1、 2018 届学科网二轮透析高考数学 23 题对对碰【二轮精品】 第一篇 主题 10 空间几何体的三视图、体积、表面积与传统文化【主题考法】本主题的题型为选择填空题，主要考查简单几何体的三视图、由三视图求原几何体的表面积、体 积、文科求体积占多数，理科则求面积居多，考查与简单几何体有关的传统文化，考查空间想象能力、运算求解能力，难度为中档或以下试题，分值为 5 分.学-科网【主题回扣】1概念理解(1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系(2)三视图三视图的正(主)视图、侧( 左) 视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画
2、三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高三视图排列规则：俯视图放在正(主) 视图的下面，长度与正 (主)视图一样；侧( 左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样2柱、锥、台、球体的表面积和体积来源:Zxxk.Com侧面展开图 表面积 体积直棱柱 长方形来源:Z.xx.k.Com S2S 底 S 侧 VS 底 h圆柱 长方形 S2r 22rl V r2l棱锥 由若干三角形构成 SS 底 S 侧 V S底 h13圆锥 扇形 Sr 2rl V r2h13棱台 由若干个梯形构成 SS 上底 S 下底 S 侧 V (S S)h13 SS圆台 扇环 Sr 2(r
3、r)lr 2 V (r2rr r 2)h13球 S4r 2 S r343【易错提醒】1在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主) 视图和俯视图为主2易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数 .133.忽视三视图的实、虚线，导致几何体的形状结构理解错误.【主题考向】考向一 空间几何体的三视图【 解决法宝】在分析空间几何体的三视图 问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正
4、视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果.在处理三视图问题时，要根据“长对正，宽相等、高平齐”的原则由三视图确定对应几何体中的量，或由几何体确定三视图中的量.例 1【河南省濮阳市 2018 届二模】已知三棱柱 的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图（1）所示， ， ， 分别是 三边的中点）后得到的几何体如图（2） ，则该几何体沿图（2）所示方向的侧视图为（ ）A. B. C. D. 【分析】先由三视图确定主视图和侧视图 完全相同时，再根据几何体确定俯视图.【解析】 因为平面 DEHG平面 DEF，所以
5、几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选 A考向二 几何体的表面积【解决法宝】利用三视图求解几何体的表面积，关键是确定几何体的形状和相关数据，计算出各个面的面积，再求和即为表面积，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”.例 2【河南省八市学评 2018 届第一次测评】某无盖容器的三视图如下所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰梯形，腰长为 3，俯视图是半径为 1 和 2 的两个同心圆，则它的表面积是（ ）A. B. C. D. 10 13 14【分析】由三视图知，该三视图对应的几何体为倒置的圆台，由题知，该圆台的两底面的半径与母线长，即可求出其表面积.考向三 几何体的体积【解决
6、法宝】1.求简单几何体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式进行计算.2.求几何体的体积的常用方法有割补法和等积变换法.（1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、椎体等，分别求出柱体、椎体等的体积，从而得出几何体的体积.（2）等体积转化法:利用三棱锥的每一个面可做底面.求体积时，可选择容易计算的方式来求解；利用“等积性”可求“点到面的距离”.3.利用三视图为载体求解几何体的体积，关键是是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.例 3【甘肃省敦煌市一高 2017 届一调】如图，网格纸上小正方形的边长为
7、 ，粗线或虚线画出某几何体的1三视图，该几何体的体积为（ ）A B C D8121824【分析】由三视图知，该几何体是一个三棱锥与三棱柱的组合体，可以确定其相关数据，即可计算其体积【解析】由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为 ，三棱柱的体积为 ，所以该几何1432V2148V体的体积为 ，故选 B12V考向四 简单几何体与传统文化【解决法宝】认真阅读题目，将传统文化给出的题目转化为数学语言给出问题，得到题中给出的几何体和有关的数据，转化为几何问题，再利用有关知识解决相关问题.例 4.【湖北省黄冈等八市 2018 届 3 月
8、联考】 九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.一块“堑堵”形石材表示的三视图如图所示.将该石材切削、打磨，加工成若干个相同的球，并尽量使每个球的体积最大，则所剩余料体积为（ ）A. 288- B. 288- C. 288- D. 288-48 32【分析】由三视图知，该直三棱柱的底面直角三角形，直角边为 与 ，要使每个球的体积最大，则球与三个侧面相切，求得三角形内切圆半径，即球的半径，根据棱柱的高，可求得一个棱柱可以加工球的体积，计算出棱柱的体积和球的体积，即可求出剩余的体积.【主题集训】1. 【湖南永州市 2017 届高三第一次模拟，7】右图是一个几何体的三视图，其中俯视图中
9、的曲线为四分之一圆，则该几何体的表面积为（ ）学科！网A B C4 D332 42【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为一棱长为 的正方体截取 个圆柱，其中圆柱底面半径为 ，高为 ，1411则所求表面积为 .2)41(22.【四川省成都市石室中学 2018 届二模】一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为 2 ，则此四棱锥最长的侧棱长为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】底面积为 ,体积 为 ,故最长棱长为 ,故选 .21=23.【广东省珠海一中等六校 2018 届第三次联考】某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 的值是( )A
10、. 2 B. C. D. 3【答案】D【解析】根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图所示，则 ，故=131+22 2=3=3选 D4.【广东省江门市 2018 届一模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥后所得的部分，其中直三 棱柱的底面是直角边为 2 的等腰直角三角形，高为 2；三棱锥的底面与棱柱的底面相同，高为 1故几何体的体积为选 B5.【中原名校 2017 届高三上学期第三次质量考评，10】如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出1的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B
11、9218393248C. D4 1【答案】D6.【湖北七市（州）教研协作体 2018 年 3 月联考】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于 的面的个数是（ ）6A. B. C. D. 1234【答案】C【解析】由题可知其立体图 形 C-DEFG：可得面积小于 的有 ，故选 C.6,CFGECDGSAA7.【福建省泉州市 2018 届 3 月质量检查】玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm）如图所示.根据三视图可得该玉
12、琮的体积（单位： ）为（ ）A. B. C. D. 25622【答案】D【解析】由三视图可知该几何体的体积为 ，故选D.8.【河北唐山市 2017 届上学期高三摸底考，9】某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A B C3 D62628【答案】 .D9.【广东省珠海一中等六校 2018 届第三次联考】四面体 中，三组对棱的长分别相等，依次为，则 的取值范围是( )A. B. C. D. (2， 41) (2， 9)【答案】C【解析】以四面的棱为一长方体的面对角线，构造一个长方体，设长方体的棱长分别为 ，则，所以 ，即 ，2+2=422+2=522+2=2 ， ， ，故选 C310.
