1、第六章 正弦电流电路,山东大学信息科学与工程学院,内容提要,正弦电压和电流的基本概念 正弦量的相量表示法 电路基本定律的相量形式 阻抗与导纳 阻抗的串联与并联 正弦稳态电路的分析 正弦稳态电路的功率 功率因数的提高 负载获得最大功率的条件,6-1 正弦电压和电流的基本概念,正弦电压和正弦电流：随时间按正弦规律变化的电压和电流。 正弦函数的数学表示正弦量的三要素： 幅值 初相 角频率,正弦电压和电流的基本概念,周期电压/电流的有效值 与周期电压/电流具有相同做功能力（功率）的等效直流电压/电流。 周期信号有效值的计算(设周期为T ) 一个周期内单位电阻上的平均功率直流信号在单位电阻上的功率,正弦
2、电压和电流的基本概念,令 得有效值正弦量的有效值正弦量的有效值等于其幅值除以 ，或者说，幅值是有效值的 倍。,正弦电压和电流的基本概念,相位差 两个同频率正弦量的相位角之差,* 线性电路对正弦激励的响应,动态电路的输入输出方程与全响应 输入输出方程的一般形式全响应= 自然响应 + 强迫响应 = 暂态响应 + 稳态响应 “暂态响应”经过一定时间后衰减至0，电路响应进入“稳态”。此时，电路响应仅剩下输入激励引起的响应中的稳态部分，即强迫响应，其形式取决于激励信号。,*正弦激励下的全响应,正弦激励下的全响应同样包含“暂态响应”和“稳态响应” 正弦激励的稳态响应（正弦稳态响应）正弦信号的性质正弦稳态响
3、应必有如下形式：正弦激励下的全响应必为如下形式,正弦电流电路分析中，重点关注的是“稳态响应”,与正弦激励信号同频率，区别仅体现在幅度和相位,RL电路对正弦激励的全响应,电路模型 输入输出方程全响应电流,6-2 正弦量的相量表示法,复数的表示,电路分析中常简写成极坐标形式：,6-2 正弦量的相量表示法,复数计算 复数的相加/相减的代数形式复数相加/相减的几何形式,6-2 正弦量的相量表示法,复数的乘法/除法,6-2 正弦量的相量表示法,正弦量的相量,正弦量：,正弦量的复指数表示：,正弦量的相量表示：,去除 旋转 因子,三者之间存在一一对应关系：,正弦量,复指数表示,相量表示,去旋转因子,加旋转因
4、子,取虚部运算,Cos()+j*sin(),（只与幅值、初相有 关，与角频率无关）,加 旋转 因子,取 虚 部,正弦稳态交流电路中，所有的电压电流为同频率的正弦量。仅需分析幅值初相。,正弦量的相量表示,幅值相量与有效值相量 幅值相量： 有效值相量： 二者关系： 相量图（表示方法与计算与向量相同）,相量的又一种表示方法：,幅值相量,有效值相量,电路分析时， 一般采用有 效值相量。,正弦量的相量表示,正弦激励的相量与正弦稳态响应的相量,调整,去除 旋转 因子,正弦激励与正弦稳态响应,复指数正弦激励与稳态响应,正弦激励的相量与 正弦稳态响应的相量,问题：能否如此处理，进一步简化计算？正弦激励相量形式
5、激励相量形式稳态响应 正弦稳态响应,正弦稳态响应的间接计算：正弦激励复指数正弦激励复指数稳态响应 正弦稳态响应,6-3 电路基本定律的相量形式,借助相量形式分析正弦稳态响应 电路基本定律的相量形式是否成立? 电路元件 U-I 特性的相量形式？ 电路分析常用定理的相量形式是否成立？ 常用电路分析方法在相量形式下是否成立？,基尔霍夫定律的相量形式,基尔霍夫定律的相量形式及证明 KCL的数学表达：在正弦稳态情况下，任意支路电流可表示为若保证上式成立，必有： İkm为幅值相量 İk为有效值相量 可见：KCL的相量形式仍然成立。,故,基尔霍夫定律的相量形式,KVL的相量形式（证明方法同KCL）,幅值相量
6、形式,有效值相量形式,+ -,+-,- +,-+,注：相量形式基尔霍夫定律适用于正弦电流电路的稳态响应分析。,电路元件方程的相量形式,电阻元件 电容元件 电感元件 受控源,电阻元件,电阻元件的VCR特性： 正弦激励时 幅值相量形式有效值相量形式可见：欧姆定律在相量形式下依然成立。 电阻元件电压相量与电流相量关系 相位： 幅值：,电阻元件,电阻元件的相量模型,+,-,R,+,-,R,时域模型,相量模型,电阻元件,相量图、波形图,电容元件,电容元件的VCR特性： 正弦稳态情况下相量形式VCR：,与电阻元件相似,电容元件,电压相量与电流相量关系 相位：幅值 / 有效值：电容元件的相量模型,电压相位落
