1、第十一章概率11.1 随机事件的概率158 随机事件的频率与概率14.(2015 甘肃兰州二诊,文 14,随机事件的频率与概率,填空题) 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为 . 解析:所有的选法共有 33=9 种,而他们选择相同颜色运动服的选法共有 3 种,故他们选择相同颜色运动服的概率为 .39=13答案:13159 互斥事件、对立事件14.(2015 吉林实验中学六模,文 14,互斥事件、对立事件,填空题) 经统计,在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下:排队人数 0 1 2 3 4 5概率
2、 0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午 9 点钟时,至少有 2 人排队的概率是 . 解析:由表格可得至少有 2 人排队的概率 P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.答案:0.749.(2015 甘肃张掖一模,文 9,互斥事件、对立事件 ,选择题) 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球,从中摸出 1 个球,摸出红球的概率是 0.42,摸出白球的概率是 0.28,那么摸出黑球的概率是( )A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7解析: 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球 ,从中摸出 1 个球,在口袋中摸球,摸到红球,摸到黑球,摸到白球这三个事件是互
3、斥的,摸出红球的概率是 0.42,摸出白球的概率是 0.28, 摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件, 摸出黑球的概率是 1-0.42-0.28=0.3.答案:C11.2 古典概型160 古典概型的概率1.(2015 江西上饶重点中学一模 ,文 4,古典概型的概率,选择题) 从标有 1,2,3,4,5,6 的 6 张纸片中任取 2张,那么这 2 张纸片数字之积为 6 的概率是( )A. B. C. D.15 115 215 13解析:从标有 1,2,3,4,5,6 的 6 张纸片中任取 2 张,不同的取法种数是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4)
4、,(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 种,其中这 2 张纸片数字之积为 6 的取法种数是23,16, 对应的概率是 P= .215答案:C2.(2015 江西上饶重点中学一模 ,文 18,古典概型的概率,解答题) 如图,在边长为 1 的正六边形ABCDEF 中,其中心为点 O.(1)在正六边形 ABCDEF 的边上任取一点 P,求满足 上的投影大于 的概率;在 12(2)从 A,B,C,D,E,F 这六个点中随机选取两个点,记这两个点之间的距离为 x,求 x 大于等于 的概率.3解:(1)因为 上的投影为| |cos=| |
5、cos= ,在 , ,12 P 在线段 FE(除点 F)和线段 ED(除点 D)上运动时, 上的投影大于 ,在 12 上的投影大于 的概率 P= .在 12 26=13(2)结合图形可知只要选取的两个点不是相邻的,那么这两点的距离一定是大于等于 的.六个点3中随机选取两个点,总共有 15 种:(A,B),(A,C ),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F), P(x )= .3915=353.(2015 山西太原一模,文 4,古典概型的概率 ,选择题) 某袋中有编号为 1,2,3
6、,4,5,6 的 6 个小球(小球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出一个球 ,记下编号后放回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则甲,乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A. B. C. D.15 16 56 3536解析:甲先从袋中摸出一个球 ,有 6 种可能的结果,乙再从袋中摸出一个球,有 6 种可能的结果,如果按(甲,乙)方法得出总共的结果为 36 个,甲,乙两人所摸出球的编号不同的结果为 30 个, 甲,乙两人所摸出球的编号不同的概率是 .3036=56答案:C4.(2015 广西玉林、贵港 4 月模拟 ,文 13,古典概型的概率,填空题) 在 1,3,5,7 中任取两个不同的数,则这
7、两个数的和为 8 的概率为 . 解析:在 1,3,5,7 中任取两个不同的数的结果为 :(1,3),(1,5),(1,7),(3,5),(3,7),(5,7)共 6 个,其中满足这两个数的和为 8 的有(1,7),(3,5)共 2 个,所以这两个数的和为 8 的概率 P= .26=13答案:133.(2015 江西红色六校一模,文 3,古典概型的概率,选择题) 随机掷两枚质地均匀的骰子 ,它们向上的点数之和不超过 4 的概率记为 p1,点数之和大于 8 的概率记为 p2,点数之和为奇数的概率记为 p3,则( )A.p1P 甲 .915=35 615=25 这种游戏规则不公平.13.(2015
8、江西赣州兴国一模,文 13,古典概型的概率,填空题) 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为 1,2;从五张卡片中 ,任取两张,这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率为 . 解析:从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种: 红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 蓝 1,红 1 蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2,其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况,红1 蓝 1,红 1 蓝 2,红 2 蓝 1,故所求的概率为 P= .310答案:3108.(2
