1、第 14 讲 直线与圆1.(1)2015全国卷 一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 . (2)2015全国卷 过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|= ( )A.2 B.8 C.4 D.10试做 命题角度 圆的方程(1)解决圆的方程问题,关键一:通过研究圆的性质求出圆的基本量.关键二:设出圆的一般方程,用待定系数法求解 .(2)圆的常用性质: 圆心在过切点且垂直切线的直线上; 圆心在任一弦的垂直平分线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线.2.(1)2018全国卷 直线 x+y+2=0 分
2、别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x-2) 2+y2=2 上,则ABP 面积的取值范围是 ( )A.2,6 B.4,8 C. ,3 D.2 ,3 (2)2016全国卷 已知直线 l:mx+y+3m- =0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l的垂线与 x 轴交于 C,D 两点.若|AB|=2 ,则|CD|= . 试做 命题角度 直线与圆的问题关键一:求直线被圆所截得的弦长时 ,一般考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理求解.关键二:弦心距可利用点到直线的距离公式求解 .小题 1 直线的方程及应用1 (1)已知直线 ax+
3、by+1=0 与直线 4x+3y+5=0 平行,且直线 ax+by+1=0 在 y 轴上的截距为 ,则 a+b 的值为 ( )A.-7 B.-1C.1 D.7(2)过定点 M 的直线 ax+y-1=0 与过定点 N 的直线 x-ay+2a-1=0 交于点 P(异于 M,N),则|PM|PN|的最大值为 ( )A.4 B.3C.2 D.1听课笔记 【考场点拨】(1)求直线方程主要有直接法和待定系数法.直接法是选择适当的形式 ,直接求出直线方程.待定系数法是由条件建立含参数的方程,再据条件代入求参数得方程.(2)平行与垂直位置关系问题主要依据:已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1
4、不同时为 0)与直线 l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2 不同时为 0),若 l1l 2,则 A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C10 或 A1C2-A2C10;若 l1l 2,则 A1A2+B1B2=0.【自我检测】1.命题“m=-2”是命题“ 直线 2x+my-2m+4=0 与直线 mx+2y-m+2=0 平行”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知直线 l 的斜率为 ,在 y 轴上的截距为直线 x-2y-4=0 的斜率的倒数,则直线 l 的方程为 ( )A.y= x+2 B.y= x-2C.y= x+ D.y=- x+2
5、3.已知直线 l 经过直线 l1:x+y=2 与 l2:2x-y=1 的交点,且直线 l 的斜率为- ,则直线 l 的方程是 ( )A.-3x+2y+1=0 B.3x-2y+1=0C.2x+3y-5=0 D.2x-3y+1=04.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0 和 x+y+b=0,已知 a,b 是关于 x 的方程 x2+x+c=0 的两个实根,0c ,则这两条直线间的距离的最大值为 ( )A. B.C. D.小题 2 圆的方程及应用2 (1)已知一圆的圆心为 A(2,-3),圆的某一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上,则此圆的方程是( )A.(x-2)2+(y+3)2=13B.
