1、 高二数学单元试题1已知向量 a（1，1，0），b（1，0，2），且 ab 与 2 ab 互相垂直，则 的值是（ ）kkA 1 B C D 553572已知 （ ）A 15 B5 C3 D1的 数 量 积 等 于与则 bakjibkjia,2,233已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，下列条件中能确定点 M 与点 A、B 、C 一定共面的是（ ）A B C DOMBAM2 O312CO31314已知向量 a（0，2，1） ，b（1，1，2） ，则 a 与 b 的夹角为 （ ）A 0 B 45 C 90 D1805已知ABC 的三个顶点为 A（3，3，2） ，B（4，3
2、，7） ，C（0，5，1） ，则 BC 边上的中线长为 A2 B 3 C4 D56在下列命题中：若 a、b 共线，则 a、b 所在的直线平行；若 a、b 所在的直线是异面直线，则 a、b 一定不共面；若 a、b、c 三向量两两共面，则 a、b、c 三向量一定也共面；已知三向量 a、b、c，则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 pxaybzc 其中正确命题的个数为（ ）A 0 B1 C 2 D37已知空间四边形 ABCD，M、G 分别是 BC、CD 的中点，连结 AM、AG、MG，则 + 等于（ A1()2BD） A B C D G B21BC8直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 ， ，
3、， 则 （ ）Aab1cAA B C D abcbcabc9在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，向量 、 、 是 （ ）11A有相同起点的向量 B等长向量 C共面向量 D不共面向量10已知点 A（4，1，3） ，B（2，5，1） ，C 为线段 AB 上一点，且 ,则点的坐标是 ( )3|CBA B C D 75(,)23(,)807(,)357(,)211设 A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足 ，则BCD 是 （ ）0, AABA钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不确定12 （理科）已知正方形 ABCD 的边长为 4，E 、F 分别是 AB、AD 的中点，GC 平面
4、ABCD，且 GC2，则点 B 到平面EFG 的距离为（ ） A B C D 1101253二填空题（本大题 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13已知向量 a=( +1,0,2 )，b=(6,2 -1,2),若 ab,则 与 的值分别是 14已知 a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b -c,则 m，n 的夹角为 zyxSB CDA D P B A C E 15已知向量 a 和 c 不共线，向量 b0，且 ，dac ，则 ()()abc,db16 （如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点 为端点的三条棱长都等于 1，且它们彼此的夹角都是 ，A 60那么
5、以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 三解答题（本大题 6 小题，共 74 分）17 （本小题满分 12 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 是 DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系（1）写出 A、B 1、E 、D 1 的坐标；（2）求 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值 18 （本小题满分 12 分）在正方体 中，如图、分别是 ，的中点，1C1B（1）求证： 平面 ADE；F1（2）cos ,BE19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 底面 ABCD，ACDP PD，E 是 PC 的中点，作 交 PB 于点 F
6、.PBEF（1）证明 平面 ； （2）证明 平面 EFD20 （本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 是直角梯形，ABCBAD 90，SA平面 ABCD， SAABBC1，AD 12（1）求 SC 与平面 ASD 所成的角余弦；（2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成角的余弦zyxF ED1 C1B1A1D CBA21 （本小题满分 12 分）如图，在底面是菱形的四棱锥 PABC中，ABC=60 0，PA=AC= a，PB=PD= ,点 E 在 PD 上，且 PE:ED=2:1.a2（1）证明 PA平面 ABCD；（2）求以 AC 为棱，EAC 与 DAC 为面的二面角 的大小22
