1、温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ， 请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ， 调 节 合 适 的观 看 比 例 ， 关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 33 直 线 、 平 面 垂 直 的 判 定 及 其 性 质一 、 选 择 题1.(2015浙 江 高 考 文 科 T7)如 图 ,斜 线 段 AB 与 平 面 所 成 的 角 为 60,B 为 斜 足 ,平 面 上的 动 点 P 满 足 PAB=30,则 点 P 的 轨 迹 是 ( )A.直 线 B.抛 物 线 C.椭 圆 D.双 曲 线 的 一 支【 解 题 指 南 】 依 据 线 面 的 位
2、置 关 系 与 圆 锥 曲 线 的 定 义 判 断 .【 解 析 】 选 C.由 题 可 知 ,当 P 点 运 动 时 ,在 空 间 中 满 足 条 件 的 AP 绕 AB 旋 转 形 成 一 个 圆 锥 ,用 一个 与 圆 锥 高 成 60角 的 平 面 截 圆 锥 ,所 得 图 形 为 椭 圆 .二、解答题2 （2015四川高考文科T18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（I）请将字母 ,FGH标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（II）判断平面 BE与平面 AC的位置关系，并证明你的结论（III）证明： D平面 GD CB H FF E D CA B【解题指
3、南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题（2）利用线线平行证明线面平行（3）构造等腰三角形，找出高垂直于底边这一层垂直关系；利用三角形中位线找出一组平行关系；利用平行垂直关系；利用线面垂直的判定【解析】（I）如图(1)由展开图可知， F在 B的上方， GC在 的 上 方 ， HD在 的 上 方 ，如图H G FED CA B（II）连接 ,HEG，如上图因为四边形 C和四边形 AH为 平行四边形 ，所以 /BECH， /GA又因为 ,BE平面 ，且 ,平面所以 /平面 ， /平面 BE又因为 ,HA平面 ，且 A所以平面 BEG/平面 C（III）连接 ,DF，交点坐标如下图，取 ,DHC中点分
4、别为 ,JK，连接,JMKNKJ NMH G FE D CA B因为 ,JMKN分别为 ,DHFC中点所以 /F设正方体棱长为 2a，则 5EJGBKa所以三角形 ,JKN为等腰三角形，所以 M那么 ,DFEB又因为 G平面 ，且 EGB所以 平面 。ABCEFO3.(2015北 京 高 考 理 科 T17)(14 分 )如 图 ,在 四 棱 锥 A-EFCB 中 , AEF 为 等 边 三 角 形 ,平 面 AEF 平 面 EFCB,EF BC,BC=4,EF=2a, EBC= FCB=60,O 为 EF 的 中 点 .(1)求 证 :AO BE.(2)求 二 面 角 F-AE-B 的 余
5、弦 值 .(3)若 BE 平 面 AOC,求 a 的 值 .【 解 题 指 南 】 (1)要 证 AO EB,只 需 证 明 AO 平 面 EBCF.(2)建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,利 用 向 量 法 求 二 面 角 余 弦 值 .(3)将 BE 平 面 AOC 转 化 为 BE OC,再 利 用 数 量 积 为 0,解 出 a.【 解 析 】 (1)因 为 AEF 是 等 边 三 角 形 ,O 为 EF 的 中 点 ,所 以 AO EF.又 因 为 平 面 AEF 平 面 EFCB,交 线 EF,AO平 面 AEF,所 以 AO 平 面 EBCF.因 为 BE平 面 EBCF,所
