1、温馨提示：此题库为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word 文档返回原板块。 考点 44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.（2013四川高考理科6）抛物线 的焦点到双曲线 的渐近24yx213yx线的距离是（ ）（A） （B） （C） （D ）12321【解题指南】本题考查的是抛物线与双曲线的基本几何性质，在求解时首先求得抛物线的焦点坐标，然后求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选 B，由抛物线 的焦点 ，双曲线 的一条渐近线方24yx(1,0)213yx程为 ，根据点到直线的距离公式可得 ，故选 B.30x
2、y 2d2.（2013山东高考文科11）与（2013山东高考理科11）相同抛物线 C1：y= x2(p0)的焦点与双曲线 C2： 的右焦点的连线交 C1p 213xy于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p=（ ） A. B. C. D.316382343【解题指南】 本题考查了圆锥曲线的位置关系,可先将抛物线化成标准方程,然后再利用过交点的切线平行于 C2 的一条渐近线,求得切线斜率,进而求得 p 的值.【解析】选 D. 经过第一象限的双曲线的渐近线为 .抛物线的焦点为3yx,双曲线的右焦点为 . ，所以在 处的切线斜率为 ，(0)2pF2(,0)F
3、1yxp20(,)Mp3即 ，所以 ，即三点 ， ， 共线，所以013x03xp(,)2(,)F3(,)6，即 .6203p43二、填空题3. （ 2013江西高考理科14）抛物线 x2=2py（p0）的焦点为 F，其准线与双曲线 相交于 A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则2xy13p=_.【解题指南】A、B、F 三点坐标都能与 p 建立起联系，分析可知ABF 的高为P，可构造 p 的方程解决 .【解析】由题意知ABF 的高为 P，将 代入双曲线方程得 A，B 两点的y2横坐标为 ，因为ABF 为等边三角形，所以 ，从而解2x34 02ptan634得 ，即 .2p6p【答案】6.4.（
4、2013安徽高考理科13）已知直线 交抛物线 于 两点。若ya=2yx=,AB该抛物线上存在点 ，使得 为直角，则 的取值范围为_C AB【解题指南】 点 C 的轨迹是圆心在 y 轴上、半径为 的圆，数形结合可得。r【解析】联立直线 与抛物线 得 ，满足题设条件的点 C 的轨迹ya=2yx=,a是以 为圆心， 为半径的圆，其方程为 。由数形结合a（ 0， ） r 22+（ ）xya可知当 时满足题设要求，解得 。r 1【答案】 .1,+ )三、解答题5.（2013北京高考理科19）已知 A、B、C 是椭圆 W： 上的三个214xy点，O 是坐标原点.(1)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形
5、OABC 为菱形时，求此菱形的面积.(2)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由.【解题指南】 （1）利用 OB 的垂直平分线求出 AC 的长，再求面积；（2）若是菱形，则 OA=OC，A 点与 C 点的横坐标相等或互为相反数。【解析】 （1）线段 OB 的垂直平分线为 ， 或1x3(,),(1)2AC所 以， ，所以菱形面积为 |OB|AC|= 2 =3(,)(,)2AC所 以 |3AC所 以 3.（2）四边形 OABC 不可能是菱形，只需要证明若 OA=OC，则 A 点与 C 点的横坐标相等或互为相反数.设 OA=OC=r（r 1)，则 A、C 为圆
6、 与椭圆 的交点.22xyr2:14xWy， ,所以 A 点与 C 点的横坐标互为相反数或相等，2314x231xr此时 B 点为顶点.因此四边形 OABC 不可能是菱形.6.（2013江西高考文科20）椭圆 C: (ab0)的离心率 ，2xy1ab3e2a+b=3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图， A,B,D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点，直线 DP交 x 轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设 BP 的斜率为 k，MN 的斜率为 m，证明:2m-k 为定值.【解题指南】 （1）借助椭圆中 的关系及两个已知条件即可求解；（2）2abc可以写出 BP 的