7、（本小题满分 14 分）P 是平面 ABCD 外的点，四边形 ABCD 是平行四边形， 2,14,AB,20AD.1,2A（1）求证：PA 平面 ABCD. （2）对于向量 ，定义一种运算：12(,)(,)axyzbxyz，()abc2331321321xyz试计算 的绝对值;说明其与几何体 P-ABCD 的体积关系，并由此猜想向量这种运算 的绝)ABDP ()ABDP对值的几何意义（几何体 P-ABCD 叫四棱锥，锥体体积公式：V= ）.3底 面 积 高空间向量答案一选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D A D C B A A D C C C B二填空题1
8、3 、 1460 15 90 16 52 6三解答题（本大题 6 小题，共 74 分）17 （本小题满分 12 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 是 DC 的中点，取如 图所示的空间直角坐标系（1）写出 A、B 1、E 、D 1 的坐标；（2）求 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值 解：(1) A(2, 2, 0)，B 1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D 1(0, 2, 2)(2) (0, - 2, 2)， (0, 1, 2) | |2 ，| | ， 0242, AB1 ED1 AB1 2 ED1 5 AB1 ED1 cos ， AB1 与 E
9、D1 所成的角的余弦值为 AB1 ED1 2225 1010 101018 （本小题满分 12 分）在正方体 中，如图、分别是 ，的中点，1C1B（1）求证： 平面 ADE；FD1（2）cos ,BE解：建立如图所示的直角坐标系， （1）不妨设正方体的棱长为 1，则 D（0，0，0） ，A（1，0，0） ， （0，0，1） ，DE（1，1， ） ，F（0， ，0） ， 2则 （0， ，1） ， （1，0，0） ， （0 ，1， ） ， 则 0，AA0， ， . EFD DF1E1平面 ADE.1（） （1， 1，1） ，C（0，1，0） ，故 （1，0，1） ， （1， ， ） ，BCBF21
10、10 ， ， ， 23234CB则 cos . 2,11 CBEF150,E19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 底面 ABCD，ADP PD，E 是 PC 的中点，作 交 PB 于点 F.CPBEF（1）证明 平面 ；（2）证明 平面 EFDB解： 解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点.设 .Ca(1)证明：连结 AC，AC 交 BD 于 G.连结 EG.依题意得 (,0)(,)(0,)2aAaPE底面 ABCD 是正方形， 是此正方形的中心，G故点 G 的坐标为 且(,)2(,)(,0).2aA. 这表明 .PE而 平面 EDB 且 平
11、面 EDB， 平面 EDB。PP(2)证明：依题意得 。又 故 (,0)(,)Baa(,)DE 020aDEPB, 由已知 ，且 所以 平面 EFD.DFzyxFED1 C1B1A1D CBAzyxSB CDAD P B A C E 20 （本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 是直角梯形，ABCBAD 90，SA平面 ABCD， SAABBC1，AD 12（1）求 SC 与平面 ASD 所成的角余弦；（2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成角的余弦解：（1） （2）6321 （本小题满分 12 分）如图，在底面是菱形的四棱锥 PABC中，ABC=60 0，PA=AC= a，PB=P
12、D= ,点 E 在 PD 上，且 PE:ED=2:1.a2（1）证明 PA平面 ABCD；（2）求以 AC 为棱，EAC 与 DAC 为面的二面角 的大小（1）证明 因为底面 ABCD 是菱形，ABC=60 ，所以 AB=AD=AC=a， 在PAB 中，由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PAAB.同理，PAAD，所以 PA平面 ABCD.（2）解 作 EG/PA 交 AD 于 G，由 PA平面 ABCD.知 EG 平面 ABCD.作 GHAC 于 H，连结 EH，则 EH AC， EHG 即为二面角 的平面角.又 PE : ED=2 : 1，所以 .360sin,32,1aAGaE从而
13、,3tanGH.022 （本小题满分 14 分）P 是平面 ABCD 外的点，四边形 ABCD 是平行四边形， 2,14,AB,20AD.1,2A（1）求证：PA 平面 ABCD. （2）对于向量 ，定义一种运算：12(,)(,)axyzbxyz，()abc2331321321xyz试计算 的绝对值;说明其与几何体 P-ABCD 的体积关系，并由此猜想向量这种运算 的绝)ABDP ()ABDP对值的几何意义（几何体 P-ABCD 叫四棱锥，锥体体积公式：V= ）.3底 面 积 高解：（1） (2,14)(,21)(2)40APBAPB即(,)(,0DABC即面（2） 348, 105PABD又 cosV 1sin63D猜测： 在几何上可表示以 AB,AD,AP 为棱的平等六面体的体积（或以 AB,AD,AP 为棱的四棱柱的体积）AB