6、 以 AO BE.ABCxFOyzE(2)取 BC 的 中 点 D,连 接 OD.如 图 分 别 以 OE,OD,OA 为 x,y,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,则 ， ， 0,3)Aa(0)E(2,30)Ba(03),a，(,设 平 面 ABE 的 法 向 量 n1=(x,y,z),则，1302()30naxza令 得 ， 所 以 。z132ya1(3,)n平 面 AEF 的 法 向 量 。(0,)n所 以 。1212 5cos,|因 为 二 面 角 F-AE-B 为 钝 二 面 角 ， 所 以 余 弦 值 为 。5（ 3） 由 （ 1） 知 。 因 为 ， 所 以 。OFC
7、平 面 BEFC平 面 AOEB要 使 平 面 AOC， 只 需 。B因 为 ， ，E(2,3,0)a (2,3,0)a所 以 ， 即 ，4(2a218解 得 （ 舍 ） 或 。34. (2015北 京 高 考 文 科 T18)(14 分 )如 图 ,在 三 棱 锥 V-ABC 中 ,平 面 VAB 平 面ABC, VAB 为 等 边 三 角 形 ,AC BC 且 AC=BC= ,O,M 分 别 为 AB,VA 的 中 点 .2(1)求 证 :VB 平 面 MOC.(2)求 证 :平 面 MOC 平 面 VAB.(3)求 三 棱 锥 V-ABC 的 体 积 .A BCOMV【 解 题 指 南
8、】 (1)只 需 证 明 MO VB.(2)只 需 证 明 OC 平 面 VAB.(3)变 换 顶 点 ,把 C 看 作顶 点 ,CO 看 作 是 高 .【 解 析 】 (1)因 为 O,M 分 别 为 AB,VA 的 中 点 ,所 以 OM VB.又 因 为 OM平 面 MOC,VB平 面 MOC,所 以 VB 平 面 MOC.(2)因 为 AC=BC,O 为 AB 中 点 ,所 以 OC AB.因 为 平 面 VAB 平 面 ABC,交 线 AB,OC平 面 ABC,所 以 OC 平 面 VAB.因 为 OC平 面 MOC,所 以 平 面 MOC 平 面 VAB.(3)由 (2)知 OC
9、为 三 棱 锥 C-VAB 的 高 ,因 为 AC BC 且 AC=BC= ,所 以 OC=1,AB=2.2因 为 VAB 为 等 边 三 角 形 ,所 以 S VAB= 2 = .3。133C5.(2015广 东 高 考 理 科 T18)如 图 ,三 角 形 PDC 所 在 的 平 面 与 长 方 形 ABCD 所 在 的 平 面垂 直 ,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点 E 是 CD 边 的 中 点 ,点 F,G 分 别 在 线 段 AB,BC 上 ,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证 明 :PE FG.(2)求 二 面 角 P-AD-C 的 正 切 值 .(3)求 直 线 PA
10、 与 直 线 FG 所 成 角 的 余 弦 值 .【 解 题 指 南 】 (1)可 先 证 线 面 垂 直 ,PE 平 面 ABCD,进 而 得 到 线 线 垂 直 .(2)可 以 找 出 二 面角 的 平 面 角 ,然 后 再 求 解 .(3)利 用 等 角 定 理 将 两 条 异 面 直 线 所 成 角 问 题 转 化 到 一 个 三 角形 中 去 解 决 .【 解 析 】 （ 1） 证 明 ： 因 为 D且 点 为 的 中 点 ，所 以 PEDC， 又 平 面 P平 面 ABC， 且 平 面 PDC平 面 ABCD， PE平 面，所 以 平 面 AB， 又 FG平 面 ，所 以 FG；（
11、 2） 因 为 ABCD是 矩 形 ，所 以 ， 又 平 面 P平 面 ABCD， 且 平 面 PC平 面 ABDC， A平 面，所 以 平 面 ， 又 、 平 面 ，所 以 ADC， ，所 以 P即 为 二 面 角 PADC的 平 面 角 ，在 RtE中 ， 4， 132EB， 27PED，所 以 7tan3DC即 二 面 角 的 正 切 值 为 3；（ 3） 如 下 图 所 示 ， 连 接 A，因 为 2AFB， 2G即 2FCGB，所 以 /C，所 以 P为 直 线 A与 直 线 所 成 角 或 其 补 角 ，在 A中 ， 25D， 235ACD，PA BCD EFG由 余 弦 定 理