13、【河北邯郸 2017 届 9 月联考，5】如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）来源:学*科*网A. B. C. D.2638324343【答案】 .C【解析】因为该几何体是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的，所以其体积为， 故应选 . 21312V43C11.【湖北省武汉市 201 8 届二月调研】某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是斜边为 等腰直角三角形，侧视图和俯视图均为两个边长为 1 的正方形，则该四棱锥的高为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】A12. 【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中 2017 届高三 8 月联考，11】已
14、知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A B C D481216【答案】A13. 【2018 年湖南省高三十四校联考】若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中直角三角形的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】该几何体原图如下图所示的 .由图可知,三棱锥的 个面都是直角三角形,故选 .14. 【湖南省、江西省十四校 2018 届第一次联考】已知一个棱长为 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D15 .【四川省南充市 2018 届第二次适应性考试】某三棱锥的三视图如
15、图所示，则该三棱锥的表面积为( )A. B. C. D. 27+43+2【答案】B16.【甘肃省 2018 届第一次诊断性考】某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为 ，则 的值为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】有三视图可知，该几何体为高为 ，底面半径为 的圆柱，上下个挖去一个半径为 的球而得的几何体.剩余几何体的体积为 ，解得： .故选 B.来源:学#科#网 Z#X#X#K17. 【广东省茂名市五大联盟学校 2018 届 3 月联考】已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A. B. C. D. 3+6+23【答案】B【解析】由三
16、视图得该几何体的直观图如图中四棱锥 P-ABCD 所示，其中矩形 ABCD 的边长 ，AB=2，高 PO=1，AO=OB=1，则 , ，则四棱锥的侧面积： =+=1221+1223+1222+1223=3+6.故选 B.18.【广东省珠海一中等六校 2018 届第三次联考】已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为_【答案】【解析】由三四图可得，该几何体为如图所示的三棱锥 ，正方体的棱长为 2，, ，该几何体的表面积为 19.【广西陆川县中学 2018 届高三开学考试】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_【答案】4【解析】由三 视图知,这个几何体的结
17、构特征是一个四棱锥,底面 ABCD 是直角梯形,AD/BC,AD=2, BC=4,AB=2, ,侧棱 SA 底面 ABCD,且 SA=2,则体积为 ,20.【2017 届北京市朝阳区第一学期期末统考】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是 。【答案】 426【解析】三棱锥的直观图如图所示：来源:学#科#网由三视图可知 平面 ABC， 平面 PAB，且POC， ， 来源:学科网 ZXXK ，OPC1BOA25ABA， ， ，25A2PC2PBCAS，全面积为 .6PCBS 4621.【山东省聊城市 2018 届高三一模】如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角
18、形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为 .【答案】 1479【解析】设底边长和高为 ,则三棱锥的体积为 .底面外接圆半径221334,故几何体外接球的半径为 ,体积为 .故比值23sinr21r342187为281479322. 【百校联盟 2018 届 TOP202018 届三月联考】我国古代数学名著张丘建算经中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺；问高几何？”意思是：有粟米 250 斛，把它自然地堆放在平地上，自然地成为一个圆锥形的粮堆，其底面周长为 尺，则圆锥形的高约为多少尺？（注： 斛 立方54 1.62尺， ）3若使题目中的圆锥
19、形谷堆内接于一个球状的外罩，则该球的直径为 .【答案】 21.23.【辽宁省朝阳市 2018 届第一次模拟】 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?” 其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少?”已知 l 丈为10 尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方 形边长为 1，则该楔体的体积为 .学科网【答案】10000 立方尺【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和 1 个直三棱柱，则三棱柱的 体积 1=12322=6，四棱锥的体积 由三视图可知两个四棱锥大小相等， 立方丈 立方尺=10000
