1、温馨提示：此题库为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word 文档返回原板块。 考点 11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013辽宁高考理科12）设函数 满足()fx则 x0 时,f(x) （ ）22()(),().8xexfff有极大值，无极小值 有极小值，无极大值.A .B既有极大值又有极小值 既无极大值也无极小值C D【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。【解析】选 D.由题意知 ，2332()()()xxefeff -=-x2x2g()ef(),gf()4f(1). )xx则令
2、=-+-由 得 ,当 时,()0g2=2min08exe-即 ,则当 时, ,()0gx3()0gxf=故 在(0,+) 上单调递增,既无极大值也无极小值.fx2. （2013新课标高考文科12）与（2013新课标高考理科11）相同已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）0),1ln(2)xxf axf|)(|A. B. C. D. 0,(1,20,2【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用 在 处的切线为|)(|xf),制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当时， ，0xxfxg2|)(|， ，故 .2)(0a当 时， ，x)1ln(|)|(
3、xfx 1)(xg由于 上任意点的切线斜率都要大于 ，所以)g a，综上 .0a02a3. （2013新课标全国高考文科11）与(2013新课标全国高考理科T10)相同设已知函数 ，下列结论中错误的是（ ）32()fxabxcA. ，0xR0B.函数 的图象是中心对称图形()yfC.若 是 的极小值点，则 在区间 单调递减0x()fx0(,)xD.若 是 的极值点，则()f 0【解析】选 C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A 项,因为函数 f(x)的值域为 R,所以一定存在 x0R,使 f(x0)=0,A 正确.B 项,假设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的对称中心为(m,n)
4、,按向量 将函数的图象平移,()amn则所得函数 y=f(x+m)-n 是奇函数,所以 f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上式对 xR 恒成立,故 3m+a=0,得 m=-,n=m3+am2+bm+c=f ,所以函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的对称中心为a 3a,故 y=f(x)的图象是中心对称图形 ,B 正确.C 项,由于 =3x2+2ax+b,f ()fx是二次函数,f(x)有极小值点 x0,必定有一个极大值点 x1,若 x10, 单调递增,g(f()因此 g(x)= 至多有一个零点,不符合题意,应舍去.f(x)当 a
5、0 时,令 =0,解得 x= g1,2a因为 ,函数 g(x)单调递增;1(0)(02a令时， 函数 g(x)单调递减.,xx所以 x= 是函数 g(x)的极大值点,则 g 0,12a 12a即 ln +1-1=-ln(2a)0,所以 ln(2a)1 11a.2a7. （2013天津高考文科8）设函数 . 若实数 a, 22,()ln) 3(xgxfeb 满足 , 则 （ ）()0,()fagbA. B. f()0()fbgaC. D. 0()gafbf【解题指南】先由 确定 a,b 的大小，再结合()0,()fagb的单调性进行判断.22,()ln) 3(xgxfe【解析】选 A. 因为 所
6、以 在其定义域内是单调递增的，0,(1)xfe()2xfe由 知 又因为 ， ，故 在 上也是()0fa1,a0x1()20gx 2()ln3gx(0,)单调递增的，由 知 ，所以 ， ，因此babfab。()0()gafb8.(2013浙江高考理科T8)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则 ( )A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值【解题指南】当 k=1,2 时,分别验证