12、可 得 22253495cosPAC，所 以 直 线 PA与 直 线 FG所 成 角 的 余 弦 值 为 9256. (2015广 东 高 考 文 科 T18)如 图 ,三 角 形 PDC 所 在 的 平 面 与 长 方 形 ABCD 所 在 的 平面 垂 直 ,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证 明 :BC 平 面 PDA.(2)证 明 :BC PD.(3)求 点 C 到 平 面 PDA 的 距 离 .【 解 题 指 南 】 (1)由 四 边 形 CD 是 长 方 形 可 证 C D,进 而 可 证 C 平 面 D .(2)先 证 C CD,再 证 C 平 面 DC,进 而 可 证
13、 C D.(3)取 CD 的 中 点 ,连 接 和 ,先 证 平 面 CD,再 设 点 C 到 平 面 D 的 距 离 为 h,利 用 V三 棱 锥 C- D =V 三 棱 锥 - CD 可 得 h 的 值 ,即 得 点 C 到 平 面 D 的 距 离 .【 解 析 】 (1)因 为 四 边 形 CD 是 长 方 形 ,所 以 C D,因 为 C平 面 D , D平 面 D ,所 以 C 平 面 D .(2)因 为 四 边 形 CD 是 长 方 形 ,所 以 C CD,因 为 平 面 DC 平 面 CD,平 面 DC 平 面 CD=CD, C平 面 CD,PA BCD EFG所 以 C 平 面
14、 DC,因 为 D平 面 DC,所 以 C D.(3)取 CD 的 中 点 ,连 接 和 ,因 为 D= C,所 以 CD,在 Rt D 中 , ,22437因 为 平 面 DC 平 面 CD,平 面 DC 平 面 CD=CD, 平 面 DC,所 以 平 面 CD,由 (2)知 : C 平 面 DC,由 (1)知 : C D,所 以 D 平 面 DC,因 为 D平 面 DC,所 以 D D,设 点 C 到 平 面 D 的 距 离 为 h,因 为 V 三 棱 锥 C- D =V 三 棱 锥 - CD,所 以 S D h= S CD ,13 13即 ,C6732124hA所 以 点 C 到 平 面
15、 D 的 距 离 是 .7. （ 2015安 徽 高 考 文 科 T19） 如 图 ， 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA 平 面 ABC，.1,6PABACo(1)求 三 棱 锥 P-ABC 的 体 积 ；(2)证 明 ： 在 线 段 PC 上 存 在 点 M， 使 得 AC BM， 并 求 的 值 。P【 解 题 指 南 】 根 据 三 棱 锥 的 体 积 公 式 和 线 面 垂 直 关 系 及 平 行 线 段 成 比 例 进 行 解 答 。【 解 析 】 （ 1） 由 题 意 可 得 ，013sin622ABCS:由 PA 平 面 ABC ， 可 知 PA 是 三 棱 锥 P-ABC
16、的 高 ， 又 PA=1， 所 以 所 求 三 棱 锥 的 体 积 为.3.36VS:(2)在 平 面 ABC 内 ， 过 点 B 作 BN AC,， 垂 足 为 N， 在 平 面 PAC 内 ， 过 嗲 按 N 作 MN/PA 交 PC于 点 M， 连 接 BM， 由 PA 平 面 ABC 知 PA AC,所 以 ， MN AC,由 于 ,所 以 AC 平B面 MBN， 又 平 面 MBN， 所 以 AC BM,在 直 角 三 角 形 BAN 中 ， AN= ,所 以 NC=AC-AN= ， 由 MN/PA，1.cos232得 = ,PC138. (2015浙 江 高 考 理 科 T17)如
17、 图 ,在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 , BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在 底 面 ABC 的 射 影 为 BC 的 中 点 ,D 为 B1C1的 中 点 .(1)证 明 :A1D 平 面 A1BC.(2)求 二 面 角 A1-BD-B1的 平 面 角 的 余 弦 值 .【 解 析 】 (1)取 BC 的 中 点 E,连 接 A1E,AE,DE,由 题 意 得 A1E 平 面 ABC,所 以 A1E AE,因 为 AB=AC,所 以 AE BC,故 AE 平 面 A1BC,由 D,E 分 别 是 B1C1,BC 的 中 点 ,得 DE B1B 且 DE=B1B,所 以