6、(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52(2)已知 A(-3,0),B(0,4),点 C 在圆(x-m) 2+y2=1 上运动,若ABC 的面积的最小值为 ,则实数 m 的值为( )A. 或B.- 或C.- 或D.- 或-听课笔记 【考场点拨】(1)由圆心和半径可直接得圆的标准方程;(2)过不在同一条直线上的三点可确定一个圆;(3)弦的垂直平分线一定过圆心;(4)与圆上的点有关的问题常转化为圆心的有关问题去处理.【自我检测】1.以(a,1)为圆心,且与两条直线 2x-y+4=0 和 2x-y-6=0 同时相切的圆的标准方程为 (
7、)A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=52.若直线 ax+by+1=0 始终平分圆 M:x2+y2+4x+2y+1=0,则 (a-2)2+(b-2)2 的最小值为( )A. B.5C.2 D.103.已知两点 A(-m,0)和 B(2+m,0)(m0),若在直线 l:x+ y-9=0 上存在点 P,使得 PAPB,则实数m 的取值范围是 ( )A.(0,3) B.(0,4)C.3,+) D.4,+)4.若方程 x2+y2-8x+2my+m2+m+10=0 表示圆,则 m 的取值范围是 . 小题 3 直线与圆的位置
8、关系3 (1)已知圆 C:x2+y2=1,点 P 为直线 x+2y-4=0 上一动点 ,过点 P 向圆 C 引两条切线分别为PA,PB,A,B 为切点,则直线 AB 经过定点 ( )A. B.C. D.(2)已知直线 3x-4y+m=0 与圆 O:x2+y2=4 交于 A,B 两点,C 为圆外一点,若四边形 OACB 是平行四边形,则实数 m 的取值范围为 . 听课笔记 【考场点拨】直线与圆的问题:(1)解决直线与圆的位置关系问题主要是利用几何法,即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断;(2)弦长问题,主要依据弦长的一半、弦心距、半径恰构成一直角三角形的三边进行求解;(3)经过圆内一点,垂
9、直于过这点的半径的弦最短.【自我检测】1.已知ABC 的三边长为 a,b,c,直线 ax+by+2c=0 与圆 x2+y2=4 相离,则ABC 是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上情况都有可能2.已知直线 4x-3y+a=0 与圆 C:x2+y2+4x=0 相交于 A,B 两点 ,且AOB=120( O 为坐标原点),则实数 a 的值为 ( )A.3B.10C.11 或 21D.3 或 133.已知圆 O:x2+y2=r2(r0)及圆上的点 A(-r,0),过点 A 的直线 l 交 y 轴于点 B(0,1),交圆于另一点C,若|AB|= 2|BC|,则直线 l 的斜率为
10、 . 4.点 P(x,y)是直线 l:kx+y+3=0 上一动点,PA,PB 是圆 C:x2+y2-4y=0 的两条切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的面积的最小值为 2,则 k 的值为 . 模块五 解析几何第 14 讲 直线与圆典型真题研析1.(1) +y2= (2)C 解析 (1)设圆心为(t,0)(t 0),则半径为 4-t,所以 4+t2=(4-t)2,解得 t= ,所以圆的标准方程为 +y2= .(2)方法一:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组解得 所以圆的方程为 x2+y2-2x+4y-20=0,
11、即(x-1) 2+(y+2)2=25,所以 =2 =4 .方法二:因为 kAB=- ,kBC=3,所以 kABkBC=-1,所以 ABBC ,所以 ABC 为直角三角形,所以ABC的外接圆圆心为 AC 的中点(1,-2), 半径 r= =5,所以 =2 =4 .方法三:由 =0 得 ABBC,下同方法二.2.(1)A (2)4 解析 (1)由题意知 A(-2,0),B(0,-2),|AB|=2 .圆心(2,0) 到直线 x+y+2=0 的距离为 =2 .设点 P 到直线 AB 的距离为 d,圆(x-2) 2+y2=2 的半径为 r,则 d2 -r,2 +r,即|2+0+2|2d ,3 ,又AB
