1、第四十二讲 随机事件的概率 走进高考第一关 基础关,教 材 回 归 1. 事件的分类 (1)一般地,我们把在条件S下,_的事件,叫做相对于条件S的必然事件,简称_. (2)一般地,我们把在条件S下,_的事件,叫做相对于条件S的不可能事件,简称_.,一定会发生,必然事件,一定不会发生,不可能事件,(3)_统称为相对于条件S的确定事件,简称_. (4)_的事件,叫做相对于条件S的随机事件,简称_. (5)_和_统称为事件,一般用大写字母A,B,C表示.,必然事件与不可能事件,确定事件,在条件S下可能发生也可能不发生,随机事件,确定事件,随机事件,2. 频数,频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验
2、,观察某一事件A是否出现,称_为事件A出现的频数,称事件A出现的比例_为事件A出现的频率. (2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率_某个常数上,那么把这个常数记作_,称为事件A发生的概率. (3)任何事件A发生的概率P(A)_,它度量事件发生的_.若A为必然事件,则P(A)=_;若A为不可能事件,则P(A)=_.,n次试验中事件A出现的次数nA,fn(A),逐渐稳定在区间0,1中的,P(A),0,1,可能性的大小,1,0,3. 事件的关系与运算 (1)对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B_发生,这时称事件B包含事件A(或称_),记作_(或_).,一定,事件
3、A包含于事件B,BA,AB,(2)若_,且_,那么称事件A与事件B相等,记作_. (3)若某事件发生当且仅当事件A发生_事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或_),记作_(或_).,BA,AB,AB,或,和事件,AB,AB,(4)若某事件发生当且仅当事件A发生_事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或_),记作_(或_). (5)若AB为_事件,(AB=_),那么称事件A与事件B互斥,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.,且,积事件,AB,AB,不可能,(6)若AB为_事件,AB为_事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,其含义是:事件A与事件B在任何一
4、次试验中有且仅有一个发生. (7)互斥事件概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(AB)=_. 特别地,若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=_.,不可能,必然,P(A)P(B),1P(B),考 点 陪 练,1.从6个男生、2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是( ) A3个都是男生 B至少有1个男生 C3个都是女生 D至少有1个女生,答案：B,解析：因为只有2名女生，所以选出的3人中一定有1名男生,2某产品分一、二、三级，其中只有一级是正品若生产中出现正品的概率是0.97，出现二级品的概率是0.02，那么出现二级品或三级品的概率是( ) A0.01 B0.02 C0.03 D0
5、.04,答案：C,解析：“出现一级品”这一事件的对立是“出现二级品或三级品”，由对立事件概率之和为1即可得出答案,3(2010山东青岛2月)(基础题，易)为了了解学生遵守中华人民共和国交通安全法的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第(1)个问题；否则就回答第(2)个问题被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答结果被调查的600人(学号从1到600)中有
6、180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是( ),A30 B60 C120 D150,答案：B,解析：抛掷一枚硬币出现正面和反面的概率都是0.5，因此600个被调查的学生中大约有300个人回答了第一个问题，300个人回答了第二个问题，又因为学号是奇数和偶数的概率相等，都是0.5，故300个回答第一个问题的学生中大约有150人回答了“是”，所以300个回答第二个问题的学生中有18015030个回答了“是”，即曾经闯过红灯，故在这600人中闯过红灯的人数大约是60人,4(2010新创题，易)一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有( ) A(男，女)(男，男)(女，女) B
7、(男，女)(女，男) C(男，男)(男，女)(女，男)(女，女) D(男，男)(女，女),答案：C,解析：由于两个孩子有先后出生之分，故选C.,5(2010浙江台州2月模拟)(基础题，易)袋中装有编号为1、2、3、4的四个球，四个人从中各取一个球，则甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为( ) A. B. C. D.,答案：B,解析：四人从袋中各取一球共有A24种不同的取法，甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球有9种不同的取法，所以其概率是 .,解读高考第二关 热点关,类型一：随机事件及概率 解题准备：(1)频率：在相同条件下重复进行n次试验，观察某一
8、事件A出现的次数m，称为事件A的频数，那么事件A出现的频率fn(A) ，频率的取值范围为0,1,(2)概率：对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，我们把这个常数记为P(A)，称为事件A的概率 频率与概率有本质的区别，不可混为一谈，频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时频率向概率靠近只要次数足够多，所得频率就近似地当做随机事件的概率,典例1(2010海南模拟)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站(首发站)乘车假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的约定用有序实数对(x，y)表示“
