1、全国高中数学联赛模拟试题第一试试题一、选择题1、对任意一组非负实数 a1,a2,an，规定 a1=an+1，若有 nkkkaa1212ni恒成立，则实数 的最大值为_.A0 B. 2 C1 D2、已知 A，B，C 为 ABC 的三个内角，记 y=sin3A+sin3B+sin3C，则 y 的取值范围是_。A0，2 B 23, C-2，2 D 23,03、若 p,qN +且 p+q2007, 00, y0，且 02，数列a n定义如下：a 0=1, a1=a, an+1= nna21，证明：对任何 kN，有)42(1120 ak。15、设抛物线 S 的顶点在原点，焦点在 x 轴上，过焦点 F 作
2、一条弦 AB，设 AO，BO 延长线分别交准线于C，D，若四边形 ABCD 的面积的最小值为 8，试求此抛物线的方程。以下是答案一、选择题1、C 因为212121212 )(kkkkk aaaa，所以.111212nknknkkaa又当 a1=a2=an时， “=”成立，所以 最大为 1。2、B 当 A=B ，C0 时，y-2，设 ABC，则 C 3，所以 sin3C0,所以 y-2；又当 A=B=97,C时， 23y，且 y=sin3A+sin3B+sin3C 23sin)(cos2ACBA.23sin1si312 A3、C 记 2007=n，往证 .1pq当 n=2 时，显然成立。设当 n
3、=k 时成立，当 n=k+1 时，取所有满足 p+q=k, (p,q)=1 的 的和记为 S，所有形如 kp(pb0), P(r1cos,r 1sin),Q 2cos2r, 2sin2r即 Q(-r2sin,r 2cos)，因为 P，Q 在椭圆上，所以 221bar。设 O 到 PQ距离为 d.则 )(2221 bacbard，解得 .5e5、D 当 x10 时，log mx-2 即 lgxlgm 2或 lgxlgm -2(m0 且 m1)，解得 1cosy，又 cosx1，所以 1+cosxycosx+cosy；（2）若 0cosxcosy；（3）若 x1,y1，则 xy 4)(2yx,记
4、ty，则0sint tsin,所以 .0tf所以 f(t)在 ,1上单调递减，又 ,2cos12f而 32（因为 92） ，所以 ,3cos所以 0f，所以 f(t)0。所以原不等式成立。14、证明 记 f(x)=x2-2，则 f(x)在0,+）上是增函数，又 201a，所以 0112af=a2-aa，所以 012a，依此类推有 21na，再用数学归纳法证明原命题。（1）当 k=0,1 时，不等式显然成立。（2）设当 k=m 时，原不等式成立。当 k=m+1 时，因为 ),()()(0)1(210121 afaffaannnn 其中 f(0)(a)0)，设 1,ypA，2,ypB， 3,ypC， 4,pD， 0,F。因为 A，O，C 三点共线，所以 py213，所以 .123yp同理，由 B，O，D 共线有 24y，又因为 A，F，B 共线，所以 y1y2=-p2,所以 21yp，所以点 C 坐标为 ,p，D 坐标为 1,p。所以 AD/BC/x 轴，所以 ABCD 为直角梯形。由抛物线定义，|BF|=|BC|，|AF|=|AD|，设BFx=，则 ABCD 面积 SABCD= 2|AB|2sin= 232sinp，当且仅当 2时，S ABCD取最小值 2p2，由已知 2p2=8，所以 p=2。故所求抛物线方程为 y2=4x.