7、 f(1)=0 是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.【解析】选 C.当 k=1 时,f(x)=e x(x-1)+ex-1,此时 f(1)0,故排除 A,B;当 k=2 时,f(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时 f(1)=0,在 x=1 附近左侧,f(x)0,所以 x=1 是 f(x)的极小值点.9.(2013浙江高考文科T8)已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( )【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质.【解析】选 B.因为 f(x)0(x(-1,1),所以 f(x)在(-1,1
8、)为增函数,又 x(-1,0)时,f(x)为增函数 ,x(0,1)时,f(x) 为减函数,所以选 B. 10. （2013大纲版全国卷高考文科10）已知曲线 （ ）421-28=yxaaa在 点 ， 处 切 线 的 斜 率 为 ，A. B. C. D.9696【解题指南】先对函数求导，将 x=-1 代入到导函数中即可求出 的值.a【解析】选 D.由题意可知，点 在曲线上，因为 ，则)2,1(a xy243，解得8)1(2)(43a6二、填空题11. （2013 广东高考文科 12）若曲线 y=ax2-lnx 在点(1,a)处的切线平行于x 轴,则 a= .【解题指南】本题考查导数的几何意义、直
9、线的斜率、直线平行等知识,可先求导.【解析】对 y=ax2-lnx 求导得 ,而 x 轴的斜率为 0,所以在点(1,a)处切线12ya的斜率为 ,解得 .10xya【答案】 .212. （2013新课标高考理科16）若函数 的图像)(1)(2baxxf 关于直线 对称，则 的最大值为_.x)(xf【解题指南】首先利用数 的图像关于直线 对称求出 的值，然后利2x,用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解.【解析】因为函数 的图像关于直线 对称，所以 ，得)(xf x)4(0f，又 ，ab15604 aba )1(234而 ， .0)2(f 0)2(1)2(3)(4ab
10、a得 即 ，解得 ， .81ba81560b815故 ，)()(2xxf则 43 )276(423xx)1)(24xx令 ，即 ，则 或 或 .0f 0)1(2xx52当 变化时， ， 的变化情况如下表：x)xff)52(f 15)2(8)52()(1 16)548)(4故 的最大值为 .)(xf6【答案】16三、解答题13. （2013大纲版全国卷高考文科21）已知函数 32=1.fxax（I）求 ；2;afx时 ， 讨 论 的 单 调 性（II ）若 ,0,.xa时 ， 求 的 取 值 范 围【解析】 （I）当 时， ，132)(3xxf.3263)(xxf令 ，得 ， .0)(xf 12
11、1x12x当 时， ， 在 是增函数；),0)(f)(f),当 时， ， 在 是减函数；2(xxx12(当 时， ， 在 是增函数.),1)(f)(f),（II ）由 得 .0(f45a当 ， 时，45a),2x，)12(31(3) xf 0)2(3x所以 在 是增函数，于是当 时， .x),2,0)2(fxf综上， 的取值范围是 .a),4514. （2013江苏高考数学科20）设函数 ， ，其axfln)( axeg)(中 为实数。a（1）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值)(xf),1)(xg),1范围；（2）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论。
12、)(xg),)(xf【解题指南】(1)先对 f(x)=lnx-ax 求导,利用条件 f(x)在(1,+)上是单调减函数求出 a 的范围 ,再利用 g(x)在(1,+)上有最小值求出 a 的范围,两者取交集.(2)注意函数方程不等式间的相互转化.【解析】(1)令 ,考虑到 f(x)的定义域为(0,+),故 a0,进而解1()0axfx得 xa-1,即 f(x)在(a -1,+)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a -1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+)上是单调减函数,故(1,+ ) (a-1,+), 从而 a-11,即 a1.令 g(x)=ex-a=0,得 x=lna.当 xlna
