高考分类题库1考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.doc

1、温馨提示：此题库为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word 文档返回原板块。 考点 11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.（2012山东高考文科10）与（2012山东高考理科9）相同函数cos62xy的图象大致为（ ）【解析】选 D.由 xfxf x26cos2)cos(知 f为奇函数，当 12x时，y=0，随着 x 的变大，分母逐渐变大，整个函数值越来越接近 y 轴，当 x= 时，4y0,只有 D 选项满足.2.（2012新课标全国高考理科T10）已知函数 f(x)= 1lnx,则 y=f(x)的图象大致为（ ）【解题指南】

2、令 ()ln1)gxx，通过对 gx单调性与最值的考查，判断出在不同的区间段 f(x)的函数值的正负，最后利用排除法得正确选项.【解析】选 B. 得： 0x或 10x时均有 ()0fx，排除 ,ACD3.（2012辽宁高考文科8）函数21lnyx的单调递减区间为( )（A） （ 1,1 （B） （0,1 （C）1，+） （D） （0，+）【解题指南】保证函数有意义的前提下，利用 0y解得单调减区间.【解析】选 B. 由 211(ln) 1yxxx00,f(3)0时，(xk) f(x)+x+10，求 k的最大值.【解题指南】 （1）先确定函数的定义域，然后求导函数 fx，因不确定 a的正负，故应

3、讨论，结合 a的正负分别得出在每一种情况下 的正负，从而确立单调区间.（2）分离参数 k，将不含有参数的式子看作一个新函数 gx，将求 k的最大值转化为求 gx的最值问题 . 【解析】(1) f的定义域为 , xfea.若 0a,则 0x,所以 fx在 上单调递增.若 ,则当 lna时, 0;当 ln,x时, fx0,所以, fx在 ,上单调递减,在 a上单调递增.(2)由于 1a,所以 11xxkfxke，故当 0x时 , 0等价于 .1xke令 xge，则.由（1）知，函数 2xhe在 0,上单调递增.而 10,2h，所以hx在 0,上存在唯一的零点.故 gx在 ,存在唯一的零点.设此零点

4、为 ，则 2.当 ,x时， 0gx；当 ,x时， 0x.所以 gx在 0,的最小值为 g.又由 ，可得 2e，所以 1g2,3.由于式等价于 k，故整数 k的最大值为 2.16.（2012安徽高考理科19）设函数 .()(0)xfaeba（1）求 在 内的最小值.()fx0,)（2）设曲线 在点 处的切线方程为 .求 的值.()yf(2,)f32yx,ab【解题指南】 （1）根据导数的符号判断函数的单调性，求出函数的最小值；（2）曲线 ()yfx在点 (2,)f的切线方程为32yx，则 解出 ,ab的值.【解析】 （1）设 ，则(1)xte当 a时， 0y1atb在 t上是增函数 得：当 1(

5、0)tx时， ()fx的最小值为 ；当 1a时，12yatb，当且仅当 (,ln)xtea时， ()fx的最小值为 2b（2）11()()x xfaebfa，由题意得：17.（2012安徽高考文科17）设定义在（0，+ ）上的函数1()()fxab.（1）求 ()fx的最小值.（2）若曲线 ()yf在点 (1,)f处的切线方程为32yx，求 ,ab的值.【解题指南】 （1）根据导数的符号判断函数的单调性，求出函数的最小值；（2）曲线 ()yfx在点（ 1，f(1)）处的切线方程为32yx，则 解出 ,ab的值.【解析】 （1）11()22fxabaxbA，当且仅当 时， ()fx的最小值为 2

