高考分类题库4考点40 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用.doc

1、温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ， 请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ， 调 节 合 适 的观 看 比 例 ， 关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 40 曲 线 与 方 程 、 圆 锥 曲 线 的 综 合 应 用一 、 选 择 题 1.(2015新 课 标 全 国 卷 文 科 T5)已 知 椭 圆 E 的 中 心 为 坐 标 原 点 ,离 心 率 为 ,E 的 右12焦 点 与 抛 物 线 C:y2=8x 的 焦 点 重 合 ,点 A,B 是 C 的 准 线 与 E 的 两 个 交 点 ,则 = ( )|AB|A.3 B.6 C.9 D.12【

2、 解 析 】 选 B.设 椭 圆 E 的 方 程 为 ， 依 题 意 得 ， 解 得 a=4,由)0(2bayx 21acb2=a2-c2=16-4=12,所 以 椭 圆 E 的 方 程 为 ,因 为 抛 物 线 C:y2=8x 的 准 线 为 x=-2,将162x=-2 代 入 到 ,解 得 A(-2,3),B(-2,-3),故 =6.yx |AB|2. （ 2015重 庆 高 考 理 科 10） 设 双 曲 线 的 右 焦 点 为 ， 右 顶21(0,)xyabF点 为 A， 过 F 作 AF 的 垂 线 与 双 曲 线 交 于 B,C 两 点 ， 过 B， C 分 别 作 AC， AB

3、的 垂 线 ， 两垂 线 交 于 点 D， 若 D 到 直 线 BC 的 距 离 小 于 则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 斜 率 的 取 值2a范 围 是 （ ）A B C. D.1,0(,),1(,),0(,),2(,)【 解 题 指 南 】 解 答 本 题 首 先 根 据 条 件 求 出 交 点 D 的 坐 标 ， 然 后 利 用 距 离 小 于求 解 渐 近 线 斜 率 的 取 值 范 围 .2ab【 解 析 】 选 A.由 题 意 知 ， 其 中(,0),FcAa2cab联 立 ， 可 解 得21xcyab22(,),)bBC22,ACABbbcacakk所 以 AC 的 垂 线

4、BD 的 斜 率 为 ， 直 线 方 程 为BDc2()bayxcAB 的 垂 线 CD 的 斜 率 为 ， 直 线 方 程 为Cak2()c联 立 ， 解 得2()bayxc 2(),0bcDa到 直 线 BC： 的 距 离2(),0bacDxc22()cabc解 得 ， 所 以 ， 又 双 曲 线 的 渐 近 线 为 ， 所 以 该 双 曲 线 的 渐 近 线 斜 率1bayx的 取 值 范 围 是 .,0(,)二 、 填 空 题3.(2015山 东 高 考 理 科 T15)平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ,双 曲 线 C1: 21xyab(a0,b0)的 渐 近 线 与 抛 物

5、线 C2:x2=2py(p0)交 于 点 O,A,B,若 OAB 的 垂 心 为 C2的 焦 点 ,则C1的 离 心 率 为 .【 解 题 指 南 】 本 题 是 双 曲 线 与 抛 物 线 性 质 的 综 合 应 用 ,应 从 焦 点 和 垂 心 出 发 构 造 a,b,c和 p 的 关 系 ,进 而 求 出 离 心 率 e.【 解 析 】 由 对 称 性 知 OAB 是 以 AB 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 ,注 意 到 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为， 抛 物 线 的 焦 点 ， 设 点 ， 则 ， 由byxa(0,)2pF(,)()bmBa2bmpa的 垂 心 为 ，

