1、2-6多自由度系统,一引言 自由度与广义坐标广义坐标：若系统用某一组独立座标（参数）能完全确定系统的运动，则这组座标称为广义坐标。“独立”指各坐标都能在一定范围内任意取值，其间不存在函数关系。“完全”指完全地确定系统在任一时刻的位置或形状。,自由度：完全确定系统运动所需的独立座标数目。一般情况下：自由度=广义坐标数目（除不完全约束系统）广义坐标可以是长度，角度或某种其它含义，例比例等。广义坐标不是唯一的，各组广义坐标之间存在确定函数关系。,例：一双摆，质量 限制在图示平面内摆动，可用四个直角坐标 来描述它的运 动，但这四个直角坐标并不独立，它们满足两个约束条件：,两个是独立的。因此，系统有两个
2、自由度,其广义坐标可选,也可选,与直角坐标之间存在确定关系：,。,3-1,一般而言，总可以将系统中各质点的直角坐标表示成广义坐标的函数：,二多自由度系统的振方程式确定实际结构动力学模型以及系统质量，刚度，阻尼等参数后，有多种方法 建立系统运动微分方程。常用：直接法 影响系数法 拉格朗日法。（一）直接法：用达朗伯原理，牛顿二定律直接对系统中各质点建立方程，步骤：,（1） 选描述系统运动的独立坐标（广义坐标）。本例选三个质量离开各自平衡位置的位移 为广义坐标。 （2）取分离体，并受力分析。,3-2,(3)分别对各质量块用达朗伯原理，牛顿二定律直接建立方程：,整理：,写成矩阵形式：,形式上与单自由度
3、系统运动方程相似。由惯性力，阻尼力，弹性恢复力和激振力四项 组成。可推断任何多自由度系统的运动方程有此形式，只是各矩阵具体内容不同。,3-3,因此，当选定坐标后，若直接求得质量，阻尼，刚度矩阵，就可按上面方程形式，写出系统运动方程。下面介绍影响系数法。,例N自由度，位移列阵为：,刚度矩阵：,（二）影响系数法： （A）刚度矩阵：元素的物理函义，由此函义直接求各元素。 （1） ：使系统的j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移均为0时，在第i坐标上所需加的作用力的大小，定义为 (2) 反映整个系统刚度（柔度）特性 其中 （刚度影响系数）表示第i坐标与第j坐标之间的刚度相互影响(3) 由互易原理（材力）
4、，,对上例直接求刚度矩阵,3-4,议论：对此类弹簧-质量-阻尼系统一般有下述规律刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的对角元素 为联结在质量 上所有弹簧刚度（或阻尼系数）之和。刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的非对角元素 为直接联结质量 之间的弹簧刚度（或阻尼系数）取负值。,(结果与直接法相同),一般而言，刚度矩阵和阻尼矩阵是对称矩阵。以系统质心为坐标原点，质量矩阵是对角矩阵。一般情况质量矩阵不一定是对角矩阵,3-5,例1：用上述方法求刚度，阻尼，质量矩阵,3-6,例2：刚度影响系数法求刚度矩阵,如图质量m为质点与三条刚度系数同为k的弹簧相联互成，并限制在水平面oxy上运动。当它在平衡位置，各弹簧无变形，质点作微
5、幅振动，可视为弹簧方向不变，求系统刚度矩阵。,解：选x,y为广义坐标 a.令位移x=1,y=0 在质点上加沿x方向的广义力 ，沿y方向的广义力 。以质点为分离体，按平衡条件：,3-7,b. 令位移x=0,y=1 在质点上加沿x方向的广义力 ，沿y方向的广义力 。以质点为分离体，按平衡条件：,对角矩阵（无耦合项),（B）质量矩阵，阻尼矩阵 与刚度矩阵类似，质量矩阵和阻尼矩分别反映了系统惯性和阻尼特性。 质量矩阵：由惯性影响系数 组成。 阻尼矩阵：由阻尼影响系数 组成。其含义与刚度影响系数类似。只需将位移改为加速度和速度（例：坐标 上有单位速度，其它坐标速度为0，在坐标 上所需施加的力）,3-8,