6、b.（2）由题意得： 2113()()2fxafa由得： ,b.18.（2012辽宁高考理科T21）设 ()ln1)(,)fxxabRa为 常 数 ，曲线 ()yfx与直线32yx在(0，0)点相切.(1)求 ,ab的值.(2)证明：当 02x时，9()6xf.【解题指南】(1)点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程；同时据导数的几何意义可以建立另一个方程，求出 a,b;(2) 构造函数，利用导数研究单调性，借助函数单调性证明不等式【解析】 （1）由 ln(1)yxxab的图象过点（0，0）得 b=-1；由 ln()yxab在点（0，0）的切线斜率为32，则 013()0221x xax .（2）

7、当 x时，()12(1)2xx，令9()()6xhf，则 2 25454()()16) (6)hxf xxx.令 3()6)21()gxx，则当 02x时， 2()36)10gx因此 (在（0,2）内是递减函数，又 ()g，则 02x时， )(0gx所以 时， ()h，即9()6xhxf在（0,2）内是递减函数，由 (0)h，则 02x时， 0，故 2x时，99()()66xxhff.19.（2012辽宁高考文科T21）设 ln1fx，证明：(1)当 x 1 时， ()fx 32（ 1x）.(2)当 3时，9)5f.【解题指南】构造函数，利用导数研究单调性，借助函数单调性证明不等式.【解析】

8、（1）记3()ln1()2gxx，则当 1x时， ，所以3()ln1()2gxx在 (1,)上为减函数，则当 时， ()10gx，所以（2）记 ()5)(91)hxfx，则由（1）得31()5()922ffxx 1(31)(5)()18)(31)(5)(2)8)2 xxxx xxx 221 1(31)(5)(2)8)()()()2 2xxxxx 2(735)4x，当 1时，21(735)04x，则 ()0hx，因此函数 )9(1hf在（1,3）内单调递减，所以 13x时， (0xh，即9(1)()5)(91)5xhff.20.（2012陕西高考理科21） （本小题满分 14分）设函数 ()(,

9、)nnfxbcNbcR（1）设 2， 1,，证明： (nfx在区间1(,)2内存在唯一零点.（2）设 ，若对任意 12,x,，有 21|4fx，求 b的取值范围.（3）在（1）的条件下，设 n是 ()fx在 ,)内的零点，判断数列 23,nx 的增减性.【解析】 （1）当 1b， c， 2n时， ()1nnfx. ()()022nnnf， ()nf在 ,内存在零点.又当1,x时， 1()nfx， nfx在1(,)2上是单调递增的， ()nf在 ,)2内存在唯一零点.（2） 当 n时， 22()fxbc，对任意 12,x,都有 212|()|4fxf等价于()fx在 1,上的最大值与最小值之差

10、4M，据此分类讨论如下：（）当 |2b，即 |2b时， 2|(1)|2|fb，与题设矛盾；（）当 10，即 时，2()1)4f恒成立；（）当 2，即 20b时， 221(Mff恒成立.综上可知， b的取值范围是 |.注：（）与（）也可合并证明如下：用 max,b表示 ,a中的较大者.当 12，即 2b时，ax(),1()Mff222221|()f f|()4bcc|(1)4b恒成立.（3） （证法一） 设 nx是 ()f在1,)2内的唯一零点（ 2n） ，则 ()10nnfx，11()0nnfxx， 1(,)2nx，于是有 11()0()nnnfxfxx1n1()nf，又由（1）知 ()nfx

11、在 ,2上是递增的，故 1(2)nx.所以，数列 23,n ,的是递增数列.(证法二) 设 nx是 ()f在1,)2内的唯一零点，11111()nnnnfxf x10nx，则 1nf的零点 1nx在 (,)n内，故 1(2)n.所以，数列 23, ,是递增数列.21.（2012陕西高考数学文科21） （本小题满分 14分） 设函数 ()(,)nfxbcNbcR.（1）设 2， 1,，证明： ()fx在区间1(,)2内存在唯一零点.（2）设 n 为偶数， ()f， 1，求 b+3c 的最小值和最大值.（3）设 ，若对任意 12,x,，有 12|()|4fxf，求 b的取值范围.【解析】 （1）当