6、得 ， ， 消 去 得 ，OAB1OABFk21p2p,即 ， 所 以 ， 故 .254ba294ca3cea答 案 ： 34.(2015新 课 标 全 国 卷 理 科 T14)一 个 圆 经 过 椭 圆 + =1 的 三 个 顶 点 ,且 圆 心 在 xx216y24轴 的 正 半 轴 上 ,则 该 圆 的 标 准 方 程 为 .【 解 题 指 南 】 设 出 圆 的 方 程 为 (x-a)2+y2=r2,然 后 由 两 点 间 距 离 公 式 求 解 .【 解 析 】 设 圆 心 为 (a,0),则 圆 的 方 程 为 (x-a)2+y2=r2,依 题 意 得 ， 解22)4(aa得 ，

7、23a， 所 以 圆 的 方 程 为 .45r 45)23(yx答 案 : 45)(2yx三 、 解 答 题5.(2015新 课 标 全 国 卷 理 科 T20)(12 分 )已 知 椭 圆 C:9x2+y2=m2(m0),直 线 l 不 过 原点 O 且 不 平 行 于 坐 标 轴 ,l 与 C 有 两 个 交 点 A,B,线 段 AB 的 中 点 为 M.(1)证 明 :直 线 OM 的 斜 率 与 l 的 斜 率 的 乘 积 为 定 值 .(2)若 l 过 点 ( ,m),延 长 线 段 OM 与 C 交 于 点 P,四 边 形 OAPB 能 否 为 平 行 四 边 形 ?若 能 ,求m

8、3此 时 l 的 斜 率 ,若 不 能 ,说 明 理 由 .【 解 题 指 南 】 (1)将 直 线 y=kx+b(k 0,b 0)与 椭 圆 C:9x2+y2=m2(m0)联 立 ,结 合 根 与 系数 的 关 系 及 中 点 坐 标 公 式 证 明 .(2)由 四 边 形 OAPB 为 平 行 四 边 形 当 且 仅 当 线 段 AB 与 线段 OP 互 相 平 分 求 解 证 明 .【 解 析 】 (1)设 直 线 l:y=kx+b(k 0,b 0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将 y=kx+b 代 入 9x2+y2=m2得 (k2+9)x2+2kbx+b2-m

9、2=0,故 ，921kb.2M于 是 直 线 的 斜 率OkxykMO即 kOMk=-9,所 以 直 线 OM 的 斜 率 与 l 的 斜 率 的 积 是 定 值 .(2)四 边 形 OAPB 能 为 平 行 四 边 形 .因 为 直 线 l 过 点 ( ,m),所 以 l 不 过 原 点 且 与 C 有 两 个 交 点 的 充 要 条 件 是 k0,k 3.m3由 (1)得 OM 的 方 程 为 y=- x.9k设 点 P 的 横 坐 标 为 xp.由 ， 得 ， 即 .229myxk8192kxp 932kmxp将 点 的 坐 标 代 入 的 方 程 得 ， 因 此),3(l )(b)9(

10、32kxM四 边 形 为 平 行 四 边 形 当 且 仅 当 线 段 与 线 段 互 相 评 分 ， 即 .OAPBABOPPMx于 是 ， 解 得 .()kmk,kk因 为 ki0,ki 3,i=1,2,所 以 当 l 的 斜 率 为 4- 或 4+ 时 ,四 边 形 OAPB 为 平 行 四 边 形 .7 76.(2015新 课 标 全 国 卷 理 科 T20)(12 分 )在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ,曲 线 C:y= 与 直 线x24y=kx+a(a0)交 于 M,N 两 点 ,(1)当 k=0 时 ,分 别 求 C 在 点 M 和 N 处 的 切 线 方 程 .(2)y 轴

11、上 是 否 存 在 点 P,使 得 当 k 变 动 时 ,总 有 OPM= OPN?说 明 理 由 .【 解 析 】 (1)由 题 设 可 得 M(2 ,a),N(-2 ,a),a a或 M(-2 ,a),N(2 ,a).a a又 y = ,故 y= 在 x=2 处 的 导 数 值 为 ,曲 线 C 在 点 (2 ,a)处 的 切 线 方 程 为 y-x2 x24 a a aa= (x-2 ),即 x-y-a=0.a a ay= 在 x=-2 处 的 导 数 值 为 - ,曲 线 C 在 点 (-2 ,a)处 的 切 线 方 程 为 y-a=- (x+2 ),x24 a a a a a即 x+