13、时, 0.又 g(x)在(1,+)上有最小(gx ()gx值,所以 lna1,即 ae.综上 ,有 a(e,+ ).(2)当 a0 时,g(x)必为单调增函数;当 a0 时,令 =ex-a0,()g解得 alna,因为 g(x)在(-1,+)上是单调增函数,类似(1) 有 lna-1, 即00,得 f(x)存在唯一的零点.1()fx(ii)当 a0,且函数 f(x)在e a,1上的图象不间断,所以 f(x)在(e a,1)上存在零点.另外,当 x0 时, ,故 f(x)在01)(xf(0,+) 上是单调增函数,所以 f(x)只有一个零点.(iii)当 00,当 xa-1 时, ()fx0,即
14、00,且函数 f(x)在e -1,a-1上的图象连续,所以 f(x)在(e -1,a-1)上存在零点.另外,当x(0,a -1)时,f(x)= 0,故 f(x)在(0,a -1)上是单调增函数 ,所以 f(x)在(0,a -1)上只有1ax一个零点.下面考虑 f(x)在(a -1,+)上的情况,先证 f( )=a(a-2- )e 时,e xx2.设 h(x)=ex-x2,则 =ex-2x,再设 =ex-2x,则()h()lxh=ex-2.()l当 x1 时, =ex-2e-20,所以 在(1,+)上是单调增函数.故当 x2 时,()l ()lx=ex-2x =e2-40,从而 h(x)在(2,
15、+ )上是单调增函数,进而当 xe 时,h(x)()hh=ex-x2h(e)=ee-e20.即当 xe 时,e xx2.当 0e 时， f( )=a(a-2- )0,且函数 f(x)在a -1, 上的图象连续,所以 f(x)在(a -1, )上存在零点.1 1ae又当 xa-1 时,f(x)= 0。（）求 l 的长度(注:区间(,)的长度定义为 - )；（）给定常数 k （0，1） ，当 1-ka1+k 时，求 l 长度的最小值。【解题指南】 （1）求出方程 的两个根；（ 2）利用导数求函数的最小值。()=0fx【解析】 （1）因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a0)有两个实根 1220,
16、ax=+故 f(x)0 的解集为x|x 10),2x所以 f(1)=1,f(1)=-1,所以 y=f(x)在点 A(1,f(1)处的切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.(2)由 f(x)= ,x0 可知:1ax当 a0 时 ,f(x)0,函数 f(x)为(0,+)上的增函数 ,函数 f(x)无极值;当 a0 时,由 f(x)=0,解得 x=a;因为 x(0,a)时,f (x)0,所以 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-alna,无极大值.综上:当 a 0 时,函数 f(x)无极值,当 a0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,
17、无极大值. 21.(2013福建高考理科T20)已知函数 的周期为 ,图)0,)(sin)( wxf象的一个对称中心为 ,将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍04(纵坐标不变), 再将得到的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象.2(1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式.(2)是否存在 ,使得 f(x0),g(x0),460xf(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 x0 的个数,若不存在,说明理由.(3)求实数 a 与正整数 n,使得 F(x)=f(x)+ag(x)在 内恰有 2 013 个零点.n,【解题指南】第(3)问要求考生化整体到
18、局部,先研究函数在一个周期内图象的性质,再从特殊到一般地解决问题.【解析】(1)由函数 f(x)=sin(x+ )的周期为 ,0,得 =2,又曲线 y=f(x)的一个对称中心为 , (0, ),(04故 ,得 = ,所以 f(x)=cos 2x.()sin(2)04f2将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍( 纵坐标不变)后可得 y=cos x 的图象,再将 y=cosx 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)=sin x.(2)当 x 时, cos2xsinxcos2x.问题转化为方程 2cos 2x=sin x+sin xcos 2x 在 内是否有解,()64设