9、015 甘肃兰州一中模拟,文 8,古典概型的概率,选择题) 从集合 A=1,3,5,7,9和集合 B=2,4,6,8中各取一个数,那么这两个数之和除以 3 余 1 的概率是( )A. B. C. D.13 15 25 310解析:从集合 A=1,3,5,7,9,B=2,4,6,8各取一个数,基本事件有(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8),共 20 个;其中两个数的和除以 3余 1 基本事件有(1
10、,6),(3,4),(5,2),(5,8),(7,6),(9,4),共 6 个, 两个数的和除以 3 余 1 的概率为 P= .620=310答案:D14.(2015 甘肃兰州一中三模,文 14,古典概型的概率,填空题) 一个立方体骰子的六个面分别标有数字1,2,2,3,3,4;另一个立方体骰子的六个面分别标有数字 1,3,4,5,6,8.掷两粒骰子,则其最上面所标的两数之和为 7 的概率是 . 解析:在 36 对可能的结果中,和为 7 的有 6 对:(1,6),(2,5),(2,5),(3,4),(3,4),(4,3), 得到两数之和为 7 的概率是 .636=16答案:167.(2015
11、黑龙江哈尔滨六中四模 ,文 7,古典概型的概率,选择题) 某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格,问质检人员从中随机抽出 2 听,检测出不合格产品的概率为 ( )A. B. C. D.25 815 35 910解析:设合格饮料为 1,2,3,4,不合格饮料为 5,6,则 6 听中选 2 听共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共 15 种,有 1 听不合格的有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),
12、(4,6),共 8 种;有 2 听不合格的有(5,6),共 1 种,故所求事件的概率为 P= .8+115=35答案:C18.(2015 黑龙江哈尔滨三中四模 ,文 18,古典概型的概率,解答题) 一个袋子中装有大小形状完全相同的 5 个小球,球的编号分别为 1,2,3,4,5.(1)从袋子中随机取出两个小球,求取出的小球编号之和大于 5 的概率;(2)先从袋子中取出一个小球,该球编号记为 x,并将球放回袋子中,然后再从袋子中取出一个小球,该球编号记为 y,求 y|x-4|的概率.解:(1)从 5 个球中随机抽取两个球共有 =10 种不同的情况,而且这些情况都是等可能发生的,其中满25足取出的
13、小球编号之和大于 5 的情况有:(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共 6 种,故取出的小球编号之和大于 5 的概率 P1= .35(2)有放回的从袋子中取出两个球共有 55=25 种不同的情况,而且这些情况都是等可能发生的,其中符合题意的情况有:x=1,y3,y=4,5,x=2,y2,y=3,4,5,x=3,y1,y=2,3,4,5,x=4,y0,y=1,2,3,4,5,x=5,y1,y=2,3,4,5,共 18 种情况,故 y|x-4|的概率 P2= .182518.(2015 山西朔州怀仁一中一模 ,文 18,古典概型的概率,解答题) 某次比赛结束后,a
14、,b,c,d 四名选手成功晋级四强,在接下来的比赛中,他们取得任何一个名次的机会均相等,且无并列名次,已知 c,d 两名选手已全部进入前 3 名,求:(1)选手 a 取得第一名的概率;(2)选手 c 的名次排在选手 a 的名次之前的概率.解:(1)基本事件有:bcda,bdca,cbda,adba,dbca ,dcba,acdb,adcb,cadb,cdab,dacb,dcab,共 12 种情形,而选手a 获得第一名的情形有:acdb ,adcb,共 2 种情形.所以选手 a 获得第一名的概率为 P1= .16(2)由(1)知,选手 a 的名次排在选手 c 的名次之前,有 acdb,adcb,
15、dacb 共 3 种情形,故所求概率为 1-.312=3419.(2015 甘肃张掖一模,文 19,古典概型的概率,解答题) 某小组共有 A,B,C,D,E 五位同学,他们的身高(单位:米) 以及体重指标 (单位 :千克/米 2)如下表所示:A B C D E身高 1.691.731.751.791.82体重指标 19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率;(2)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18 .5,23.9)中的概率.解:(1)从身高低
16、于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共 6 个.由于每个同学被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C)共 3 个.因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 P= .36=12(2)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有 :(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个.由于每个同学被选
17、到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9) 中的事件有:(C,D)(C,E),(D,E)共 3 个.因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9) 中的概率 P= .310161 古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等)13.(2015 江西六校联考二模,文 13,古典概型与其他知识的交汇( 平面向量、直线、圆、函数等),填空题)在集合 A=0,2,3中随机取一个元素 m,在集合 B=1,2,3中随机取一个元素 n,得到点 P(m,n),则点P 落在圆 x2+y2=9