9、甲在x号车站下车，乙在y号车站下车” (1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来； (2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率； (3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率,解 (1)用有序实数对(x，y)表示甲在x号车站下车，乙在y号车站下车，则甲下车的站号记为2,3,4共3种结果，乙下车的站号也是2,3,4共3种结果甲、乙两人下车的所有可能的结果有9种，分别为：(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4),(2)设甲乙两人同时在第3号车站下车的事件为A,则 P(A)= . (3)设甲乙两人在不同的地铁站下车的事件为
10、B,则结果 有:(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3),共6种结果, 故P(B)= = .,评析 在解决此类问题时，首先分清所求事件是由哪些基本事件组成的，即明确基本事件总数N和这个具体事件包含的基本事件数M，由P 计算概率,类型二：互斥事件与对立事件的区别和联系,解题准备：“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立的事件是其中必有一个要发生的互斥事件因此，对立事件必须互斥,典例2(2010烟台月考)某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，
11、事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件 (1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.,解 根据互斥事件、对立事件的定义来判断 (1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件,(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不 订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B 发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B 一定不发生,故B与E还是对立事件. (3)事件B“至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”,即 有
12、可能“不订甲报纸”,即事件B发生,事件D也可能发生,故 B与D不是互斥事件.,(4)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报 纸”“只订乙报纸”“订甲乙两种报纸”,事件C“至多订一种 报纸”中有这些可能:“什么报纸也不订”“只订甲报纸”“只 订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互 斥事件. (5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能,故事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不是互斥事件.,评析：根据互斥事件、对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的基本方法由对立事件的定义可知，对立事件首先要是互斥事件，并且其中一个
13、一定要发生，因此两个对立事件一定是互斥事件，但两个互斥事件却不一定是对立事件，解题时一定要搞清两种事件的关系,探究1 判断下列给出的事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110各10张)中，任取一张 (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”,解 根据互斥事件与对立事件的定义进行判断判断是否为互斥事件，主要是看两事件是否同时发生；判断是否为对立事件，首先看是否为互斥事件，然后再看两事件是否必有一个发生，若必有一个发生，则为对立事件，否则，不是对立事件
14、 (1)是互斥事件，不是对立事件 道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，因此是互斥事件同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件,(2)既是互斥事件，又是对立事件 道理是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件 (3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件 道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者
15、不是互斥事件，当然不可能是对立事件,评析：“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立的事件是其中必有一个要发生的互斥事件，因此，对立事件必须互斥,类型三：互斥事件与对立事件的概率 解题准备：1.互斥事件的概率加法公式：若事件A与B互斥，则P(AB)P(A)P(B)； 2对立事件的概率公式：若事件A的对立事件为，则P( )1P( ),典例3一盒中装有大小和质地均相同的12只小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1球，求： (1)取出的小球是红球或黑球的概率； (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率,解 解法1：(1)从12只球