18、 DE A1A,所 以 四 边 形 A1AED 是 平 行 四 边 形 ,故 A1D AE,又 因 为 AE 平 面 A1BC,所 以 A1D 平 面 A1BC.(2)作 A1F BD,且 A1F BD=F,连 接 B1F.由 AE=BE= , A1EA= A1EB=90,2得 A1B=A1A=4,由 A1D=B1D,A1B=B1B,得 A1DB B1DB,由 A1F BD,得 B1F BD,因 此 A1FB1为 二 面 角 A1-BD-B1的 平 面 角 ,由 A1D= ,A1B=4, DA1B=90,得 BD=3 ,2 2A1F=B1F= ,由 余 弦 定 理 得 .43 1cos89.(
19、2015浙 江 高 考 文 科 T18)如 图 ,在 三 棱 锥 ABC-A1B1C1中 , BAC=90,AB=AC=2,AA1=4,A1在 底 面 ABC 的 射 影 为 BC 的 中 点 ,D 为 B1C1的 中 点 .(1)证 明 :A1D 平 面 A1BC.(2)求 直 线 A1B 和 平 面 BB1C1C 所 成 的 角 的 正 弦 值 .【 解 析 】 (1)取 BC 的 中 点 E,连 接 A1E,DE,AE,由 题 意 得 A1E 平 面 ABC,所 以 A1E AE,因 为 AB=AC,所 以 AE BC,故 AE 平 面 A1BC,由 D,E 分 别 是 B1C1,BC
20、的 中 点 ,得 DE B1B 且 DE=B1B,所 以 DE A1A,所 以 四 边 形 A1AED 是 平 行 四 边 形 ,故 A1D AE,又 因 为 AE 平 面 A1BC,所 以 A1D 平 面 A1BC.(2)作 A1F DE,垂 足 为 F,连 接 BF.因 为 AE平 面 1BC， 所 以 1AE.因 为 ， 所 以 平 面 D.所 以 1,F平 面 1.所 以 AB为 直 线 1与 平 面 BC所 成 角 的 平 面 角 .由 2,90C， 得 2EA.由 E平 面 1， 得 114,.由 1114,2,90DBAD， 得 172F.所 以 17sin8F.10.(2015
21、四 川 高 考 理 科 T18)一 个 正 方 体 的 平 面 展 开 图 及 该 正 方 体 的 直 观 图 的 示 意 图如 图 所 示 .在 正 方 体 中 ,设 BC 的 中 点 为 M,GH 的 中 点 为 N.(1)请 将 字 母 F,G,H 标 记 在 正 方 体 相 应 的 顶 点 处 (不 需 说 明 理 由 ).(2)证 明 :直 线 MN 平 面 BDH.(3)求 二 面 角 A-EG-M 的 余 弦 值 .【 解 题 指 南 】 (1)通 过 立 体 图 形 的 展 开 与 折 叠 解 题 .(2)利 用 线 线 平 行 证 明 线 面 平 行 .(3)利 用 二 面
22、角 的 平 面 角 的 定 义 ,作 出 二 面 角 的 平 面 角 来 ,利 用 解 三 角 形 求 解 .【 解 析 】 (1)由 展 开 图 可 知 ,F 在 B 的 上 方 ,G 在 C 的 上 方 ,H 在 D 的 上 方 ,如 图(2)取 BD 中 点 O,连 接 MO,HO,则 MO CD,且 MO= CD,所 以 MO HN,且 MO=HN,21所 以 四 边 形 MNHO 为 平 行 四 边 形 ,所 以 MN HO,因 为 HO平 面 BHD,MN平 面 BHD,所 以 MN 平 面 BHD.(3)连 接 AC,EG,过 M 作 MK AC,垂 足 在 AC 上 ,过 点
23、K 作 平 面 ABCD 的 垂 线 ,交 EG 于 点 L,连 接 ML,则 MLK 就 是 二 面 角 A-EG-M 的 平 面 角 .因 为 MK平 面 ABCD,且 AE 平 面 ABCD,所 以 MK AE.又 AE,AC平 面 AEG,所 以 MK 平 面 AEG.且 KL平 面 AEG,所 以 MK KL,所 以 三 角 形 MKL 为 直 角 三 角 形 ,设 正 方 体 的 棱 长 为 a,则 AB=BC=KL=a,所 以 MC= ,2因 为 MCK=45,三 角 形 MCK 为 直 角 三 角 形 ,所 以 MK=MCsin45= ,2a所 以 tan MLK= ,所 以