18、内部的概率为 . 解析:由题意可得点 P(m,n)的所有结果有 (0,1),(0,2),(0,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共 9 种情况,每种结果等可能出现,属于古典概率.记“点 P 在圆 x2+y2=9 内部” 为事件 A,即 m2+n24,(12)1516 所求概率 P= .48=12答案:12162 古典概型与统计的综合1.(2015 山西太原一模,文 18,古典概型与统计的综合 ,解答题) 为了考察某厂 2 000 名工人的生产技能情况,随机抽查了该厂 n 名工人某天的产量(单位:件),整理后得到如下的频率分布直方图( 产品数量的分组区间
19、为10,15),15,20),20,25),25,30),30,35),其中产量在20,25) 的工人有 6 名.(1)求这一天产量不小于 25 的工人人数;(2)工厂规定从产量低于 20 件的工人中随机地选取 2 名工人进行培训 ,求这 2 名工人不在同一组的概率.解:(1)由题意得,产量为20,25)的概率为 0.065=0.3, n= =20.60.3 这一天产量不小于 25 的工人人数为(0.05+0.03)5 20=8.(2)由题意得,产量为10,15) 工人人数为 200.025=2,设他们分别是 A,B,产量在15,20)工人人数为 200.045=4,设他们分别是 ,a,b,c
20、,d.则从产量低于 20 件的工人中选取 2 名工人的结果为:(A,B),( A,a),(A,b),(A,c)(A,d),(B,a),(B,b),(B,c)(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共有 15 种结果,其中 2 名工人不在同一组的结果为( A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),共 8 种.故这 2 名工人不在同一组的概率为 .81519.(2015 甘肃张掖 4 月模拟,文 19,古典概型与统计的综合,解答题) 为了了解某学段 1 000 名学生的百米跑成绩情况,随机抽取了若干学生
21、的百米跑成绩,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组13,14); 第二组14,15);第五组17,18.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前 3 个组的频率之比为 3 8 19,且第二组的频数为 8.(1)将频率当作概率,请估计该学段学生中百米跑成绩在16,17)内的人数以及所有抽取学生的百米跑成绩的中位数(精确到 0.01 秒 );(2)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 1 秒的概率.解:(1)设前 3 组的频率依次为 3x,8x,19x,则由题意可得 3x+8x+19x=1-0.32-0.08=0
22、.6,由此得 x=0.02, 第二组的频率为 0.16. 第二组的频数为 8, 抽取的学生总人数为 =50.80.16由此可估计学生中百米跑成绩在16,17)内的人数=0.32 50=16.设所求中位数为 m,由前可知第一组、第二组、第三组的频率分别为 0.06,0.16,0.38,则0.06+0.16+0.38(m-15)=0.5,解得 m15.74.所以估计学生中百米跑成绩在16,17)内的为 16 人;所有抽取学生的百米跑成绩的中位数为15.74 秒.(2)记“两个成绩的差的绝对值大于 1 秒”为事件 A.由(1)可知从第一组抽取的人数=0.02 350=3(人),不妨记为 a,b,c.
23、从第五组抽取的人数=0.0850=4,不妨记为 1,2,3,4,则从第一、五组中随机取出两个成绩有:ab,ac,a1,a2,a3,a4,bc,b1,b2,b3,b4,c1,c2,c3,c4,12,13,14,23,24,34 这 21 种可能;其中两个成绩的差的绝对值大于 1 秒的来自不同的组,共有 12 种. P(A)= .1221=47 两个成绩的差的绝对值大于 1 秒的概率为 .4718.(2015 贵州黔东南州一模,文 18,古典概型与统计的综合,解答题) 某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名,按年龄所在的区间分组:第 1
24、 组:20,25);第 2 组:25,30);第 3 组:30,35); 第 4 组:35,40); 第 5 组:40,45 .得到的频率分布直方图如下图所示.(1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动 ,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者?(2)在满足条件(1) 时,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.解:(1)第 3 组的人数为 0.065100=30,第 4 组的人数为 0.045100=20,第 5 组的人数为 0.025100=10,所以第 3,4,5 组共 60 名志
25、愿者;利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数为:第 3 组: =3;30660第 4 组: =2;20660第 5 组: =1;10660所以应从第 3,4,5 组中分别抽取的人数为 3 人,2 人,1 人.(2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1;从 6 名志愿者中取 2 名志愿者有:(A 1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,
