1、1江苏省姜堰中学、如东高级中学等五校2018 届高三上学期第一次学情监测数学试题第卷（共 60 分）一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上）1. 已知全集 ，集合 ，则 1,02U1,0AUCA2. 设复数 满足 （ 为虚数单位），则 为 z3ii z3. 设向量 ，若 ，则实数 的值为 2,61,abm/abm4. 直线 为双曲线 的一条渐近线，则 的值为 30xy20yxb5. “ ”是“直线 与直线 垂直”的 条件15a1a130axy(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入).6. 已知函数 是定义在 上的周期为 2 的奇函
2、数，当 时， ，则 的值fxR01x8xf193f为 7. 若圆锥底面半径为 2，高为 ，则其侧面积为 58. 设 满足 ，则 的最大值为 ,xy01xy3xy9. 已知 ，且 ，则 的值是 536， cos35sin10. 设数列 的首项 ，且满足 与 ，则数列 的前 20 项和为 na12121nna21nana211. 已知 是以 为直径的圆上的两点，且 ,则 的值为 ,BDAC2,5ABDACB12. 在平面直角坐标系 中，已知圆 和两点 ，xOy2:161Cxy,2,2aa且 ，若圆 上存在两个不同的点 ，使得 ，则实数 的取倌范围为 a,PQ90ABQ13已知 ，则 的最小值为 ,
3、0,abc225abc14. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若不等式 恒成立，则lnfxexe 0fx的最大值为 ba二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 的内角 所对的边分别为 ，已知 .ABC, ,abcsin3cosaBbAC（1）求角 的大小；（2）若 的面积为 ，求 .AB73,4,bac,16.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 平面 ， 为锐角三角形，PCDPABCD/BPADB且 .PC3（1）求证： 平面 ；/ADPBC（2）平面 平面 .17.园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为 米，圆心角为 (
4、弧度）的扇形观景水池，其中r为扇形 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过 24 OAB万元，水池造价为每平米 400 元，步道造价为每米 1000 元.（1）当 和 分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；r（2）若要求步道长为 105 米，则可设计出的水池最大面积是多少.18.如图，已知椭圆 的左顶点 ，且点 在椭圆上， 分别2:10xyEab2,0A31,212F、是椭圆的左、右焦点。过点 作斜率为 的直线交椭圆 于另一点 ，直线 交椭圆 于AkEB2E点 .C（1）求椭圆 的标准方程；E（2）若 为等腰三角形，求点 的坐标；12CFB4（3）若
5、 ，求 的值.1FCABk19.已知数列 满足： .,nab*13,nnaN（1）若 ，求 的值；23,0n1（2）设 ，求证：数列 从第 2 项起成等比数列；124,nnabanb（3）若数列 成等差数列，且 ，试判断数列 是否成等差数列？并证明你的结论.n1235bana20.已知函数 ，其中 为自然对数的底数， .,xfegxeR（1）求证： ；0f（2）若存在 ，使 ，求 的取值范围；0xR00fxga（3）若对任意的 恒成立，求 的最小值.,1fx (附加题）21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应
6、写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线 经过点 ，倾斜角为 ，设 与圆 相交于 两l1,P6l24xy,AB点，求点 到 两点的距离之积.P,ABB.选修 4-2:矩阵与变换在平面直角坐标系 中，直线 在矩阵 对应的变换作用下得到的直线仍为xOy20xy12aAb5，求矩阵 的逆矩阵 .20xyA1C.选修 4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，直线 和圆 的极坐标方程为 和 .若直线 和圆lCcos6aR4sinl有且只有一个公共点，求 的值.Ca【必做题】第 22、23 题，请选定其中两题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
7、说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥 中， 为等边三角形，平面 平面 ，AEFCBAAEFCB， ， 为 的中点./,42EFBCa， 60O（1）求二面角 的正弦值；FAEB（2）若 平面 ，求 的值.BOCa23.已知抛物线 的焦点为 ，直线过点 .24yxF4,0M（1）若点 到直线的距离为 ，求直线的斜率；F3（2）设 为抛物线上两点，且 不与 轴垂直，若线段 的垂直平分线恰过点 ，求证: 线,ABABxABM段 中点的横坐标为定值.6试卷答案一、填空题1. 2. 2 3. 3 4. 2 35. 充分不必要 6. 7. 8. 269. 10. 2056 11. 21 12.