7、直线方程，分别联立椭圆方程及 AD 的方程表示出点 P、M 的坐标，再利用 DP 与 x 轴表示点 N 的坐标，最终把 m 表示成 k 的形式，就可求出定值；另外也可设点 P 的坐标，把 k 与 m 都用点 P 的坐标来表示.【解析】(1) 因为 ，所以 ，又由 得 ，代入3ce2a2c322abc1c3a+b=3，得 .故椭圆 C 的方程为 .c3,a,b1 2xy14(2)方法一：因为 B(2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线 BP 的方程为，yk(x2)0,k)2将代入 ，解得 P .y14228k4(,)1直线 AD 的方程为： . x联立解得 M .k24(,)1由 D（0,1） ，P
8、 ，N（x,0）三点共线可知 ，即228(,)4k 24k108x，所以点 .4k2x1(,0)1所以 MN 的斜率为 m ,224k04k(1)k1214则 （定值）.2k1m方法二：设 ，则 ，直线 AD 的方程为 ，00P(x,y),2)0ykx21y(x2)直线 BP 的方程为 ，直线 DP 的方程为 .0(x)0y1令 y=0，由于 ，可得 .0y10N(,)y1解 可得 M ，01(x2)y0042x4y(,)yx2所以 MN 的斜率为0 0220 002x4y(1)m4y8x4y1= .0 02 20 04y(1)8xx2故 00000()y(1)y(x2)mky )220000
9、00012(x(4)y()2(1)x(x) yx（定值）.00(y)(y12x27. （ 2013广东高考文科 20）已知抛物线 的顶点为原点，其焦点C（ ）到直线 ： 的距离为 . 设 为直线 上的点，过点(0,)Fcl20xy32Pl作抛物线 的两条切线 PA，PB,其中 A,B 为切点.PC（1（ 求抛物线 的方程；（2）当点 为直线 上的定点时，求直线 的方程；0(,)Pxyl AB（3）当点 在直线 上移动时，求 的最小值.|F【解题指南】本题以抛物线的切线为载体，考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中，抛物线的性质需要熟练运用.【解析】 （1）因为 到直线 ：
10、 的距离为 ，即 ，(0,)Fcl20xy322|0|321()c所以 （注意 ） ，可得抛物线 的方程为 ；cC24xy（2）设切点 ，则 .12(,)(,)AxyB2124,xy对 （即 ）求导可得 ，切线 的斜率为 ，将4xy4PA1012yx和 代入整理可得 ，同理切线 的斜率为2102x102yxPB，将 和 代入整理可得 ，由可220yx24y0 200yxy得点 都适合方程 ，也就是当点 为直线 上12(,)(,)ABx02yx0(,)l的定点时，直线 的方程即为 .（3）由抛物线的性质可知 到焦点 的距离等于到准线12(,)(,)AxyB(0,)Fc的距离，所以 ，1y|F.1
11、2122|()AFByy联立方程 ,消去 整理得 ，由一元二次方程0024xx22200yxy根与系数的关系可得 , ，所以 .210y2102001AFByxy又 ，则 ，所以当 时, 02yx 2220000195xyy0取得最小值,且最小值为 .AFB 98. （ 2013广东高考理科 20）已知抛物线 的顶点为原点，其焦点C（ ）到直线 ： 的距离为 . 设 为直线 上的点，过点(0,)Fcl20xy32Pl作抛物线 的两条切线 PA，PB,其中 A,B 为切点.PC（1（ 求抛物线 的方程；（2）当点 为直线 上的定点时，求直线 的方程；0(,)xyl（3）当点 在直线 上移动时，求
12、 的最小值.P|AFB【解题指南】本题以抛物线的切线为载体，考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中，抛物线的性质需要熟练运用.【解析】 （1）因为 到直线 ： 的距离为 ，即 ，(0,)Fcl20xy322|0|321()c所以 （注意 ） ，可得抛物线 的方程为 ；cC24xy（2）设切点 ，则 .12(,)(,)AxyB2124,xy对 （即 ）求导可得 ，切线 的斜率为 ，将4xy4PA1012yx和 代入整理可得 ，同理切线 的斜率为2102x102yxPB，将 和 代入整理可得 ，由可220yx24y0 200yxy得点 都适合方程 ，也就是当点 为直线 上12
13、(,)(,)ABx02yx0(,)l的定点时，直线 的方程即为 .（3）由抛物线的性质可知 到焦点 的距离等于到准线12(,)(,)AxyB(0,)Fc的距离，所以 ，1y|F.12122|()AFByy联立方程 ,消去 整理得 ，由一元二次方程0024xx22200yxy根与系数的关系可得 , ，所以 .210y2102001AFByxy又 ，则 ，所以当 时, 02yx 22200001915yxyy012y取得最小值,且最小值为 .AFB 99. （2013重庆高考理科21）如图，椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，Ox离心率 ，过左焦点 作 轴的垂线交椭圆于 、 两点， 2e1FxA4A