24、cos MLK= ,42a32所 以 二 面 角 A-EG-M 的 余 弦 值 为 .311.(2015新 课 标 全 国 卷 文 科 T18)(12 分 )如 图 ,四 边 形 ABCD 为 菱 形 ,G 为 AC 与 BD的 交 点 ,BE 平 面 ABCD,(1)证 明 :平 面 AEC 平 面 BED.(2)若 ABC=120,AE EC,三 棱 锥 E-ACD 的 体 积 为 ,求 该 三 棱 锥 的 侧 面 积 .63【 解 题 指 南 】 (1)先 证 明 AC 平 面 BED,再 证 明 平 面 AEC 平 面 BED.(2)利 用 三 棱 锥 E-ACD 的 体 积 为 求
25、出 AB 的 值 ,然 后 求 出 EAC, EAD, ECD 的 面 积 .63【 解 析 】 (1)因 为 四 边 形 ABCD 为 菱 形 ,所 以 AC BD.因 为 BE 平 面 ABCD,所 以 AC BE,又 BD BE=B,故 AC 平 面 BED.又 AC平 面 AEC,所 以 平 面 AEC 平 面 BED.(2)设 AB=x,在 菱 形 ABCD 中 ,由 ABC=120,可 得 AG=GC= x,GB=GD= .32 x2因 为 AE EC,所 以 在 Rt AEC 中 ,可 得 EG= x.32由 BE 平 面 ABCD,知 EBG 为 直 角 三 角 形 ,可 得
26、BE= x.22由 已 知 得 ,三 棱 锥 E-ACD 的 体 积 31634EACDV故 x=2.从 而 可 得 AE=EC=ED= .6所 以 EAC 的 面 积 为 3, EAD 的 面 积 与 ECD 的 面 积 均 为 .5故 三 棱 锥 E-ACD 的 侧 面 积 为 3+2 .512. (2015江 苏 高 考 T16)如 图 ,在 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 ,已 知AC BC,BC=CC1.设 AB1的 中 点 为 D,B1C BC1=E.求 证 :(1)DE 平 面 AA1C1C.(2)BC1 AB1.【 解 题 指 南 】 (1)通 过 证 明 DE AC
27、 证 明 DE 平 面 AA1C1C.(2)通 过 证 明 BC1 平 面 AB1C证 明 BC1 AB1.【 解 析 】 (1)由 题 意 知 ,E 是 B1C 的 中 点 .在 三 角 形 AB1C 中 ,D 是 AB1的 中 点 ,所 以 DE 是 三角 形 AB1C 的 中 位 线 ,所 以 DE AC.又 因 为 AC平 面 AA1C1C,DE平 面 AA1C1C,所 以 DE 平面 AA1C1C.(2)因 为 ABC-A1B1C1是 直 三 棱 柱 ,且 AC BC,所 以 AC 平 面 BB1C1C,所 以 AC BC1.又 因 为BC=CC1,所 以 BB1C1C 是 正 方
28、形 ,所 以 BC1 B1C.又 B1C AC=C,所 以 BC1 平 面 AB1C,所 以BC1 AB1.13.(2015天 津 高 考 文 科 T17)(本 小 题 满 分 13 分 )如 图 ,已 知 AA1 平 面ABC,BB1 AA1,AB=AC=3,BC=2 ,AA1= ,BB1=2 ,点 E,F 分 别 是 BC,A1C 的 中 点 . 5 7 7(1)求 证 :EF 平 面 A1B1BA.(2)求 证 :平 面 AEA1 平 面 BCB1.(3)求 直 线 A1B1与 平 面 BCB1所 成 角 的 大 小 . 【 解 题 指 南 】 (1)要 证 明 EF 平 面 A1B1B
29、A,只 需 证 明 EF BA1且 EF平 面 A1B1BA.(2)要 证 明 平 面AEA1 平 面 BCB1,可 证 明 AE BC,BB1 AE.(3)取 B1C 中 点 N,连 接 A1N,则 A1B1N 就 是 直 线 A1B1与 平 面 BCB1所 成 角 ,在 Rt A1NB1中 ,由sin A1B1N= = ,得 直 线 A1B1与 平 面 BCB1所 成 角 为 30.A1NA1B12【 解 析 】(1)如 图 ,连 接 A1B,在 A1BC 中 ,因 为 E 和 F 分 别 是 BC,A1C 的 中 点 ,所 以 EF BA1,又 因 为 EF平面 A1B1BA,所 以 E