12、 b， c， n时， nf.1()()022nnf， ()fx在1,)2内存在零点.又当1,x时， 1()fx， f在 (,上是单调递增的， ()f在 ,)2内存在唯一零点.（2）由题意可得，1()1fbc，即 20bc， f，即 ， 2+得： 62()30bcbc,当 0,bc时， 3；当 时， 30bc，所以 3的最小值为 6，最大值为 0.（方法三）由题意知(1)fbc，解得(1)(1)2,2ffbc，所以 32(1)3bcf又 1()f， 1()f， 630bc，当 ,2bc时， 36bc；当0bc时， 30bc.所以 3bc的最小值为 ，最大值为 0. （3）当 2n时， 2()fx

13、，对任意 12,x,都有 21|()|4fxf等价于 ()fx在1,上的最大值与最小值之差 4M，据此分类讨论如下：（）当 即 |2b时， |(1)|2|4fb，与题设矛盾；（）当 102b，即 时，2()(1)f恒成立；（）当 ，即 0b时， 14bMff恒成立.综上可知， b的取值范围是 |2.注：（）与（）也可合并证明如下：用 max,bx,y表示 x,y 中的较大者.当 12，即 2b时，ax(),1()Mff1|222f f恒成立.22.（2012浙江高考理科22） （本题满分 14分）已知 0,bR，函数 f(x)a=4 x3-2bx-a+b.a（1）证明：当 0x 1 时，函数

14、f(x)的最大值为 2ab； ()2fxab.（2）若 1()fx对 x 0,1恒成立，求 ab的取值范围.【解题指南】本题是用导数的方法研究函数的性质，求最值时需分类讨论求解，要注意分类标准的确定，同时求 ab的取值范围可化为线性规划问题解决.【解析】 （1） 2()1fx，当 0b时， 0， 在 0,上为增函数，max()()3ffb= 2a；当 0b时，若16，即 6时， ()fx在 0,1上为减函数，max()()ffba= 2a.若 时， ()fx在0,6ba上为减函数，在,16ba上为增函数，而 (0)fba， (1)3fb， (0)124fba，当 2时， max = ；当 时，

15、 ()(0)ffba = .由于 01x，故当 2ba时， f|2ab|a=333()4242(21)fxxbaxax当 时， f|2ab|a=，设 3()21,0gxx，则23()6().于是 x0 3(,)33(,1)1()gx 0 + 减 极小值 增 所以， min34()()109gx所以，当 0时， 321gx即 fx|2ab| a 0 在 0x1 上恒成立(2)由(1)知：函数 f在 0x1 上的最大值为|2ab|a，且函数 fx在 0x1 上的最小值比(|2ab|a)要大1 f1 对 x0，1恒成立，作图如下：由图易得：当目标函数为 za b 过 P(1，2)时，有 max3z；

16、过(，) 时，有 min1z所求 a b 的取值范围是 13，23.（2012浙江高考文科21） （本题满分 15分）已知 aR，函数3()42fxx.（1）求 f(x)的单调区间.（2）证明：当 0x1 时，f(x)+ 2a0.【解题指南】求函数的单调区间要注意分类讨论，而不等式证明可转化为不等式恒成立问题.【解析】 （1） 2()1fxa，当 0a时， 0， ()f在（-，+）为增函数当 时， 令 2()10fxa，得 6ax或令 2()10fxa，得 6所以 ()f在,)上单调递增，在(,)6a上单调递减，在(,)6a上单调递增.综上，当 0a时， ()fx为增函数；当 时， ()f的单

17、调递增区间为(,)6a和(,)，单调递减区间(,6a. （2）由（1）可得当 0a时， ()fx在 0,1为增函数， min()(0)fxf=a.当 0a时，因为 ()fx在,)6a上单调递增，在(,)6a上单调递减，在(,)6上单调递增.若1a，即 6时， ()fx在 0,1为减函数， min()(1)fxf= 4a，f(x)+ 2min()2fa.若16a，即 06时， ()fx在0,)6a上单调递减，在(,1)6上单调递增，则 2()44(1)gttt0.23()18tt在,为增函数，1864()20327gt当 0a时， f(x)+ 2amin4481()22036363afx综上，当