8、4310 1717a13. 4 14. 1e二、解答题15. 解（1）由已知 ，sin3cosinaBbAC结合正弦定理得 ，ii3siA所以 ，sin3sincosinincosicsBABABA即 ，即 ，iiAta3因为 ，所以 .0,B3B（2）由 ，得 ，即 ，1sin,2ABCSac374ac7ac又 ，得 ，2 obB22所以 ，又 ， .78acac7116.解（1）因为 平面 ,/BCPAD7而 平面 ，平面 平面 ，BCADBCPAD所以 ，/又因为 平面 ； 平面 ,P所以 平面/ADBC（2）过 作 于 ,H因为平面 平面 ,且平面 平面 ,所以 平面PADPABCDA
9、BPHABCD因为 平面 ，所以 .BCCH因为 ，所以 ,而 为锐角三角形，于是点 与 不重合，即 . B PH因为 平面 ,所以 平面 因为 平面 ,PHAPABCPB故平面 平面 .BC17.由题意，水池孤长 为 ，扇形 面积为 ABrAOB21Sr由题意有 41402020rh即 ，25r2rr 令 ，则 221002,0trt2104tt8所以当 时， 最大为 400240r21Sr答：扇形圆心角 为 2 弧度，半径 为 20 米时，广场面积最大为 400 平方米 （2）即 ， 代入可得 10522rr1052rr或 105 67h45又 2Sr2211051050546rr当 时，
10、 与 不符2r21/r在 上单调减，当 时， 最大 337.5 平方米,此时 .S45,45rS1318. 解（1）由题意得 ，解得22194abc231abc椭圆 的标准方程：E243xy（2） 为等腰三角形，且 点 在 轴下方12CF0kCx若 ，则 ；1120,39若 ，则 ， ；212FC2F0,3C若 ，则 ， ；3121, 0,C直线 的方程 ，由 得 或B31yx2314yx03y85xy 83,5（3）设直线 的方程 ，AB:2ABlykx由 得2143ykx22241610kxk 264ABkx2834Bkx 213Bykk2261,k若 ，则 ， ， ， ， 与 不垂直；1
11、2,3,C1,0F134CFk1AB ， ， ，k2,0F2124,BFCFkk直线 的方程 ，直线 的方程: 2B22:1BFlyxk11:1CFlyxk10由 解得 241kyx281xky281,Ck又点 在椭圆上得 ，即 ，即 C22818143kk2241890k214k ， 0k61219.解：（1）当 时，可得 ，又 ，,n1233,2aa230a从而可得 ；14a（2）由 ，可得 ，12,122134,77baba所以 ；2143b又因为 ，11,nnnab所以 ，即 ，1123nnnb *1243,nbN又 ， ，所以 ，214207*1,n所以数列 成等比数列；nb（3）由
12、 可得 ，即 ；1235a1235a3120al由 可得 ，1nnb1223,nnnbb又因为数列 成等差数列，从而 ，即 ，n 21nnb210nnb11从而 ，212312130nnnnnbbaaa即 21321nnna所以 ，故 ，1213210nnaa21nnaa所以数列 成等差数列.n20.解：（1）令 ，得 ，且当 时， ；当 时， ，所0xfe1xx0fx1x0fx以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 在 处取得最小值. fx,1,f因为 ，所以 .0f0fx（2）设 ，题设等价于函数 有零点时的 的取值范围.2xFeaFxa当 时，由 ，所以 有零点. 0a130,
13、 0Feax当 时，2e若 ，由 ，得 ；0x0a20xFea若 ，由（1）知， ，所以 无零点.1Fx当 时， ，又存在 ， ，所以2ea01Fa02axe0012eax有零点.Fx综上， 的取值范围是 或 .a2ea 0（3）由题意， ，因为 ，所以 .1x1x21xea12设 ，其值域为 ，12xeGA由于 ，所以 .2011xxeex 2eGx又 ，所以 在 上为减函数，所以 ，. 20xeGx,1Gxe记区间 ，则 .1,eBA设函数 ，,HxGm一方面， ；10e另一方面， ，212xHxemx121xemx存在 ，512me540012xe所以 ，使 ，即 ，所以 .1,xe1H
14、x1GxmBA由，知， ，AB从而 ，即 的最小值为 .2ea2e21.A.（坐标系与参数方程）解：直线 的参数方程为 即 ( 为参数)；l1cos,6in,xty31,2,xty13将 代入 ，31,2,xty24xy得 ，即 ，则 ，223114tt23120tt12t则点 到 两点的距离之积为 2.P,ABB.(矩阵与变换）解：设 是直线 上任意一点，其在矩阵 对应的变化下得到,Pxy20xy102A仍在直线上，122aabybxy所以得 ， 与 比较得 ，解得 ，故 ,0a20xy12ba01ba102A求得逆矩阵 ._120AC.(坐标系与参数方程）解：将直线 的极坐标方程化为直角坐
15、标方程得 ，l 320xya将圆 的极坐标方程化为直角坐标方程得 .C224因为直线与圆有且只有一个公共点，所以 ，即dr2ar解得 或 .3a11422.解：因为 是等边三角形， 为 的中点，所以 ，AEFOEFAOEF又因为平面 平面 ，平面 平面 ，CBACB平面 ，O所以 平面 ，AEF又 平面 ,所以 ，BCAOEB取 的中点 ，连结 ，G由题设知四边形 是等腰梯形，所以 ，EFGEF由 平面 ，又 平面 ，所以 ，AOCBOCBAO建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ,03,2,0EaAaBa， ， ,03,2,3,0EAaBEa设平面 的法向量为 ，,nxyz则 ,即0nEA
16、B30,22.axay令 ，则 ，于是 ，1z3,1xy3,1n15又平面 的一个法向量为 ，设二面角 为 ，AEF0,1pFAEB所以 ， ，5cos,np 25sincos所以二面角的正弦值为 .25（2）因为 平面 ，所以 ，即 ，BEAOCBEC0O因为 ，2,3,02,3,aa所以 ，2BEOCa由 及 ，解得 .04323.解：（1）由已知， 不合题意.设直线的方程为 ，x 4ykx由已知，抛物线 的焦点坐标为 ，C1,0因为点 到直线的距离为 ，所以 ，F3231k解得 ，所以直线的斜率为 . 2k（2）设线段 中点的坐标为 ，AB012,NxyABxy因为 不垂直于 轴，则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，xM04A04xy直线 的方程为 ，AB004xy16联立方程 0024,xy消去 得 ，x22000144yx所以 ，012yx因为 为 中点，所以 ，即 ， NAB120y04yx所以 .即线段 中点的横坐标为定值 2. 02x欢迎访问“ 高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