7、后电流/2,+,-,C,时域模型,+,-,相量模型,电容元件,相量图、波形图,电容元件,容抗 定义： 量纲：欧姆 容抗的属性：电容元件的电压/电流幅值关系,容值越大，导电能力越强,角频率越高，导电能力越强,开路，阻直流,短路，通交流,电感元件,电感元件的VCR： 在正弦稳态时 相量形式 VCR：,与电阻元件相似,电感元件,电压相量与电流相量关系 相位关系：幅值 / 有效值关系：电感元件相量模型,电压相位超前电流/2,+,-,L,时域模型,+,-,相量模型,电感元件,相量图、波形图,电感元件,感抗 定义： 量纲：欧姆 感抗的属性电感元件的电压/电流幅值关系,电感值越大，导电能力越弱,角频率越高，
8、导电能力越弱,短路，通直流,开路，阻交流,受控源,4种受控源的转移特性4种受控源的相量形式,受控变量与控制变量同相位。 幅度关系由转移系数决定。,6-4 阻抗与导纳,阻抗与导纳的定义 电阻元件或二端无源电阻网络，欧姆定律：正弦稳态时，电阻/电导的计算正弦稳态时，如何衡量一个任意二端元件或无源二端网络的导电性能？在形式上能否像电阻元件一样简单，便于描述电压电流关系和电路分析？,时域形式,相量形式,阻抗与导纳,阻抗（网络等效阻抗）的定义 任意无源二端元件（或网络）的电压相量与电流相量的比值。量纲：欧姆。导纳（网络等效导纳）的定义 任意无源二端元件（或网络）的电流相量与电压相量的比值。量纲：西门子。
9、 阻抗与导纳互为倒数关系,无 源 二 端 网 络,+,-,阻抗与导纳分析,元件阻抗与导纳 电阻：电容：电感：,电阻元件的阻抗/导纳等于 阻值/电导，为实数，取之 与角频率无关。,电容元件的阻抗/导纳为纯 虚数，取值随角频率变化。,电感元件的阻抗/导纳为纯 虚数，取值随角频率变化。,由于阻抗/导纳为复数，导电能力通过绝对值大小来体现。,阻抗与导纳分析,任意无源二端网络的等效阻抗与导纳 实际的二端网络中包含电阻、电容、电感等多种元件，其等效阻抗和导纳为复数，既有实部又有虚部。若阻抗的虚部为正或导纳的虚部为负，则网络呈感性，此时电压相位超前于电流相位。 若阻抗的虚部为负或导纳的虚部为正，则网络呈容性
10、，此时电压相位落后于电流相位。 4个参数之间关系,其中，实部 R 称电阻，虚部 X 称电抗。,其中，实部 G 称电导，虚部 B 称电纳。,6-5 阻抗的串联与并联,阻抗的串联 假设k个元件串联 根据相量形式的KVL，串联电路的端电压相量,串联电路的阻抗：,+,-,+,-,-,+,串联阻抗计算与串联电阻的计算方法相同,阻抗的串联与并联,阻抗的并联 假设k个元件并联 根据相量形式的KCL，并联电路的电流相量为,并联等效导纳为,+,-,并联阻抗计算与并联电阻的计算方法相同,6-6 正弦稳态电路的相量分析,内容回顾 电路分析的基础：KCL/ KVL、元件方程 电路分析的方法：支路分析法、结点分析法、
11、回路分析法 电路分析常用定理：叠加定理、替代定理、戴维宁定理、诺顿定理、特勒根定理、互易定理、电源的等效互换、星形网络与三角形网络的等效互换、电源的转移 线性电路的类型：电阻电路、动态电路,内容回顾（续）,电路方程的类型 线性电阻电路：线性方程组（求解简单） 动态电路：线性常系数微分方程（求解复杂） 线性动态电路响应的分解 零输入相应+零状态响应 自然响应+强迫响应 暂态响应+稳态响应 正弦电流电路 正弦量的三要素 正弦稳态响应的特点 正弦量的复指数表示 正弦量的相量表示,内容回顾（续）,正弦稳态响应的分析方法 时域分析：建立非齐次微分方程，求特解。复杂。 时域间接分析：先将正弦激励转换为复正
