1、第 17 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1.2017全国卷 已知椭圆 C: + =1(ab0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3 ,P4 中恰有三点在椭圆 C 上.(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点,若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点.试做 2.2017全国卷 在直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2+mx-2 与 x 轴交于 A,B 两点,点 C 的坐标为(0,1).当 m 变化时 ,解答下列问题 :(1)能否出现 ACBC 的情况?说明理由.(2)证明过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截
2、得的弦长为定值.3.2016全国卷 在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求 .(2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点 ?说明理由.试做 命题角度 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(1)求解圆锥曲线中定值问题的基本思路: 从特殊元素入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.(2)求解圆锥曲线中定点问题的基本思路: 假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系
3、方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点; 从特殊位置入手,找出定点,再证明该点满足题意.(3)存在性问题的求解方法: 先假设存在,在假设存在的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论,说明假设成立,否则说明假设不成立.解答 1 定点问题1 已知抛物线 C:x2=2y,直线 l:y=x-2,设 P 为直线 l 上的动点,过 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A,B.(1)当点 P 在 y 轴上时,求线段 AB 的长;(2)求证:直线 AB 恒过定点.听课笔记 【考场点拨】解决圆锥曲线中的定点问题应注意以下几点:(1)分清问题中哪些是定的,
4、哪些是变动的;(2)注意“设而不求 ”思想的应用,引入参变量,最后看能否把变量消去;(3)“先猜后证”,也就是先利用特殊情况确定定点,然后验证,这样在整理式子时就有了明确的方向.【自我检测】已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,M 为焦点坐标是 的抛物线上一点,H 为直(a4,)线 y=-a 上一点 ,A,B 分别为椭圆 C 的上、下顶点,且 A,B,H 三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆 C 的方程;(2)直线 HA,HB 与椭圆 C 的另一交点分别为 D,E,求证:直线 DE 过定点.解答 2 定值问题2 已知椭圆 E: + =1,点 A,B,C 都在椭圆 E 上,O 为坐标
5、原点 ,D 为 AB 中点,且 =2 .(1)若点 C 的坐标为 ,求直线 AB 的方程;(2)求证:ABC 的面积为定值.听课笔记 【考场点拨】求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值 .【自我检测】已知抛物线 E:y2=2px(p0),直线 x=my+3 与 E 交于 A,B 两点 ,且 =6,其中 O 为坐标原点.(1)求抛物线 E 的方程;(2)已知点 C 的坐标为( -3,0),记直线 CA,CB 的斜率分别为 k1,k2,证明: + -2m2 为定值.解答 3 存在性问题3
6、 已知点 A(0,-1),B(0,1),P 为椭圆 C: +y2=1 上异于点 A,B 的任意一点.(1)求证:直线 PA,PB 的斜率之积为 - .(2)是否存在过点 Q(-2,0)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,使得|BM|=|BN| ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.听课笔记 【考场点拨】存在性问题的求解策略:(1)若给出问题的一些特殊关系,要探索一般规律,并证明所得规律的正确性,通常要对已知关系进行观察、比较、分析,然后概括一般规律;(2)若只给出条件,求“不存在”“是否存在” 等语句表述问题时 ,一般先对结论给出肯定存在的假设,然后由假设出发,结合
7、已知条件进行推理,从而得出结论.【自我检测】已知椭圆 C: + =1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,且椭圆 C 的短轴长为 2 .(1)求椭圆 C 的标准方程.(2)是否存在过点 P(0,2)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M,N,且满足 =2(O 为坐标原点)?若存在 ,求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由.第 17 讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题典型真题研析1.解:(1)由于 P3,P4 两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 P3,P4 两点.又由 + + 知,C 不经过点 P1,所以点 P2 在 C 上.因此 解得故 C 的方程为
8、 +y2=1.(2)证明:设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2.如果 l 与 x 轴垂直 ,设 l:x=t,由题设知 t0,且|t|0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= .而 k1+k2= += += .由题设 k1+k2=-1,故(2k+1) x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,即(2k+1) +(m-1) =0,解得 k=- .当且仅当 m-1 时,0,于是 l:y=- x+m,即 y+1=- (x-2),所以 l 过定点(2,-1) .2.解:(1)不能出现 ACBC 的情况,理由如下:设 A(x1,0),B(x2,0),则
9、 x1,x2 满足 x2+mx-2=0,所以 x1x2=-2.又 C 的坐标为(0,1),故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 =- ,所以不能出现 ACBC 的情况.(2)证明:BC 的中点坐标为 ,可得 BC 的中垂线方程为 y- =x2 .由(1)可得 x1+x2=-m,所以 AB 的中垂线方程为 x=- .m2联立 又 +mx2-2=0,可得所以过 A,B,C 三点的圆的圆心坐标为 ,半径 r= .故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 =3,即过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.3.解:(1)由已知得 M(0,t),P ,t .又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故