14、（）求该椭圆的标准方程；（）取垂直于 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 、 ，过 、 作圆心x PP为 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 外若 ，求圆 的标准方程QQQ【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程，设出 点的坐标，利用椭圆上的其余点均在圆 外且 求出圆的方程.P【解析】 （）设椭圆方程为 + =1(ab0),由题意知点 在椭圆上,则)2(cA从而 由 ，得 从而.12)(bac.142bc2e,81422cb,162ba故该椭圆的标准方程为 .862yx（）由椭圆的对称性,可设 ,又设 是椭圆上任意一点,则)0(Q)(yxM.)4,(821682)( 20220202 xxyxQ
15、M设 ,由题意 , 是椭圆上到 的距离最小的点,因此,上式当 时取最小值,1PP 1又因为 ,所以上式当 时取最小值 ,从而 ,且41x02x012x.8202xQP因为 ，且 所以PQ),(1yxP ,)()(101yyxPQ即 .由椭圆方程及 得 ,0)(2101yx 012x6842121解得 .从而36,36410x .3202P故这样的圆有两个,其标准方程分别为 ,316322yx .3162yx10. （2013重庆高考文科21）如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在 x轴上，离心率 2e，过左焦点 1F作 x轴的垂线交椭圆于 A、 两点， 4A（）求该椭圆的标准方程；（）取平行于 y
16、轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P、 ，过 、 P作圆心为 Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q外求 的面积 S的最大值，并写出对应的圆 的标准方程【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程，设出 点的坐标，利Q用椭圆上的其余点均在圆 外可求 PQ的面积 S的最大值以及圆的方程.【解析】 （）由题意知点 在椭圆上,则 从而)2(cA.12)(bac.142bc由 ，得 从而2e,81422cb,1622cba故该椭圆的标准方程为 .62yx（）由椭圆的对称性,可设 ,又设 是椭圆上任意一点,则)0(Q)(yxM.)4,(821682)( 20220202 xxyxQM设 ,由题意, 是椭圆
17、上到 的距离最小的点,因此,上式当 时取最小值,1PP 1又因为 ,所以上式当 时取最小值,从而 ,且4x02x012x.8202xQP由对称性知 故 ,所以),(1y 1y 010162yS.4242020xx当 时, 的面积 取到最大值 .0xQPS2此时对应的圆 的圆心坐标为 ,半径 因此,这样的圆有)0(6820xQP两个,其标准方程分别为,62yx.62yx11. （2013新课标高考文科21）与（2013新课标高考理科20）相同已知圆 ： ,圆 ： ,动圆 与 外切并且与圆 内切，M1)(2yxN9)1(2yxPMN圆心 的轨迹为曲线 .PC（）求 的方程；（） 是与圆 ,圆 都相
18、切的一条直线， 与曲线 交于 A，B 两点，当圆l lC的半径最长时，求 . P|AB【解题指南】 （）根据圆的位置关系与半径的关系并结合圆锥曲线的定义确定曲线 C 的方程.（）结合图象，确定当圆 的半径最长时的情形，并对 的值进行分类求解.Pk【解析】由已知得圆 的圆心为 ，半径 ；圆 圆心为 ，半径M)0,1(1rN)0,1(.设圆 的圆心为 ,半径为32rP)(yxR（）动圆 与 外切并且与圆 内切。 ，所以N)()(| 21RrPM421r由椭圆定义可知，曲线 是以 ， 为左、右焦点，长半轴长为 2,短半轴长为CM的椭圆（左顶点除外） ，其方程为 .3 )2(1342xyx（）对于曲线
19、 上任意一点 ,由于 ，所以 ，当)(P2| RPN2R且仅当圆 的圆心为 时， ，所以当圆 的半径最长时，其方程为P)0,2(2R.4)2(yx若 的倾斜角为 ，则 与 轴重合，可得 .l9ly32|AB若 的倾斜角不为 ，由 ，知 不平行于 轴，设 与 轴的交点为 ，0Rr1lxlxQ则 ，可求得 ，所以可设 ： ，由 与圆 相切得1|rRQMP),4(Ql)4(kylM，解得 .|32k2k当 时，将 代入 ，并整理得 ，44xy1342yx 0872x解得 ， ，所以 .7261x761 1|2kAB当 时，由图形的对称性可知 .4k 718|综上， 或 .32|AB718|12.（2