12、弦激励，建立非其次微分方程，求特解（简单）。再利用取虚部运算得正弦稳态响应。 相量分析：先将激励源、支路电压/电流、电路元件转换成相量形式，得电路的相量模型。利用相量形式KCL / KVL列电路方程，求解响应信号的相量。由于元件以阻抗表示，形式上与电阻元件统一，此时电路方程为线性方程(组) ，求解简单。由相量写出正弦稳态响应。,由于避免了微分方程的求解，代之以线性方程求解，相量分析法相当简单。,正弦稳态电路的相量分析,相量分析的基础 相量形式的基尔霍夫定律 电路元件的相量模型 相量分析可用方法（同电阻电路） 支路分析法 节点分析法 回路分析法 相量分析可用定理叠加定理、替代定理、戴维宁定理、诺
13、顿定理、特勒根定理、互易定理、有伴电源的等效互换、星形网络与三角形网络的等效互换、电源的转移,线性电阻电路分析中 所有分析方法、电路 定理均可用于正弦电 流电路的相量分析。 因此，正弦电流电路 的相量分析与电阻电 路分析在形式上达到 了统一。,相量分析法的过程,电路时域模型,电路相量模型,相量分析,时域响应,电路中所有激励源、 响应信号均转换为 相量形式，二端元 件以阻抗表示 。,依据相量形式 KCL / KVL以及元件方程 列电路方程，并求 解响应信号的相量。,将相量形式响应信号 加旋转因子，进行取 虚部运算，得时域稳 态响应。,实例分析,例5-7-1：已知RLC串联电路的元件参数R、L、C
14、以及正弦激励电压 。求各支路电流及电压，绘制向量图。,实例分析,首先给出电路的相量模型，如图（b），其中激励电压相量,串联电路等效阻抗为：,电流相量为：,电阻电压相量：,电感电压相量：,电容电压相量：,实例分析,由相量写出对应的时域正弦稳态响应信号：,电流：,电阻电压：,电感电压：,电容电压：,实例分析,向量图,实例分析,例5-7-2 已知RLC并联电路的元件参数R、L、C和输入电流激励 。求端电压和各支路电流，绘出向量图。,R,C,L,i(t),G,实例分析,首先给出电路的相量模型，如图（b），其中电流相量为：,并联电路的等效导纳为,端电压相量：,电阻电流相量：,电感电流相量：,实例分析,电
15、容电流相量：,对应时域正弦稳态信号为：,端电压：,电阻电流：,电感电流：,电容电压：,实例分析,向量图,实例分析,试用支路电流法求电流相量,求解思路：2个独立回路，1个独立节点。,实例分析,应用基尔霍夫定律可列出下列相量方程 求解方程组,实例分析,应用戴维宁定理计算上例中的电流相量,相量形式戴维宁等效电路的关键问题： 如何求得端口的开路电压相量 如何求得端口等效阻抗,a,实例分析,戴维宁等效电路建立支路电流求解,实例分析,试用节点分析法求各支路的电流,求解思路：先求2个独立节点的节点电压相量，再求各支路电流相量。,实例分析,相量形式的节点方程,实例分析,节点电压相量 各支路电流,实例分析,用回
16、路分析法求各支路电流相量,求解思路：先求3个独立回路的回路电流相量，再求各支路电流相量。,实例分析,相量形式的网孔方程,6-7 正弦稳态电路的功率,正弦稳态电路涉及的功率 瞬时功率/平均功率 有功功率/无功功率 复功率 视在功率 重点掌握各种功率的物理概念及相互关系,瞬时功率,瞬时功率（量纲：瓦，W） 瞬时功率： 在正弦电流电路中，设,二 端 网 络,+,-,瞬时功率,瞬时功率的曲线,可见： 瞬时功率呈周期变化； 变化频率为电流频率的2倍； 3. 瞬时功率时正时负； 4. 瞬时功率为正，表明二端网络吸收功率；瞬时功率为负，表明二端网络释放功率； 5. 含动态元件的二端网络与外界电路存在能量交互
17、。,平均功率,平均功率（量纲：瓦，W）瞬时功率在一个周期内取平均。反映二端网络消耗的功率。即二端网络中电阻元件在单位时间消耗的能量。,平均功率取值大小取决于电压-电流相位差。,元件的瞬时功率与平均功率,电阻元件,电阻元件瞬时功率不小于0，即不可能对外部释放能量。 电阻元件的平均功率为电压、电流有效值乘积，必为正值，反映耗能特性。,元件的瞬时功率与平均功率,电容元件,电容元件瞬时功率仅含简谐分量，无恒定分量，取值正负反映与外部电路交换能量的过程； 2. 电容元件的平均功率为0，反映电容的储能特性，“不耗能”。,元件的瞬时功率与平均功率,电感元件,电感元件瞬时功率仅含简谐分量，无恒定分量，取值正负