30、F 平 面 A1B1BA. (2)因 为 AB=AC,E 为 BC 中 点 ,所 以 AE BC.因 为 AA1 平 面 ABC,BB1 AA1,所 以 BB1 平 面 ABC,从 而 BB1 AE,又 BC BB1=B,所 以 AE 平 面 BCB1,又 因 为 AE平 面 AEA1,所 以 平 面 AEA1 平 面 BCB1.(3)取 BB1的 中 点 M 和 B1C 的 中 点 N,连 接 A1M,A1N,NE.因 为 N 和 E 分 别 为 B1C,BC 的 中 点 ,所 以 NE BB1,NE= BB1,故 NE AA1,NE=AA1,所 以 A1N AE,A1N=AE.12又 因
31、为 AE 平 面 BCB1,所 以 A1N 平 面 BCB1,从 而 A1B1N 就 是 直 线 与 平 面 所 成 的 角 .在 ABC 中 可 得 AE=2,所 以 A1N=AE=2,因 为 BM AA1,BM=AA1,所 以 A1M AB,A1M=AB.又 由 AB BB1得 A1M BB1.在 Rt A1MB1中 可 得 A1B1=4.在 Rt A1NB1中 1sin,2N因 此 A1B1N=30,所 以 直 线 A1B1与 平 面 BCB1所 成 的 角 为 30.14. (2015湖 北 高 考 理 科 T19) 九 章 算 术 中 ,将 底 面 为 长 方 形 且 有 一 条 侧
32、 棱 与 底 面垂 直 的 四 棱 锥 称 之 为 阳 马 ,将 四 个 面 都 为 直 角 三 角 形 的 四 面 体 称 之 为 鳖 臑 .如 图 ,在 阳 马 P-ABCD 中 ,侧 棱 PD 底 面 ABCD,且 PD=CD,过 棱 PC 的 中 点 E,作 EF PB 交PB 于 点 F,连 接 DE,DF,BD,BE. (1)证 明 :PB 平 面 DEF.试 判 断 四 面 体 DBEF 是 否 为 鳖 臑 ,若 是 ,写 出 其 每 个 面 的 直 角 (只需 写 出 结 论 );若 不 是 ,说 明 理 由 .(2)若 面 DEF 与 面 ABCD 所 成 二 面 角 的 大
33、 小 为 ,求 的 值 .3C【 解 题 指 南 】 （ ） 由 侧 棱 P底 面 AB易 知 ， PB； 而 底 面 ABCD为 长 方 形 ， 有BC， 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 知 C平 面 D， 进 而 由 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 得E； 在 P中 ， 易 得 E， 再 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 得 出 结 论 .由平 面 D， 平 面 B， 进 一 步 可 得 四 面 体 EBC的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ，即 可 得 出 结 论 ； （ ） 结 合 （ ） 证 明 结 论 ， 并 根 据 棱 锥 的 体 积 公 式
34、 分 别 求 出 12,V， 即可 得 出 所 求 结 果 .【 解 析 】 方 法 一 :(1)因 为 PD 底 面 ABCD,所 以 PD BC,由 底 面 ABCD 为 长 方 形 ,有 BC CD,而 PD CD=D,所 以 BC 平 面 PCD.而 DE平 面 PCD,所以 BC DE.又 因 为 PD=CD,点 E 是 PC 的 中 点 ,所 以 DE PC.而 PC BC=C,所 以 DE 平 面 PBC.而 PB平 面 PBC,所 以 PB DE.又 PB EF,DE EF=E,所 以 PB 平 面 DEF.由 DE 平 面 PBC,PB 平 面 DEF,可 知 四 面 体 D