18、 0x1 时，f(x)+ 20.24.（2012北京高考理科18）已知函数 f（x）=ax 2+1（a0）,g(x)=x 3+bx.（ 1） 若 曲 线 y=f(x)与 曲 线 y=g(x)在 它 们 的 交 点 （ 1， c） 处 具 有 公 共 切线 ， 求 a、 b 的 值 .（ 2） 当 a2=4b 时 ， 求 函 数 f(x)+g(x)的 单 调 区 间 ， 并 求 其 在 区 间 （ - ， -1上 的 最 大 值 .【解题指南】第（1）问，交点既在 ()fx上也在 ()gx上，在公切点处导数相等；第（2）问，构造函数 ()Fxfg，再利用导数求单调区间与最大值.【解析】 （1）

19、2()2,3fab，由已知可得 解得 3ab.（2）23()()14Fxfgxx，22()34a，令 ()0F，得 12,6ax.120,ax，由 ()F得， 6ax或；由 ()0x得， 26ax.单调递增区间是 (,)(,2；单调递减区间为 (,)a.2(1)4aF， ()1aF， ()2aF.当 2，即 02时， ()x在 ,1上为增函数，2max()(1)4aF；当 16a，即 6a时， ()F在 ,)2a上递增，在 (,)2上递减，所以在 2x处取得唯一极大值也是最大值 ()1；当 16a，即 6时， ()Fx在 ,)2a上递增，在 (,)26a上递减，在 (,1)6a上递增，且 ()

20、2aF， max()()1.综上，当 02a时， f(x)+g(x)的最大值为24a；当 2时，f(x)+g(x) 的最大值为 1.25.（2012北京高考文科18）已知函数 f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.（1）若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c) 处具有公共切线，求,a,b 的值.（2）当 a=3,b=-9 时，若函数 f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为 28，求 k 的取值范围.【解题指南】第（1）问，交点既在 ()fx上也在 ()gx上，两个函数在公切点处导数相等；第（2）问，构造函数 h，然后利用导数研究函数 ()hx的单调性与极

21、值，结合 h(x)的图象，即可求出 k 的取值范围.【解析】 （1） 2()2,()3fxagxb，由已知可得 解得 3ab.（2） 23()31,()9,fxgx令 21h，2()69x，令 ()0hx，得 23,1x.,-3 (,)1 (,)()hx+ 0 - 0 +增 28 减 -4 增当 3x时，取极大值 28；当 1x时，取极小值-4.而 (2)()28h，如果 ()hx在区间k,2上的最大值为 28，则 3k.26.（2012湖南高考理科22）已知函数 f（x）=e ax-x，其中 a0.（1） 若对一切 xR，f（x）1 恒成立，求 a的取值集合.（2） 在函数f(x)的图象上取

22、定两点A（ ，f(x )） ，B（ ，f(x )（ ） ，记直线AB的斜率为k，问：是否存在x 0（x 1，x 2） ，使f（x 0）k成立？若存在，求x 0的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】 （1）若 0a，则对一切 x， ()faxe，这与题设矛盾，又 0a，故 0a.而 ()1,axfe令1()0,ln.fxa得当 ln时， (),()ff单调递减；当1lnxa时， ()0,()fxf单调递增，故当1lxa时， ()fx取最小值1(ln)l.fa于是对一切 ,1R恒成立，当且仅当当 01t时， ()0,gtt单调递增；当 1t时， ()0,gtt单调递减.故当 t时， ()t取最大值 (1)g.因此，当且仅当 1a即 时，式成立.综上所述， a的取值集合为 .（2）由题意知，2121().axfxfek