19、G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x ,()则 G(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为 x ,所以 G(x)0,G(x) 在 内单调递增.()64(,)64又 ， .1)02()0且函数 G(x)的图象连续不断,故可知函数 G(x)在 内存在唯一零点 x0,(,)64即存在唯一的 满足题意.0(,)64x(3)依题意 ,F(x)=asin x+cos 2x,令 F(x)=asin x+cos 2x=0,当 sin x=0,即 x=k(kZ)时,cos 2x=1,从而 x=k(k Z )不是方程 F(x)=0 的解,所以方程
20、 F(x)=0 等价于关于 x 的方程 ,xk(kZ),cos2inxa现研究 x(0,) (,2)时方程解的情况,令 ,x(0,)(,2),cos2(inh则问题转化为研究直线 y=a 与曲线 y=h(x)在 x(0,) (,2)的交点情况, ,令 h(x)=0,得 或 .2cos(i1)()nxh23当 x 变化时,h(x)和 h(x) 变化情况如下表(0,)2(,)23(,)23(,2)()hx0Z11Z当 x0 且 x 趋近于 0 时,h(x)趋向于-,当 x 且 x 趋近于 时,h(x)趋向于+,当 x1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,)内无交点,在( ,2)内有 2
21、 个交点;当 a-1 时, 直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0, )内有 2 个交点,在(,2)内无交点;当-1a1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0, )内有 2 个交点,在(,2) 内有 2 个交点,由函数 h(x)的周期性,可知当 a1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,n) 内总有偶数个交点,从而不存在正整数 n,使得直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,n) 内恰有2013 个交点;当 a=1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,) (,2) 内有 3 个交点,由周期性,2 013=3 671,所以 n=6712=1 342.综上,当 a=
22、1,n=1 342 时,函数 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,n) 内恰有 2 013 个零点. 22.（2013福建高考文科22）已知函数 （ , 为自然对数(1xafxeRe的底数）.（I）若曲线 在点 处的切线平行于 轴,求 的值;()yfx(1,)f xa（II ）求函数 的极值;（III）当 时,若直线 与曲线 没有公共点,求 的最大值.1a:lykx()yfxk【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为 0，欲求极值，先求单调性，要注意对参数 a 进行讨论。【解析】方法一：（）由 ，得 1xafxe1xafe又因为曲线 在点 处的切线平行于 轴，yfx1,得 ，
23、即 ，解得 10f 0aea（） ，1xafe当 时， ， 为 R 上的增函数，所以函数 无极值00ffx fx当 时，令 ，得 ， aealnx， ； ， ,lnxfxln,0f所以 在 上单调递减，在 上单调递增，f,lal,故 在 处取得极小值，且极小值为 ，无极大值xlnfa综上，当 时，函数 无极小值；0fx当 ， 在 处取得极小值 ，无极大值afxlnal（）当 时，11xe令 ，gxfkxk则直线 ： 与曲线 没有公共点，lyyfx等价于方程 在 上没有实数解0xR假设 ，此时 ， ，1k1g10kgke又函数 的图象连续不断，由零点存在定理，可知 在 上至少有一解，x 0gxR
24、与“方程 在 上没有实数解”矛盾，故 0gR1k又 时， ，知方程 在 上没有实数解1k1xe0gxR所以 的最大值为 方法二：（） （）同解法一（）当 时， 1a1xfxe直线 ： 与曲线 没有公共点，lykyf等价于关于 的方程 在 上没有实数解，即关于 的方程：x1xeRx（*）1xke在 上没有实数解R当 时，方程（*）可化为 ，在 上没有实数解1k0xeR当 时，方程（*）化为 1k令 ，则有 xgexgx令 ，得 ，01当 变化时， 的变化情况如下表：xx,11,gx 0AeA当 时， ，同时当 趋于 时， 趋于 ，1xmin1xexgx从而 的取值范围为 g,所以当 时，方程（