26、C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共 15 种方法;其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有:(A 1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共 9 种;所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 .915=3518.(2015 黑龙江绥化重点中学二模 ,文 18,古典概型与统计的综合,解答题) 某校甲、乙两个班级各有5 名编号分别为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练,每人投 10 次,投中的次数统计如下表:学生1号2号3号4号5号甲班
27、6 5 7 9 8乙班 4 8 9 7 7(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定 (用数据说明)?(2)在本次训练中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的投中次数 ,求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率.解:(1)两个班数据的平均值都为 7,甲班的方差 (6-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(8-7)2=2,2甲 =15乙班的方差 (4-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(7-7)2= ,2乙 =15 145因为 ,甲班的方差较小,所以甲班的投篮水平比较稳定.2甲 1 的概率为( )A. B. C. D.16 14 13 23解析:
28、 2sin x1,x0,2, x .6,56 P= .56-62=13答案:C14.(2015 江西新余二模,文 14,与角度、长度有关的几何概型,填空题) 在区间-3,5 上随机取一个数 a,则使函数 f(x)=x2+2ax+4 无零点的概率是 . 解析:由已知区间-3,5 长度为 8,使函数 f(x)=x2+2ax+4 无零点即判别式 =4a2-161 的概率是( )A. B. C. D.2-44 -24 4 4-4解析:由题意可得,区域 表示的是以 1 为边长的正方形 ABCO,其面积为 1,x2+y21 的区域为01,01正方形内单位圆外的部分,则阴影部分的面积 S=1- 12=1-
29、,则对应的概率 P= .14 4 1-41=4-4答案:D5.(2015 江西上饶一模,文 5,与面积、体积有关的几何概型,选择题) 设区域 D 是由原点 O,A(1,0),B(1,2),C(0,2)四点构成的矩形区域,区域 E 是区域 D 中满足( x-1)2+(y-2)21 的一部分,从 D 内随机取一个点M,则点 M 在 E 内的概率为( )A. B. C. D.8-8 4-4 8 4解析:由题意,区域 D 如图,区域 E 如图中阴影部分,S D=12=2,SE=2- ,由几何概型的公式得从 D 内随14机取一个点 M,则点 M 在 E 内的概率为 .2-142=8-8答案:A7.(20
30、15 江西上饶重点中学二模 ,文 7,与面积、体积有关的几何概型,选择题) 记集合 A=(x,y)|x2+y216,集合 B=(x,y)|x+y-40,(x,y)A 表示的平面区域分别为 1, 2.若在区域 1 内任取一点 P(x,y),则点 P 落在区域 2 中的概率为( )A. B. C. D.-24 3+24 +24 3-24解析:由题意,两个区域对应的图形如图 ,其中 =16, 16+ 42=12+8,由几何概型的公式1 2=34 12可得点 P 落在区域 2 中的概率为 .12+816=3+24答案:B14.(2015 江西红色六校二模,文 14,与面积、体积有关的几何概型,填空题)
31、 在区间0,4内随机取两个数 a,b,则使得函数 f(x)=x2+ax+b2 有零点的概率为 . 解析: 两个数 a,b 在区间0,4内随机地取, 以 a 为横坐标、b 为纵坐标建立如图所示直角坐标系,可得对应的点(a,b)在如图的正方形 OABC 及其内部任意取 ,其中 A(0,4),B(4,4),C(4,0),O 为坐标原点.若函数 f(x)=x2+ax+b2 有零点 ,则 =a2-4b20,解之得 a2b,满足条件的点(a,b) 在直线 a-2b=0 的下方,且在正方形 OABC 内部的三角形,其面积为 S1= 42=4.12 正方形 OABC 的面积为 S=44=16, 函数 f(x)
32、=x2+ax+b2 有零点的概率为 P= .1=416=14答案:144.(2015 江西宜春高安四校一模 ,文 4,与面积、体积有关的几何概型,选择题) 在边长为 1 的正方形ABCD 内任取一点 P,则 P 到点 A 和 C 的距离都小于 1 的概率为( )A. B. C. D.2 -2 4 -22解析:满足条件的正方形 ABCD,其中满足动点 P 到点 A 和 C 的距离都小于 1 的平面区域如图中阴影所示:则正方形的面积 S 正方形 =1,阴影部分的面积 S 阴影 =2 ,(4-12)故所求概率 P= .阴影正方形 =2-11=-22答案:D14.(2015 甘肃庆阳一诊,文 14,与
33、面积、体积有关的几何概型,填空题) 如图所示的是以正方形的顶点A 为圆心,边长为半径画弧形成的图形,现向正方形内投掷一颗豆子(假设豆子不落在线上), 则恰好落在阴影部分的概率为 . 解析:令正方形的边长为 a,则 S 正方形 =a2,则扇形所在圆的半径也为 a,则 S 扇形 = a2,14则豆子恰好落在阴影部分的概率为 P=1- .14答案:1- 1413.(2015 甘肃张掖二模,文 13,与面积、体积有关的几何概型,填空题) 在正方形 ABCD 中,点 E 为 AD的中点,若在正方形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 落在 ABE 内部的概率是 . 解析:由几何概型的计算方法 ,设正方形的边长为 1,则 SABE= 1 ,S 正方形 ABCD=1,12 12=14 所求事件的概率为 P= .14答案:14165 生活中的几何概型问题
