以4-1 (-1) 4-1 4-1a+b=8.答案:89.(2015 江西三校联考,文 16,利用基本不等式求最值 ,填空题) 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数)的导函数为 f(x).对任意 xR,不等式 f(x)f (x)恒成立,则 的最大值为 . 22+2解析:对任意 x R,ax2+(b-2a)x+(c-b)0(a0)恒成立,于是有 即 b24ac-0,=(-2)2-4(-)0,4a2.(2 +2)a2+(2 -2)c22 22 =4ac,(22+2)(22-2)22因此 4ac-4a2(2 +2)a2+(2 -2)c2-4a2=(2 -2)(a2+c
25、2), 2 -2,于是有 2 -2,2 2 24-422+2 2 22+2 2因此 的最大值是 2 -2.22+2 2答案:2 -2211.(本小题满分 10 分)(2015 河南十校测试 (四),文 24,利用基本不等式求最值,解答题) 已知 a,b,c 为正实数.(1)若 ab(a+b)=2,求 a+b 的最小值;(2)若 abc(a+b+c)=1,求( a+b)(b+c)的最小值.解:(1)因为 ab(a+b)=2 (a+b)(当且仅当 a=b 时取等号),所以 a+b2,a+b 的最小值为 2.(5 分)(+2)2(2)因为(a+b)(b+c) =ab+ac+b2+bc=b(a+b+c
26、)+ac2 =2(当且仅当 b(a+b+c)=ac(+)时取等号),所以(a+b)(b+c)的最小值为 2. (10 分)6.(2015 江西九校联合考试,文 9,利用基本不等式求最值,选择题) 已知 x1,y1,且 ln x, ,ln y 成等比数12列,则 xy 有( )A.最小值 e B.最小值 C.最大值 e D.最大值 解析:依题意得 ln xln y= (ln x0,ln y0),ln x+ln y2 =1,即 ln(xy)1,xye, 当且仅当 x=y=14 时取等号,因此 xy 有最小值 e,故选 A.答案:A99 基本不等式的实际应用1.(2015 河北保定一模,文 11,基
27、本不等式的实际应用 ,选择题) 司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析( )A.甲合适 B.乙合适C.油价先高后低甲合适 D.油价先低后高甲合适解析:设司机甲每次加油量为 x,司机乙每次加油费为 y,两次加油的单价分别为 a,b,则司机甲两次加油的均价为 ,司机乙两次加油的均价为 0.+2 =+2 2+=2+且 +22+=(-)22(+)又 ab,所以 0,即 ,所以这两次加油的均价 ,司机乙的较低,所以乙更合适,故选(-)22(+) +22+B.答案:B100 归纳推理1.(2015 宁
28、夏银川质量检测,文 13,归纳推理,填空题) 如图,根据图中的数构成的规律 ,a 表示的数是 .解析:数表的规律是一个数等于它肩上的两个数的乘积 ,所以 a=1212=144.答案:144102 演绎推理2.(2015 河南郑州第三次质量检测 ,文 15,演绎推理,填空题)A,B,C ,D 四人猜测自己所买彩票的中奖情况.A 说:“如果我中奖了 ,那么 B 也中奖了.”B 说:“如果我中奖了 ,那么 C 也中奖了.”C 说:“ 如果我中奖了,那么 D 也中奖了.”结果三人都没有说错,但是只有两人中奖了,这两人是 . 解析:若 A 中奖,则 B,C 也中奖与题意矛盾.若 B 中奖,则 C,D 也
29、中奖与题意矛盾.若 C 中奖,则 D 也中奖,A,B 可以不中奖,与题意相符合,所以中奖的两人为 C,D.答案:C,D3.(2015 河南适应性模拟练习 ,文 16,演绎推理,填空题) 设数列 an的前 n 项和为 Sn,若 为常数,则称2数列a n为和谐数列.若一个首项为 1,公差为 d(d0)的等差数列为和谐数列,则该等差数列的公差 d= .解析:因为 Sn=na1+ d,所以由和谐数列的定义可知 =k,整理得(-1)2 2=+(-1)22+2(2-1)2d+ n=2dkn2+(2-d)kn,所以 =2dk,1- =(2-d)k,解得 k= ,d=2.22 (1-2) 2 2 14答案:2
30、4.(2015 江西南昌二模,文 15,演绎推理 ,填空题) 观察下面数表 :1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,设 1 027 是该表第 m 行的第 n 个数,则 m+n 等于 . 解析:该数表的通项公式为 ak=2k-1,由 2k-1=1 027 得 k=514,所以 1 027 是第 514 个奇数,前 m 行共有1+2+22+2m-1=2m-1 个奇数,当 m=9 时,2 m-1=511,所以 1 027 是第 10 行的第 3 个数,所以 m+n=13.答案:131.(2015 河北石家庄二中一模 ,文 6,演绎推理,选择题) 有甲、乙、丙、丁四位同学参加歌唱比赛 ,其中只有一位获奖.有同学走访这四位同学,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“ 我获奖了”,丁说:“是乙获奖了” .若四位同学中只有两人说的话是对的,则获奖的同学是( )A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析:若甲获奖了,则四位同学说的都是错的 ,不符合题意; 若乙获奖了 ,则甲、乙、丁说的是对的,丙说的是错的,不符合题意;若丙获奖了 ,则甲、丙说的是对的,乙、丁说的是错的,符合题意; 若丁获奖了,甲、丙、丁说的都是错的,乙说的是对的,不符合题意.综上所述,丙获奖了,故选 C.答案:C