16、中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是红球或黑球共有549种不同取法，而任取1球共有12种取法 任取1球是红球或黑球的概率为P1 .,(2)从12只球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是白球有2种取法 从而任取1球是红球或黑球或白球的概率为 P2 .,评析 可利用互斥事件和对立事件概率的计算公式求解 (1)解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算 (2)在解决至多、至少的有关问题时，常考虑应用对立事件的概率公式,探究2 (2010江西五校联考)下表为某班英语及数学成绩的分布学生共有50人，成绩分15五个档次例如
17、表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一张，该卡片对应学生的英语成绩为x，数学成绩为y.设x，y为随机变量(注：没有相同姓名的学生),(1)x1的概率为多少？x3且y3的概率为多少？ (2)ab等于多少？,评析 本题主要是用计数方法求出事件包含的基本事件数，再用公式P 求解；而求P(x2)时，因为a，b未知，所以考虑它的对立事件，即“x1”和“x3”，而事件“x2”、“x1”、“x3”彼此互斥，P(x1)P(x3)P(x2)1.,笑对高考第三关 成熟关,名 师 纠 错,误区一:概率和频率的关系不清致误 典例1下列说法: 频率是反映事件发生的频繁程度
18、,概率反映事件发生的可能性的大小; 做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的概率为 ; 频率是不能脱离n次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值; 频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值. 其中正确命题的序号为_.,正解 ,剖析 对概率和频率的关系认识不清，导致误判如对于说法，认为事件发生的频率就是事件发生的概率，再如对事件发生概率的确定性认识不清，说可能认为说法不正确等,评析 概率与频率的关系概率的定义是：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率这个常数是客观存在的，它不依赖于某次试验事件发生的概率
19、，它是在大量的重复同一个试验时事件发生的频率的一个稳定值要特别注意随机事件发生的概率的客观存在性和确定性,误区二：误解基本事件的等可能性致误,典例2若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为_,剖析 本题的主要错误在于对等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，错误地认为基本事件总数为11(点数和等于2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12)，或者将点数和为4的事件错误计算为(1,3)，(2,2)两种，从而导致错误,正解 将先后掷2次，出现向上的点数记作点坐标(x，y)，则共
20、可得点坐标的个数为6636，而向上点数之和为4的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，故先后掷2次，出现向上的点数之和为4的概率P .故填 .,解 题 策 略,1. 利用概率的加法公式求概率的步骤是: 要确定这诸事件彼此互斥;这诸事件中有一个发生;先求出这诸事件分别发生的概率,再求其和.值得注意的是:两点是公式的使用条件,不符合这两点,是不能运用互斥事件的概率加法公式的.,2. 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算.二是间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(
21、),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”,“至少”型题目,用方法2就显得较简便. 3. 两个事件A与B是互斥事件,有如下三种情况:若事件A发生,则事件B就不发生;若事件B发生,则事件A就不发生;事件A,B都不发生.两个事件A与B是对立事件,仅有前两种情况.因此,互斥未必对立,但对立一定互斥.,快 速 解 题,典例在标有一、二、三、四、五、六、七、八、九的九个球中,甲、乙两人依次从中各摸一球(不放回),求两人至少摸到一个标有奇数球的概率.,分析 两人至少摸到一个标有奇数球，有三种情况：甲摸到奇数球且乙摸到偶数球；甲摸到偶数球且乙摸到奇数球；甲、乙都摸到奇数球，由互斥事件概率的求法可得,易丢
22、分原因 忽视“不放回”则必然丢分.,教 师 备 选,根据近几年随机事件的概率部分的命题特点,学习时应采用以下策略:,1. 正确理解“频率”与“概率”之间的关系 概率可看成频率在理论上的期望值.它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.,2. 任何事件的概率是0到1之间的一个数,它度量该事件发生的可能性,小概率(接近0)事件很少发生,而大概率(接近1)事件则经常发生.但是,概率是用来度量随机事件发生的可能性大小的一个量,而实际结果是指事件A发生或不发生,因此实际结果与计算出的结果并不一定相同.,3. 对互斥事件的理解,可以从集合的角度去加以
23、认识如果A、B是两个互斥事件,反映在集合上,是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集为空集. 4. 要注意互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生.因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.,5. 应用互斥事件的概率加法公式,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式求解.,6解题过程中，要明