35、BEF 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ,即 四 面 体DBEF 是 一 个 鳖 臑 ,其 四 个 面 的 直 角 分 别 为 DEB, DEF, EFB, DFB.(2)如 图 ,在 面 PBC 内 ,延 长 BC 与 FE 交 于 点 G,则 DG 是 平 面 DEF 与 平 面 ABCD 的 交 线 .由(1)知 ,PB 平 面 DEF,所 以 PB DG.又 因 为 PD 底 面 ABCD,所 以 PD DG.而 PD PB=P,所 以 DG 平 面 PBD.故 BDF 是 面 DEF 与 面 ABCD 所 成 二 面 角 的 平 面 角 ,设 ， ， 有 ，1PDCB21
36、D在 Rt PDB 中 , 由 , 得 , FP3FB则 , 解 得 . 2tant1332所 以 故 当 面 与 面 所 成 二 面 角 的 大 小 为 时 ， . 12.CBDEFABC32DCB方 法 二 :(1)如 图 ,以 D 为 原 点 ,射 线 DA,DC,DP 分 别 为 x,y,z 轴 的 正 半 轴 ,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .设 PD=DC=1,BC= ,则 D(0,0,0),P(0,0,1),B( ,1,0),C(0,1,0), ,点 E 是(1)PBPC 的 中 点 ,所 以 , ,1,2E,2E于 是 ,即 PB DE.0又 已 知 EF PB,而 DE
37、 EF=E,所 以 PB 平 面 DEF.因 为 , ,(01)C0C则 DE PC,PB PC=P,所 以 DE 平 面 PBC.由 DE 平 面 PBC,PB 平 面 DEF,可 知 四 面 体 DBEF 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ,即 四 面 体DBEF 是 一 个 鳖 臑 ,其 四 个 面 的 直 角 分 别 为 DEB, DEF, EFB, DFB.(2)由 PD 平 面 ABCD,所 以 是 平 面 ABCD 的 一 个 法 向 量 ;(0,1)由 (1)知 ,PB 平 面 DEF,所 以 是 平 面 DEF 的 一 个 法 向 量 .,P若 平 面 DEF 与
38、平 面 ABCD 所 成 二 面 角 的 大 小 为 ，3则 ，21cos3|P解 得 . 所 以 2.BC故 当 平 面 与 平 面 所 成 二 面 角 的 大 小 为 时 ， . DEFABCD32DCB15. (2015湖 北 高 考 文 科 T20) 九 章 算 术 中 ,将 底 面 为 长 方 形 且 有 一 条 侧 棱 与 底 面垂 直 的 四 棱 锥 称 之 为 阳 马 ,将 四 个 面 都 为 直 角 三 角 形 的 四 面 体 称 之 为 鳖 臑 .如 图 ,在 阳 马 P-ABCD 中 ,侧 棱 PD 底 面 ABCD,且 PD=CD,点 E 是 PC 的 中 点 ,连 接
39、DE,BD,BE. (1)证 明 :DE 平 面 PBC.试 判 断 四 面 体 EBCD 是 否 为 鳖 臑 ,若 是 ,写 出 其 每 个 面 的 直 角 (只需 写 出 结 论 );若 不 是 ,请 说 明 理 由 .(2)记 阳 马 P-ABCD 的 体 积 为 V1,四 面 体 EBCD 的 体 积 为 V2,求 1的 值 .【 解 题 指 南 】 (1)由 侧 棱 PD 底 面 ABCD 易 知 ,PD BC;而 底 面 ABCD 为 长 方 形 ,有 BC CD,由线 面 垂 直 的 判 定 定 理 知 BC 平 面 PCD,进 而 由 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 得
40、 BC DE;在 PCD 中 ,易 得 DE PC,再 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 得 出 结 论 .由 BC 平 面 PCD,DE 平面 PBC,进 一 步 可 得 四 面 体 EBCD 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ,即 可 得 出 结 论 ;(2)结 合 (1)证 明 结 论 ,并 根 据 棱 锥 的 体 积 公 式 分 别 求 出 V1,V2,即 可 得 出 所 求 结 果 .【 解 析 】 (1)因 为 PD 底 面 ABCD,所 以 PD BC.由 底 面 ABCD 为 长 方 形 ,有 BC CD,而PD CD=D,所 以 BC 平 面 PCD.