10、N ,t ,则直线 ON 的方程为 y= x,代入 y2=2px 整理得 px2-2 p2t2x=0,解得 x1=0,x2= .因此 H ,2t ,所以 N 为 OH 的中点,即 =2.(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点 .理由如下:直线 MH 的方程为 y-t= x,即 x= (y-t),代入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点.考点考法探究解答 1例 1 解:(1)设 A ,B .由 y= x2,得 y=x, 以 A 为切点的切线方程为 y- =x1(
11、x-x1),即 y=x1x- ,同理以 B 为切点的切线方程为 y=x2x- . 点 P(0,-2)在切线上, - =-2,- =-2, = =4(x1x20, x1+x2=-m,x1x2=1- . |AB|= ,O 到 AB 的距离 d= , =2 , SABC=3SOAB=3 = .综上可知 ,SABC 为定值.【自我检测】解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 整理得 y2-2pmy-6p=0, y1+y2=2pm,y1y2=-6p,则 x1x2= =9.由 =x1x2+y1y2= +y1y2=9-6p=6,解得 p= , 抛物线 E 的方程为 y2=x.(2)证明:由题知
12、,k 1= = ,k2= = , =m+ , =m+ , + -2m2= + -2m2=2m2+12m +36 -2m2=2m2+12m +36 -2m2.由(1)可知,y 1+y2=2pm=m,y1y2=-6p=-3, + -2m2=2m2+12m +36 -2m2=24,2+69 + -2m2 为定值.解答 3例 3 解:(1)证明:设点 P(x,y)(x0),则 y2=1- , kPAkPB= = = =- ,y-1故得证.(2)假设存在直线 l 满足题意.显然当直线 l 的斜率不存在时 ,直线与椭圆 C 不相交. 当直线 l 的斜率 k0 时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2),由
13、 化简得(1+2k 2)x2+8k2x+8k2-2=0,由 =(8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)0,解得- 0,解得 k .设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= , =x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4= - +4= . =2, =2,解得 k= ,满足 0. 存在符合题意的直线 l,此时直线 l 的方程为 y= x+2.备选理由 所给三道例题,都是围绕定点、定值及存在性问题展开,综合性强,运算量大,解题时要注意分类讨论,避免出现解题不全,遗漏等情况.例 1 配例 1 使用 设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为
14、F,准线为 l.已知以 F 为圆心,半径为 4的圆与 l 交于 A,B 两点,E 是该圆与抛物线 C 的一个交点,EAB= 90.(1)求 p 的值;(2)已知点 P 的纵坐标为-1 且在 C 上,Q ,R 是 C 上异于点 P 的两点,且满足直线 PQ 和直线 PR的斜率之和为-1,证明:直线 QR 过定点.解:(1)由题意及抛物线定义知,|AF|=|EF|=|AE|=4,所以 AEF 为边长为 4 的正三角形,设准线 l与 x 轴交于点 D,则|FD|=p= |AE|= 4=2.(2)证明:设直线 QR 的方程为 x=my+t,由 得 y2-4my-4t=0,=16m2+16t0,设 Q(
15、x1,y1),R(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4t.因为点 P 在抛物线 C 上,直线 PQ,PR 的斜率存在,所以 kPQ= = = = ,同理可得kPR= .因为 kPQ+kPR=-1,所以 + = = =-1,解得 t=3m- .由 解得 m (1,+) .(-鈭 ?-72) (12,1)所以直线 QR 的方程为 x=m(y+3)- ,则直线 QR 过定点 .例 2 配例 2 使用 已知椭圆 C1: + =1(b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 F2 也为抛物线C2:y2=8x 的焦点.(1)若 M,N 为椭圆 C1 上两点,且线段 MN 的中点坐标为(1,1)
16、,求直线 MN 的斜率;(2)若过椭圆 C1 的右焦点 F2 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点 A,B 和点 C,D,设线段AB,CD 的长分别为 m,n,证明: + 是定值.解:因为抛物线 C2:y2=8x 的焦点坐标为(2,0),所以 8-b2=4,故 b=2.所以椭圆 C1 的方程为 + =1.(1)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则两式相减得 + =0,又 MN 的中点坐标为(1,1),所以 x1+x2=2,y1+y2=2,所以 =- ,所以直线 MN 的斜率为- .(2)证明:椭圆的右焦点为 F2(2,0).当直线 AB 的斜率不存在或为 0 时, + = + = .当直线
17、 AB 的斜率存在且不为 0 时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-2)(k0),设 A(x3,y3),B(x4,y4),由消去 y 并化简得(1 +2k2)x2-8k2x+8k2-8=0,=(-8k2)2-4(1+2k2)(8k2-8)=32(k2+1)0,x3+x4= ,x3x4= ,所以 m= = .同理可得 n= ,所以 + = = .综上可得, + 为定值 .例 3 配例 3 使用 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率 e= ,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3.(1)求椭圆 C 的方程.(2)在椭圆 C 上,是否存在点 M
18、(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点A,B,且OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的 OAB 的面积;若不存在,请说明理由.解:(1) e= , = ,即 a2=3b2,则椭圆方程为 + =1(b0).设椭圆 C 上任一点 P(x0,y0),则 =3b2-3 , |PQ|= = =,-by0b.当-b-1,即 b1 时,|PQ| max= =3(此时 y0=-1),解得 b=1;当-b-1, 即 0b1 时,|PQ| max= =3,解得 b=1,舍去.综上,b=1,a 2=3b2=3, 椭圆 C 的方程为 +y2=1.(2)假设存在点 M 满足题意. 圆心 O 到直线 l 的距离 d= ,|AB|=2 , OAB 的面积S= |AB|d=d = = . 点 M(m,n)在椭圆 C 上, 1|MO| ,即 1 , d1, d21.当 d2= 时,S max= ,此时由 得综上所述,椭圆上存在四个点 , , , ,使得直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A,B,且OAB 的面积最大,面积的最大值为 .