12、y+a=0.a(2)存 在 符 合 题 意 的 点 P,证 明 如 下 :设 P(0,b)为 符 合 题 意 的 点 ,M(x1,y1),N(x2,y2),直 线 PM,PN 的 斜 率 分 别 为 k1,k2.将 y=kx+a 代 入 C 的 方 程 得 x2-4kx-4a=0.故 x1+x2=4k,x1x2=-4a.从 而 .by()bx()kab当 b=-a 时 ,有 k1+k2=0,则 直 线 PM 的 倾 斜 角 与 直 线 PN 的 倾 斜 角 互 补 ,故 OPM= OPN,所 以 点 P(0,-a)符 合 题 意 .7. （ 2015重 庆 高 考 理 科 21） 如 题 （

13、21） 图 ， 椭 圆 的 左 、 右21(0)xyab焦 点 分 别 为 ， 过 的 直 线 交 椭 圆 于 两 点 ， 且12,F2,PQ1.PF(1)若 求 椭 圆 的 标 准 方 程 ；12,PF（ 2） 若 求 椭 圆 的 离 心 率 .Qe【 解 题 指 南 】 （ 1） 直 接 根 据 椭 圆 的 定 义 即 可 求 出 椭 圆 的 长 轴 长 即 焦 距 ， 从 而 可 求 出 椭 圆的 方 程 ， （ 2） 根 据 椭 圆 的 定 义 即 可 求 解 .【 解 析 】 （ 1） 由 椭 圆 的 定 义 ， 故12224,aPF.a设 椭 圆 的 半 焦 距 为 ， 由 已 知

14、c,因 此 即2222121 3,cFP ,c从 而 ba故 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为21.4xy（ 2） 如 答 （ 21） 图 ， 设 点 在 椭 圆 上 ， 且 则0(,)P12,PF求 得222001,xyxycab 2200,.abxycc由 得 ， 从 而12,PFQ0421 222() .baccba由 椭 圆 的 定 义 ， 从 而 由1212,.PFaQFa有 因 此12,PFQ4,P即1(2)4,a2(),b于 是 解 得24,e163.2e8. （ 2015重 庆 高 考 文 科 21） 如 题 （ 21） 图 ， 椭 圆 的 左 、 右21(0)xyab焦

15、 点 分 别 为 ， 过 的 直 线 交 椭 圆 于 两 点 ， 且12,F2,PQ1.PF(1)若 求 椭 圆 的 标 准 方 程 ；12,PF（ 2） 若 试 确 定 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 .134Q且 e【 解 题 指 南 】 （ 1） 直 接 根 据 椭 圆 的 定 义 即 可 求 出 椭 圆 的 长 轴 长 即 焦 距 ， 从 而 可 求 出 椭 圆的 方 程 ， （ 2） 将 离 心 率 整 理 成 关 于 的 函 数 ， 然 后 根 据 函 数 的 单 调 性 进 行 根 求 解 .【 解 析 】 （ 1） 由 椭 圆 的 定 义 ， 故12224,aPF.a设

16、 椭 圆 的 半 焦 距 为 ， 由 已 知c,因 此 即2222121 3,cFP ,c从 而 ba故 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为21.4xy（ 2） 如 答 （ 21） 图 ， 由 得1,PFQ1,PF2211 1.QFPPF由 椭 圆 的 定 义 ， 从 而 有122,.aQa14,于 是 21,PF解 得 故12,aPF212(1).由 勾 股 定 理 得222211()4,PFFc从 而2241)4aac两 边 除 以 ， 得2241.1e若 记 则 上 式 变 成2,t224()18.4ett由 并 注 意 到 关 于 的 单 调 性 ， 得3,2134,.3tt即进 而 2155,.93ee即关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块