20、013江西高考理科20）如图，椭圆 经过点 P（2xyC:1(ab0)） ，离心率 ，直线 l 的方程为 x=4.31,21e2（1）求椭圆 C 的方程；（2）AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P） ，设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k 2，k 3.问：是否存在常数 ，使得k1+k2=k 3？若存在，求 的值；若不存在，说明理由【解题指南】 （1）注意到点 P 在椭圆上， 与 可求出椭圆中的cea22bca，b，进而可写出椭圆的方程；(2) 设出直线 AB 的方程，联立直线与椭圆方程，结合 A、F、B 三点共线可得 k1+k2 与 k
21、3 的关系,进而可求 的值【解析】 （1）由 在椭圆上得， 3P(,)29a4b依题设知 a=2c，则 a2=4c2, ， 2bc将代入得 故椭圆 C 的方程为 .22c1,4,3.2xy143（2）方法一：由题意可设 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 yk(x1)代入椭圆方程并整理得 222(4k3)x8()0.设 ，则有 12A(x,y)B(,)121243,xk在方程中令 x=4 得 M(4，3k).从而 1233yk12k, .x14注意到 A、F、B 三点共线，则有 ,即 .AFBk12ykx所以 121212 123yy3k ()xx12()将代入得212228k343k
22、 k1.() 又 ，所以 故存在常数 符合题意.3k123k.方法二：设 ，则直线 FB 的方程为： ，0B(x,y)0y(x1)令 x=4，求得 ，03M(4,)1从而直线 PM 的斜率为 ，032yx1k()联立 ，解得 ，02y(x1)4300583A(,)2x5则直线 PA 的斜率为 ，直线 PB 的斜率为 ，01yk() 02y3k(x1)所以 ，故存在常数 符合题意.00012 3yx523x1k 2()()13. （2013湖北高考文科T22）与（2013湖北高考理科T21 ）相同如图，已知椭圆 C1 与 C2 的中心坐标原点 O，长轴均为 MN 且在 X 轴上，短轴长分别为 2
23、m， 2n（mn）,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1， C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D。记 = ，BDM 和ABN 的面积mn分别为 S1 和 S2.。（）当直线 l 与 轴重合时，若 S1= S 2 ，求 的值；y（）当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 ，使得 S1= S2？并说明l理由【解题指南】 （ ）由 S1=S 2 列出方程解出 的值,验证 1 得 的值. （）先假设存在,看是否能求出符合条件的 ,如果推出矛盾就是不存在.【解析】依题意可设椭圆 和 的方程分别为1C2： ， ： . 其中 ，1C21xyam2xyan0amn1.n（）方法 1
24、：如图 1，图 1若直线 与 轴重合，即直线 的方程为 ，则lyl0x， ，所以 . 11|22SBDOMaB21|2SABONaAB 12|SBDA在 C1 和 C2 的方程中分别令 ，可得 ， ， ，0xymnym于是 .| 1BDAymn若 ，则 ，化简得 . 由 ，可解得 .12S120121故当直线 与 轴重合时，若 ，则 . ly12S2方法 2：如图 1，若直线 与 轴重合，则ly， ；|BDOmn|ABOmn， .1|22SMaD 211|2SNaAB所以 . 2|nAB若 ，则 ，化简得 . 由 ，可解得 .12S1210121故当直线 与 轴重合时，若 ，则 . ly12S
25、2（）方法一：如图 2，图 2若存在与坐标轴不重合的直线 ，使得 . 根据对称性，l1S不妨设直线 ： ，l(0)ykx点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则(,0)Ma(,)Nl 1d2因为 ， ，所以 . 122|1kakd22|1akkd12d又 ， ，所以 ，即 . 11|SBD22|SAB2|SBDA|BA由对称性可知 ，所以 ，|C|(1)|，于是|(1)|A. |1DBC将 的方程分别与 C1，C 2 的方程联立，可求得l， .22Aamxk22Banxk根据对称性可知 ， ，于是CBxDAx. 2 21| ADABBCkADmaknBC从而由 和 式可得. 21()aknm令
26、，则由 ，可得 ，于是由 可解得 .()t n1t2(1)ntka因为 ，所以 . 于是式关于 有解，当且仅当 ，0k20kk2()0t等价于 . 由 ，可解得 ，221()t11t即 ，由 ，解得 ，所以1() 2当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ；2 12S当 时，存在与坐标轴不重合的直线 使得 . 1 12方法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 ，使得 . 根据对称性，l12不妨设直线 ： ，l(0)ykx点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则(,0)Ma(,)Nl 1d2因为 ， ，所以 . 122|1kakd22|1akkd12d又 ， ，所以 .11|SBD22