41、DE平 面 PCD,所 以 BC DE.又 因 为 PD=CD,点 E 是 PC 的 中点 ,所 以 DE PC.而 PC BC=C,所 以 DE 平 面 PBC.由 BC 平 面 PCD,DE 平 面 PBC,可 知四 面 体 EBCD 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ,即 四 面 体 EBCD 是 一 个 鳖 臑 ,其 四 个 面 的 直 角 分别 是 BCD, BCE, DEC, DEB.(2)由 已 知 ,PD 是 阳 马 P-ABCD 的 高 ,所 以 V1= SABCDPD= BCCDPD; 31由 (1)知 ,DE 是 鳖 臑 D-BCE 的 高 ,BC CE,所 以
42、 V2= S BCEDE= BCCEDE.6在 Rt PDC 中 ,因 为 PD=CD,点 E 是 PC 的 中 点 ,所 以 DE=CE= CD,于 是 12234.6BCDPVE16. （ 2015重 庆 高 考 文 科 20） 如 题 （ 20） 图 ， 三 棱 锥 中 ， 平 面 平PABCPA面 ， 在 线 段 上 ， 且AB.,点 AC2,DE点 F 在 线 段 AB 上 ， 且4,PDC/.EFB(1)证 明 ： 平 面 ；ABPFE（ 2） 若 四 棱 锥 的 体 积 为 ， 求 线 段 的 长 .DC7BC【 解 题 指 南 】 （ 1） 直 接 利 用 等 腰 三 角 形
43、的 性 质 及 线 面 垂 直 的 定 义 证 明 即 可 （ 2） 设 出边 的 长 度 为 ， 用 表 示 出 的 体 积 ， 进 而 可 求 出 的 长 .CxBC【 解 析 】 （ 1） 证 明 ： 如 答 （ 20） 图 ， 由 知 ， 为 等 腰 中,DEPEPD边 的 中 点 ， 故D.PEAC平 面 平 面 ， 平 面 平 面 ， 平 面PACBPACBACPE,ACPE所 以 平 面 ， 从 而E.E因 为 故,/,2FF从 而 与 平 面 内 两 条 相 交 直 线 都 垂 直 ， 所 以 平 面ABP,PAB.PFE（ 2） 解 ： 设 则 在 直 角 中 ，,CxABC
44、2236,Cx从 而 2136.ABSx由 知 ， 得/EF,EF:故 即24,39AFEBCS4.9AFEABCS由 21121, 36,9AFDABCSx 从 而 四 边 形 的 面 积 为 222173636.18DFBCAFDSSxx由 （ 1） 知 ， 平 面 ， 所 以 为 四 棱 锥 的 高PEBCPEDFB在 直 角 中 ， 224.体 积 17367,38PDFBCDFBCVSx故 得 解 得 或 ， 由 于 可 得 或4260,x2920,x3.x所 以 ， 或 .17.(2015福 建 高 考 文 科 T20)(本 小 题 满 分 12 分 )如 图 ,AB 是 圆 O
45、的 直 径 ,点 C 是 圆O 上 异 于 A,B 的 点 ,PO 垂 直 于 圆 O 所 在 的 平 面 ,且 PO=OB=1. (1)若 D 为 线 段 AC 的 中 点 ,求 证 :AC 平 面 PDO.(2)求 三 棱 锥 P-ABC 体 积 的 最 大 值 .(3)若 BC= ,点 E 在 线 段 PB 上 ,求 CE+OE 的 最 小 值 .2【 解 题 指 南 】 (1)证 出 PO AC 即 可 .(2)只 需 ABC 的 面 积 最 大 ,当 CO AB 时 , ABC 的面 积 最 大 .(3)在 三 棱 锥 P-ABC 中 ,将 侧 面 BCP 绕 PB 旋 转 至 与
46、平 面 PAB 共 面 .【 解 析 】 方 法 一 :(1)在 AOC 中 ,因 为 OA=OC,点 D 为 AC 的 中 点 ,所 以 AC DO.又 PO 垂 直 于 圆 O 所 在 的 平 面 ,所 以 PO AC.因 为 PO DO=O,所 以 AC 平 面 PDO.(2)因 为 点 C 在 圆 O 上 ,所 以 当 CO AB 时 ,C 到 AB 的 距 离 最 大 ,且 最 大 值 为 1.又 AB=2,所 以 ABC 面 积 的 最 大 值 为 21=1.12又 因 为 三 棱 锥 P-ABC 的 高 PO=1,故 三 棱 锥 P-ABC 体 积 的 最 大 值 为 11= .13 13(3)在 POB 中 ,PO=OB=1, POB=90,所 以 PB= = ,12+122同 理 PC= ,所 以 PB=PC=BC,2在 三 棱 锥 P-ABC 中 ,将 侧 面 BCP 绕 PB 旋 转 至 平 面 BC P,使 之 与 平 面 ABP 共 面 ,如 图 所 示 .当 O,E,C 共 线 时 ,CE+OE 取 得 最 小 值 ,又 因 为 OP=OB,C P=C B,所 以 OC 垂 直 平 分 PB,即 E 为 PB 中 点 .从 而 OC =OE+EC =