18、反映与外部电路交换能量的过程； 2. 电感元件的平均功率为0，反映电感的储能特性，“不耗能”。,视在功率与功率因数,视在功率（量纲：伏安，VA） 定义为网络端电压有效值与电流有效值的乘积 。功率因数 平均功率与视在功率之比值。,二 端 网 络,+,-,视在功率与功率因数讨论,对于任意二端网络二端元件 电阻元件 电容元件电感元件,复功率、无功功率与有功功率,复功率 二端网络端口阻抗、电压相量、电流相量关系 复功率定义：,可见：,端口电压相量与电流相量复共轭的乘积,显然，复功率的实部即平均功率P。,复功率与无功功率,无功功率（量纲：乏，Var） 定义：复功率的虚部无功功率讨论,电阻元件：,电感元件
19、：,电容元件：,任意二端网络：,复功率与无功功率,电阻元件，既不吸收无功，也不释放无功； 电感元件，吸收无功，是产生无功需求的原因； 电容元件，释放无功，故可称为无功电源； 实际的网络，可能偏感性（吸收无功），也可能偏容性（释放无功）。,感性网络：,容性网络：,有功功率：与无功功率相对应，又将平均功率P称为有功功率。,各种功率之间关系,瞬时功率的分解,瞬时功率的分解,复功率、视在功率、有功功率、无功功率之间关系,复功率,视在功率,有功功率,无功功率,复功率 / 有功功率 / 无功功率 / 视在功率的计算,设二端网络的等效阻抗、等效导纳,例题分析,求图示全电路吸收的复功率和各支路吸收的复功率。,
20、电路输入端口的等效阻抗 总电流相量为两并联支路的电流相量为全电路吸收的复功率 各支路吸收的复功率,6-8 功率因数的提高,提高功率因数的意义 使电源设备得到充分利用 交流电源设备(发电机、变压器)的额定电压UN 和额定电流 IN 交流电源输出的平均功率与负载的功率因数呈正比降低线路损耗和线路压降 线路损耗降低了电源能量利用效率 线路损耗和压降与电流大小呈正比关系 负载有功功率一定时，提高功率因数可降低电流，从而降低线路损耗和压降 保证较高的功率因数，可确保负载侧电压稳定，提高供电质量,6-8 功率因数的提高,提高功率因数的方法 负载中的感性部件是导致低功率因数的主要因素 在感性负载两端并联合适
21、容量的电容器可对无功功率进行补偿 注：补偿电容过大，同样导致功率因数降低,6-8 功率因数的提高,无功补偿原理 未并入电容时,电路的无功功率并入电容后,电路的无功功率电容补偿的无功功率 所需并联的电容器的电容量,例题分析,图中电路为一个日光灯电路的模型。将此电路接于频率为50Hz的正弦电压源上，测得端电压为220V，电流为0.4A，功率为40 w。 (1)求电路吸收的无功功率及功率因数； (2)求日光灯电路的等效阻抗Z、等效电阻R 与等效电感L之值； (3)如果要求将功率因数提高到0.95，试问在AB二端间并联电容C应为多少？,根据题设有如下条件：,V；,A；,W,视在功率 无功功率 功率因数
22、等效电阻 等效感抗等效电感,VA,var,并联电容后，等效阻抗为,根据功率因数要求,解得：,(此时，等效阻抗呈感性，欠无功),(此时，等效阻抗呈容性，过补),或,6-9 负载获得最大功率的条件,注：此处的功率是指“有功功率”,负载获得最大功率的条件,电源的等效阻抗二端网络的等效阻抗电流相量,电流有效值负载吸收功率为使得P最大化，可首先调节X，使得 为使得P最大化，R需满足,解得： 故，负载获得最大功率的条件为：此时，负载获得最大功率 电源内阻消耗的功率与负载获得功率相同,即：负载与电源阻抗共轭匹配。,显然：此时，电源效率只有50%。 （简单讨论电源效率与输出功率的关系）,例题分析,求最佳匹配时获得的最大功率。先求得端口的诺顿等效电路最佳匹配时获得的最大功率,