24、确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等术语的意义，已知两个变量A、B，它们的概率分别为P(A)、P(B)，那么： (1)A、B中至少有一个发生为事件AB； (2)A、B都发生为事件AB； (3)A、B都不发生为事件 ； (4)A、B恰有一个发生为事件A B；,(5)A、B中至多有一个发生为事件A B . 它们之间的概率关系如下表所示：,课时作业四十二 随机事件的概率,一、选择题 1(基础题，易)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同现从中随机取出2个球，则取出的小球标注的数字之和为3或
25、6的概率是( ) A. B. C. D.,答案：A,解析:从5个小球中取出两个小球的方法数为 . 数字之和为3的方法数为1,数字之和为6的方法数为2,所以所求概率为 ,故选A.,2(2010济南模拟)(基础题，易)从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( ) A0.2 B0.3 C0.7 D0.8,答案：B,解析：因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm的概率为10.20.50.3，故选B.,3. (多解题,易)在10枝铅笔中,有8枝正品和2枝次品,从中不
26、放回地任取2枝,至少取到1枝次品的概率是( )A. B. C. D.,答案:C,解析:方法1(直接法):“至少取到1枝次品”包括:A=“第一次取到次品,第二次取到正品”;B=“第一次取到正品,第二次取到次品”;C=“第一二次均取到次品”三种互斥事件,所以所求事件的概率为 P(A)+P(B)+P(C)= .,方法2(间接法):“至少取到1枝次品”的对立事件为“取到的2枝铅笔均为正品”,所以所求事件的概率为 .,4. (2010青岛质检)(基础题,易)同时掷两颗骰子,得到点数和为6的概率是( )A. B. C. D.,答案:B,解析:基本事件数是36,而“点数和为6”包含5个基本事件,即 (1,5
27、),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),所以“点数和为6”概率为 ,故选B.,5. (能力题,中)甲乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,两个下成和棋的概率为50%,那么乙不输的概率是( ) A. 20% B. 70% C. 80% D. 30%,答案:B,解析:注意甲与乙的相互对应关系.乙不输时即甲不赢,故所求P=1-0. 3=0. 7.,6.设集合AB1,2,3,4,5,6，分别从集合A和B中随机取数x和y，确定平面上的一个点P(x，y)，我们记“点P(x，y)满足条件x2y216”为事件C，则C的概率为( ),解析：分别从集合A和B中随机取数x和y，得到(x，y)总的可能数有66
28、36种情况，满足x2y216的(x，y)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)这8种情况，则所求概率为 ，故选A.,二、填空题,7(2010浙江模拟)(基础题，易)一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个白球，从中摸出1个球，放回后再摸出1个球，则2球恰好颜色不同的概率为_,答案：,8(基础题，易)某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.20、0.30、0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为_,答案：0.40,解析：不够8环，即为击中10环或9环或8环的对立事件故P1(0.200.300.10)0.40.,9.
29、(基础题,易)一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和不小于15的概率为_.,答案:,解析:两球的编号和15的概率为2 = .两球的编号和为16的概率为 ,所以满足条件的概率为 .,三、解答题,10(2010临沂模拟)(基础题，易)将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数,(1)若点P(a，b)落在不等式组 表示的平面区域内的事件记为A，求事件A的概率；,(2)若点P(a，b)落在直线xym(m为常数)上，且使此事件的概率最大，求m的值,解:(1)基本事件总数为66=36.
30、当a=1时,b=1,2,3; 当a=2时,b=1,2; 当a=3时,b=1. 共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6个点落在条件区域内,P(A)= .,(2)当m=7时,共有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)6个点满足 条件,此时P= 最大.,11. (2010潍坊模拟)(能力题,中)袋中有12个小球,分别为红球黑球黄球绿球,从中任取一球,得到红球的概率为 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球得到黄球得到绿球的概率各是多少?,解:从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“
31、得到绿球”分别为ABCD,则有,12. (能力题,中)箱中装有15张大小重量一样的卡片,每张卡片正面分别标有1到15中的一个号码,正面号码为n的卡片反面标的数字是n2-12n+40(卡片正反两面用颜色区分). (1)如果任意取出1张卡片,试求正面数字大于反面数字的概率; (2)如果同时取出2张卡片,试求它们反面数字相同的概率.,解:(1)由不等式nn2-12n+40,得5n8. 由题意得,n=6,7,即共有2张卡片正面数字大于反面数字,故所求的概率为 .,(2)设取出的是第m号卡片和n号卡片(mn)，则有m212m40n212n40，即12(nm)n2m2，由mn，得mn12，故符合条件的取法为1,11；2,10；3,9；4,8；5,7.所求的概率为P .,