6、（C）柔度矩阵：,工程中常求如图所示的梁，轴类系统的方程，此类系统刚度矩阵（ ）求法困难，而柔度矩阵（ ）求法容易。,：柔度影响系数,定义：仅在系统第j坐标上，作用单位力，其它坐标上作用力为0时，在第i坐标上所产生的位移大小。,如图：求该系统柔度矩阵的诸元素,ii在处作用力地 ，由材力点和点的挠度（位移）,i 首先处作用力 ，由材力点和点的挠度（位移）,3-9,（D）,对于线性系统，力与位移成正比，而且可以应用叠加原理,i如图（a）,ii如图（b）,iii如图（c）,对于n自由度系统：观察i坐标位移 时,当系统各坐标都同时受到静力 （j=1,2,3,n）时，第i坐标产生的位移：,令i=1. 2
7、. n 则可得系统的位移与作用力的关系：,同样按照刚度影响系数的定义：比较两式显然：,结论：同一系统，选同一坐标系 和 互为逆矩阵,3-10,（F）作用力方程与位移方程,称为作用力方程，其每项量纲为“力”,方程两边乘 得,（三）拉格朗日法建立振动运动方程（略）,3-11,三耦合与坐标变换,多自由度系统的运动方程是二阶常系数线性微分方程组，困难在于： a.方程数目多 b.方程之间相互耦合（主要难点）,方程耦合 以矫车振动为例,经简化，杆质量m质心c绕轴转动惯量,下面分析可看出，选不同坐标系，所建立的方程式有所不同。,（一） 选参考点C： 直线位移， 绕C 转角， 为广义坐标,分析受力：,以上力形
8、成平衡力系,3-12, y方向，所有力平衡：, 以质心C为力矩中心，力和力偶对C点力矩和0 :, 合并上两式：, 分析：弹性恢复力项把两方程耦合起来，称为弹性耦合（刚度矩阵为 非对角矩阵）。,（二） 选参考点A：广义坐标,得方程：,分析： 惯性矩阵，刚度矩阵都是非对角矩阵，因此，方程既有惯性耦合，又有弹性耦合。, 选用不同广义坐标，方程形式不同，方程耦合情况也不同 。由此：方程耦合并不是系统固有性质，只是坐标选用结果。显然，希望找到一组广义坐标，使方程既无惯性耦合，又无弹性耦合，方程组各方程相互独立。每个方程可象单自由度系统一样。,3-13,下面讲述：一个振动系统，若已知某一组广义坐标的运动方
9、程，可通过坐标变换直接得 到其它广义坐标所表示的运动方程。,线性代数中“线性变换”概念：,线性变换：如果变量 能用变量 线性表示，即,此式称为变量 到变量 的线性变换。,矩阵形式：,简写：,变换矩阵：线性变换中的系数矩阵 称为变换矩阵（ 非奇异n阶常数方阵）,坐标变换：对线性振动系统，当列阵 和 都表示广义坐标时，则线性变换就叫做“坐标变换”。,3-14,将已知方程，通过坐标变换得另一组广义坐标下的运动方程：,代入方程并前乘 得：,有可能是对角矩阵，耦合情况可能得到改变。,例：车身振动为例，,确定变换矩阵：由几何关系：,已知在 下有方程：,；（ 是变换矩阵）,因此,3-15,小结：1.方程耦合
10、不是系统固有性质，只是广义坐标选用的结果。2.通过坐标变换，可以改变方程耦合情况。关键是如何选择线性变换矩 阵，使质量矩阵和刚度矩阵同时对角化。会证明这种变换矩阵存在（主振型所组成的矩阵）。,注：力矩,结果与前面相同。,3-16,四、 固有频率和主振型,前面已述：1.N自由度系统的振动方程组各方程相互耦合。 2.方程耦合不是系统固有性质，只是广义坐标选用的结果。 3.坐标变换，可改变方程耦合。关键: 选择线性变换矩阵，得新广义坐标，使其描述的方程，相互独 立,互不耦合。,（一） 自由振动的一般解,已知无阻尼n自由度系统自由振动微分方程式,设方程解形式为：作自由振动时，各值都按同一频率，同相位角