25、*）无实数解，1,ke解得 的取值范围是 1,综上，得 的最大值为 k23.（2013广东高考理科21）设函数 （ ）.2()1exfkR（2）当 时，求函数 的单调区间；1k()fx（3）当 时，求函数 在 上的最大值 .(,20,kM【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.【解析】 （1）当 时， ，求导可得 ，1k2()1exf()e2()xxf令 可得 ，则当 时， ；当 时， ；()0fx,ln2x0x()0fxln2x()0fx当 时， ；所以函数 的单调递增区间是 ，单调递ln2()0f()f (,0),减区间是 ；,l（2）
26、对 求导可得 ，因为2()1exfk()e(1)2(e)xxxf kk，所以 ，令 可得 ，显然 而1,k(,()0fx,ln0ln2l.则当 时， ；当 时， ；所以函数 的ln0ln2)xk()xk()fx()fx单调递增区间是 ，单调递减区间是 .(,0,ln2令 ,则 ,又当 k=1 时， ，lgkk1kg0gk=令所以 在 上递增,12所以 ,从而 ,所以lnln0gkeln2kln20,k所以当 时 , ；当 时, ；0,xfxxfx所以 3ma,ma1,kMfke令 ,则 ,31khkekh令 ,则30ke所以 在 上递减,而k1213022e所以存在 使得 ,且当 时, ,0,
27、0k01kk当 时, ,01kxk所以 在 上单调递增,在 上单调递减.h020,1k因为 , ,178eh所以 在 上恒成立 ,当且仅当 时取得“ ”.0hk,21k综上,函数 在 上的最大值 .fx0,k31kMe24.（2013广东高考文科21）设函数 xxf2)(kR(1) 当 时 ,求函数 的单调区间；1k)(xf(2) 当 时,求函数 在 上的最小值 和最大值 0k,mM【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.【解析】对函数 求导得 .32()fxkx231fxkx(1)当 时 ，由 可知 , 在 上单调递1k21 41800f
28、fxR增.（2）方法一：当 时， ，其图像开口向上，对称轴 0k231fxkx3kx，且过点 1，（i）当 ，即 时， ， 在2430kk30k0fxfx上单调递增，从而当 时， 取得最小值 ，当 时，,kxfxmkk取得最大值 .fx332Mfkk（ii）当 ，即 时，令 解2410k2310fxkx得 ，注意到 ，所以21233,kxx 210kx.1min,ma,fkMff因为 ，所以 的最小值 ；322111xxkxkfxmfk因为 ，所以232322 2=10fxfkxkxkk 的最大值 ；Mf综上所述，当 时， 的最小值 ,最大值 .0kfxmfk32Mfkk方法二：当 时，对 ，
29、都有,k，故 ；3232() (1)0fxkxxkfxfk221)k， 故 .2()10ff又 ， ，所以 ， .0fk3()fkk3max()()2ffkkmin()()fxfk25. （2013湖北高考理科T22）设 是正整数， 为正有理数。nr（）求函数 = 的最小值；xf )1()()1(xr（）证明： r ；rnrc rr（）设 R,记 为不小于的最小整数，例如2=2， =4，- =-1.x 23令 = ，求 的值。S338213125S（参考数据：80 344.7，81 350.5，124 618.3，126 631.7）443434【解题指南】导数的应用；（）利用（）的结论证明。
30、 （）利用（）的结论 r 和 n 取特殊值后累加可得。【解析】 （）因为 ，令 ，解得 .()1()(1)()1r rfxrxrx()0fx0x当 时， ，所以 在 内是减函数；10x0ff,0当 时， ，所以 在 内是增函数.()()x)故函数 在 处取得最小值 . fx(f（）由（） ，当 时，有 ，即(1,)x)(0xf，且等号当且仅当 时成立，1()()rx故当 且 时，有0x. 1()()rx在中，令 （这时 且 ） ，得 .1xn1x01()rn上式两边同乘 ，得 ，即1rn1()(1)rrrn1().rrn当 时，在中令 （这时 且 ） ，类似可得1xn1x011().rrn且当
31、 时，也成立.综合 ，得 111()().rrrrrnn（）在中，令 ， 分别取值 81，82，83，125，得3，443381081(281)令，32，443388(8)令.4 433 3125125(6125)令将以上各式相加，并整理得.443312580(1268)S令代入数据计算，可得 ， .435021.令 43268109令由 的定义，得 .S21S26. （2013湖北高考文科T21）设 ， ，已知函数 .0ab()1axbf（）当 时，讨论函数 的单调性；ab()fx（）当 时，称 为 、 关于 的加权平均数.0x()fab（i）判断 , , 是否成等比数列，并证明 ；(1)f