27、|SAB2|SBDA因为 ，所以 .2| DBAABkxxA1Bx由点 ， 分别在 C1，C 2 上，可得(,)x(,)， ，两式相减可得 ，221Akam22Bkxan222()0ABABxkxam依题意 ，所以 . 所以由上式解得 . 0Ax2AB222()BA因为 ，所以由 ，可解得 .2k22()0BAmxa1ABx从而 ，解得 ，112所以当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 ，使得 ；2 l12S当 时，存在与坐标轴不重合的直线 ，使得 .1 l1214. （2013大纲版全国卷高考文科22）与（2013大纲版全国卷高考理科21）相同已知双曲线 离心率为 直线2 12:10,xyCa
28、bF的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， ， 3，26.y与 的 两 个 交 点 间 的 距 离 为（I）求 ,.ab（II ） 2设 过 的 直 线 与 的 左 、 右 两 支 分 别 相 交 于 ， 两 点 ， 且FlCAB证明：1BA22.， ， 成 等 比 数 列ABF【解题指南】 （I）利用 及 列出关于 的方程3ac 6.yC与 的 两 个 交 点 间 的 距 离 为 a求解 的值.ba,（II ）将过 的直线 与（I）中所求双曲线方程联立成方程组，化简成关于 的2Fl x一元二次方程，由 求得 的值，然后求出 ， ， 进行证明.1BFAk2AFB2【解析】 （I）由题设知 ，即
29、 ，故 .3ac92ab8a所以 的方程为 .C228yx将 代入上式，求得 .2y 12a由题设知， ，解得 .621a2所以 ， .b（II ）由（I）知， ， ， 的方程为 .)0,3(1F),(2C82yx由题意可设 的方程为 ，代入并化简得l 2|),3(kxy.0896)8(22kxk设 ， ，则 ， ， ， .,1yA),(2yB1x28621kx8921kx于是 ，8)3(3| 1111xF )3(1)(| 22221 xy2由 得 ，即 ，故 .|1A|B)13(x2321x32862k解得 从而 .542k921由于 ，8)3()3(| 2112 xyxF 1x.22|=-
30、+=-+-Bx2故 ，4)(| 2122BA.69)(3| 12 xxF因而 ,所以 、 、 成等比数列.22| |2AF|B|2F15.（2013上海高考文科T23）与（2013上海高考理科T22 ）相同如图，已知双曲线 C1: ，曲线 C2: .P 是平面内一点.若存在过点2xy1xyP 的直线与 C1、C 2 都有共同点，则称 P 为“C 1-C2 型点”.（1）在正确证明 C1 的左焦点是“C 1-C2 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证） ；（2）设直线 y=kx 与 C2 有公共点，求证 1，进而证明圆点不是“C 1-C2 型点”k；（3）求
31、证：圆 内的点都不是“C 1-C2 型点”.212yx【解析】(1)C 1 的左焦点为(- ,0),写出的直线方程可以是以下形式:x=- 或 y=k(x+ ),其中|k| .3(2)因为直线 y=kx 与 C2 有公共点,所以方程组 有实数解,因此|kx|=|x|+1,得|k|= 1.x1若原点是“C 1-C2 型点”,则存在过原点的直线与 C1,C2 都有公共点.考虑过原点与 C2 有公共点的直线 x=0 或 y=kx(|k|1).显然直线 x=0 与 C1 无公共点 .如果直线为 y=kx(|k|1),则由方程组得 x2= 1)与 C1 也无公共点.因此原点不是“C 1-C2 型点”.(3
32、)记圆 O:x2+y2= ,取圆 O 内的一点 Q,设有经过 Q 的直线 l 与 C1,C2 都有公共点,显然 l 不垂直于 x 轴,故可设 l:y=kx+b.若|k|1,由于圆 O 夹在两组平行线 y=x1 与 y=-x1 之间,因此圆 O 也夹在直线 y=kx1 与 y=-kx1 之间,从而过 Q 且以 k 为斜率的直线l 与 C2 无公共点,矛盾,所以|k|1.因为 l 与 C1 有公共点,所以方程组 有实数解,得(1-2k 2)x2-4kbx-2b2-2=0.因为|k|1, 所以 1-2k20,因此 =(4kb )2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)0,即 b22k 2-1.因为圆 O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= ,所以 =d2b22k 2-1,1得 k21 矛盾.因此,圆 x2+y2= 内的点都不是 “C1-C2 型点”.关闭 Word 文档返回原板块。