11、作简谐振动：,3-17,矩阵形式：,将假设解代入方程：,观察方程（2-6-2）是以 为未知数的n元线性齐次代数方程组，解这类方程组的问题，既所谓特征值问题线性齐次代数方程组有非零解的条件是系数行列式等于0。,称特征方程或频率方程,3-18,上式展开得 的n次代数方程:,因系统是正定的（系统没有刚体位移），n次代数方程有n个正实根 称 的n个根为特征值 ,也称为n自由度系统的各阶“固有频率平方”。一般说：,方程组系数行列式为0 ，n个方程中至少一个方程不独立。去掉不独立方程，剩下(n-1)个方程是独立的，将方程中某一相同的 项（例 项）移到等到式右边，再相继代入方程求出的 个特征根到方程组中。如
12、j阶 代入方程组得：,3-19,所有的 都与 有确定的比例，则这个振幅之间相互比值就确定,对应某一j 阶固有频率 的n个振幅值：,上标（j）表示第j 阶固有频率下的各坐标的振幅值。,说明：当系统按第j 阶固有频率 简谐振动时,各振幅 间有确定的“相对比值”,或者说系统各质点按一定“形态”进行振动（振动形态） n个固有频率分别对应n个振动形态（特征矢量）,n个固有频率分别对应n个振动形态（特征矢量）,当上式回代到前面的 得n组特解，将n组特解相加,得系统自由振动的一般解:,3-20,n个不同固有频率简谐振动的叠加，其结果不一定是简谐振动。 一般解中，共有n(n+1)个待定系数,因同固有频率的各振
13、幅之间相对比值已定，只要确定一个（如）其它（n-1）个就确定了。因此，只要确定n个振幅常数,如 :,所以只有2n个待定常数需用2n个初始条件唯一确定：总之，多自由度系统自由振动一般解形式是n个系统固有频率简谐振动的叠加。在特殊情况下会出现“主振动”。,3-21,(二)主振动,在一定条件下，待定系数只有 ，其余全为0，系统一般自由振动解只保留第一项，其它项没有，即有如下形式：,（2-6-7）,系统每一坐标 均按同一圆频率 ,同一相位角 作谐振。振动过程中，各坐标同时经过平衡位置，同时达到最大偏离值，各坐标在任一瞬间保持固定不变的比值，恒有：,上式说明： 完全确定了系统振动形态（第一阶主振型）,
14、保持相对比值不变，那么 在任一瞬间也保持相对比值不变。式（2-6-7）所描述的系统运动称为系统第一阶主振动。,3-22,类似：有第二，第三，第n阶主振动。,各主振动共同点：各坐标值在任一瞬间保持不变比值。,不同点:各自相对比值不同,振频不同,定义：主振型：n自由度振动系统按某一j 阶固有频率 作简谐振动时，各坐标点 的振幅 间具有确定的相对比值，而且在任一瞬时，各坐标位移之间比值始终保持不变，即向量 描绘了系统的振动位移的一种形态，称这个向量为第j 阶主振型（或第j阶主模态）。,定义：主振动：N自由度振动系统，在某一特殊条件下,系统各坐标点都以同一j 阶固有频率，按其相应的主振型作简谐振动，称
15、为系统的主振动。,小结：系统作主振动，各坐标的振幅的绝对大小是任意的（由初始条件定）。但各坐标点间振幅的相对比值是确定的。这是系统的固有特性，称固有主振型,N自由度系统 n个固有频率,主振型常作一定处理：令,称为主振型的“正则化”,3-23,例：,如图三自由度系统，已知计算系统固有频率和主振型,解：影响系数法得：,系统特征值问题：,3-24,解：,上式中令,令系数行列式为0，展开行列式得特征方程：,解一元三次方程得三个根（固有频率）,求主振型：将 代入（b），去掉第三个方程（非独立方程），将前二个方程的 项移到等式右边，并令 得：,同样将 分别代入（b）式并分别令得：,3-25,（三）伴随矩阵法,由式 令,因此：,由逆矩阵定义：,注：本来 ,式（2-6-10）两边前乘,比较（2-6-9）与（2-6-11）得：特征向量 与伴随矩阵 中任何不为零的列成,正比。应用此结果可求主振型。,求法：a.求出的伴随矩阵。b.选其中一个不为0的列。c.将j阶固有频率值代入，得到对应固有频率的主振型。 用伴随矩阵法求上例的主振型。,3-26,例：,如图三自由度系统，已知计算系统固有频率和主振型,. 取第三列：,解.,将,同样：,结果与前相同,3-27,