32、f ()bffa（ii） 、 的几何平均数记为 G. 称 为 、 的调和平均数，记为 H.若ab 2ab，求 的取值范围.()HfxGx【解题指南】 （）求出函数的定义域，利用导数判断函数的单调性，注意分类讨论。 （） （i）表示出 , , 用等比中项加以证明， 由(1)f)ba(f ()bffa基本不等式可以证明；（ii）用（）的结论函数的单调性分类证明。【解析】 （I） ),1(),()( 的 定 义 域 为xf，221()()axbaf当 时， ，函数 在 上单调递增；ab()0fxf,1,)当 时， ，函数 在 上单调递减。)(x)(（II ） （ i）计算得 ，0),02,02)1(
33、 abfbafbaf故 ，即2)()(1fabf2)()(ff 所以 成等比数列。)(,),1(abff因 ，由得 。)(),2fba即 )()abff（ii）由（i）知 ，故由 ，得GabfHf)(,)( GxfH)()()(fxabf当 时， 。abff)()(这时， 的取值范围是 ；x,0当 时， ，从而 ，由 式得 ba10aab上 单 调 递 增 与在 ),0()xf，即 的取值范围是 ；abxx,ab当 时， ，从而 ，由 式得 ba1上 单 调 递 减 与在 ),0()xf，即 的取值范围是 。abx,ab27. （2013山东高考理科21）设函数 是自然对数2()(.7182x
34、fce的底数， .)cR（）求 的单调区间，最大值；(fx（）讨论关于 x 的方程 根的个数.|ln()xf【解题指南】 （）先利用导数公式求函数的导数，根据单调性与导数的关系求出函数的单调区间，然后再利用单调性求最值.（）将求函数根的个数问题转化为求函数零点的个数，利用函数的导数来判断函数的单调性，然后利用单调性判断函数零点.【解析】 （） ，xexf21由 解得 ，0xf2当 时， ， 单调递增；21xfxf当 时， ， 单调递减.x所以，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，xf 21, ,21最大值为 .ef12（）令 ， ，cxefxg2lnln,0x 当 时， ，则 ，,1x
35、0g2l所以 ，122xexgx因为 ，0,1x所以 .g所以 在 上单调递增.x,1 当 时， ，则00lnxcxexg2ln所以 ，122exgx因为 ， ，22,1ex 0xx所以 .又 ，12x所以 ，即 .0e0xg因此 在 上单调递减，xg1,综合可知，当 ， ，,0xcegx21当 ，即 时， 没有零点，2ce2e故关于 x 的方程 根的个数为 0；xfln当 ，即 时， 只有一个零点，012ceg2exg故关于 x 的方程 根的个数为 1；xfl当 ，即 时，2ce2ea.当 时，由（ ）知,1x， cxcexcegx 1ln21lnln2要使 ，只需要 ，即 .0xg01ln
36、cx,1cexb.当 时，由（）知1,， cxcexcxexg 1ln2lnln12要使 ，只需要 ，即 ，00lce,所以 时， 有两个零点，2ecxg故关于 x 的方程 根的个数是 2.fln综上所述，当 时，关于 x 的方程 根的个数是 0；2ec xfl当 时，关于 x 的方程 根的个数是 1；n当 时，关于 x 的方程 根的个数是 2.2ec xfl28. （2013山东高考文科21）已知函数 .2()ln(,)fxabxaR() 设 ，求 的单调区间；0a)(xf() 设 ，且对于任意 ， .试比较 与 的大小.0()1fxl2【解题指南】 （）先利用导数公式求函数的导数，根据单调
37、性与导数的关系求出函数的单调区间.（）由条件知， 为函数的最小值，然后构造函数，f利用函数的单调性比较两数的大小【解析】 （）由 ，,0ln2xbaxf得 .xbaf12（1）当 时，0xf若 ，当 时， 恒成立，bx0所以函数 的单调递减区间是f ,若 ，当 时， ，函数 的单调递减，0bbx10xfxf当 时， ，函数 的单调递增，x1f所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .f b1,0,1b（2）当 时， ，0axf得 ，1bx由 得082a abxab48,482221 显然， ,21x当 时， ，函数 的单调递减，00fxf当 时， ，函数 的单调递增，2x所以函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是f ab48,02，,482ab综上所述当 ， 时，函数 的单调递减区间是0bxf ,0当 ， 时，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是af b1, ,1b当 时，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是0xf a48,02.,482ab() 由 ，且对于任意 ， ，则函数 在 处取得最小值，00x()1fxxf1