12、P 的面积 SABP = |AB|d= d,所以ABP 面积的取值范围是2,6.(2)直线 l:m(x+3)+y- =0 过定点 (-3, ),又|AB|=2 , 2+( )2=12,解得 m=- .直线方程中,当 x=0 时,y= 2 .又(-3, ),(0,2 )两点都在圆上, 直线 l 与圆的两交点为 A(-3, ),B(0,2 ).设过点 A(-3, )且与直线 l 垂直的直线为 x+y+c1=0,将(-3, )代入直线方程 x+y+c1=0,得c1=2 .令 y=0,得 xC=-2,同理得过点 B 且与 l 垂直的直线与 x 轴交点的横坐标为xD=2, |CD|=4.考点考法探究小题
13、 1例 1 (1)A (2)D 解析 (1)因为直线 ax+by+1=0 与直线 4x+3y+5=0 平行,所以 3a=4b,又因为直线 ax+by+1=0 在 y 轴上的截距为 ,所以 b+1=0,解得 b=-3,所以 a=-4,所以 a+b=-7,故选 A.(2)由题意可知,M(0,1).x-ay+2a-1=0,即 x-1+a(2-y)=0,则 N(1,2). 过定点 M 的直线 ax+y-1=0 与过定点 N 的直线 x-ay+2a-1=0 始终垂直,P 又是两条直线的交点, PMPN, |PM|2+|PN|2=|MN|2=2.故|PM|PN| =1,当且仅当|PM|=|PN|=1 时取
14、等号.【自我检测】1.C 解析 当两直线平行时 ,m2=4,m=2,若 m=2,则两直线均为 x+y=0;若 m=-2,则两直线分别为 x-y+4=0,x-y-2=0.所以“m=-2” 是“直线 2x+my-2m+4=0 与直线 mx+2y-m+2=0 平行”的充要条件,故选 C.2.A 解析 直线 x-2y-4=0 的斜率为 , 直线 l 在 y 轴上的截距为 2, 直线 l 的方程为y= x+2,故选 A.3.C 解析 解方程组 得 所以两直线的交点为(1,1).因为直线 l 的斜率为- ,所以直线 l 的方程为 y-1=- (x-1),即 2x+3y-5=0.故选 C.4.B 解析 因为
15、 a,b 是方程 x2+x+c=0 的两个实根,所以 a+b=-1,ab=c.两条直线间的距离 d= ,所以 d2= = .因为 0c ,所以 1-4c1,即 d2 ,所以两条直线间的距离的最大值为 ,故选 B.小题 2例 2(1)A (2)D 解析 (1) 设该直径的两个端点分别为 P(a,0),Q(0,b),则 A(2,-3)是线段 PQ 的中点,所以 P(4,0),Q(0,-6),圆的半径 r=|PA|= = .故圆的方程为(x-2) 2+(y+3)2=13.故选 A.(2)直线 AB: + =1,即 4x-3y+12=0,y4若ABC 的面积最小,则点 C 到直线 AB 的距离 d 最
16、小,易知 dmin= -1,又 ABC 的面积的最小值为 , 5 = ,即|4m+12|=10,解得 m=- 或- .故选 D.【自我检测】1.A 解析 由题易知 ,圆心在直线 2x-y-1=0 上,将点(a,1)代入上式可得 a=1,即圆心为 (1,1),半径 r= = ,|2-1+4|5 圆的标准方程为(x-1) 2+(y-1)2=5.2.B 解析 由直线 ax+by+1=0 始终平分圆 M,知直线 ax+by+1=0 必过圆 M 的圆心,由圆的方程可得圆心为 M(-2,-1),代入 ax+by+1=0 中,可得 2a+b-1=0.(a-2)2+(b-2)2 表示点(2,2)与点( a,b
17、)之间的距离的平方.点(2,2)到直线 2a+b-1=0 的距离 d= = ,所以(a-2) 2+(b-2)2 的最小值为 5,故选 B.3.C 解析 以 AB 为直径的圆的方程为( x-1)2+y2=(1+m)2.若在直线 l:x+ y-9=0 上存在点 P,使得 PAPB,则直线 l 与圆有公共点,所以 1+m,解得 m3.故选 C.4.(-,6) 解析 方程 x2+y2-8x+2my+m2+m+10=0,即(x-4) 2+(y+m)2=6-m,由方程表示圆,可得 6-m0,解得 m2,即 c2a2+b2,故ABC 是钝角三角形.2.D 解析 圆 C 的标准方程为(x+2) 2+y2=4,
18、作 CDAB 于点 D,由圆的性质可知 ABC 为等腰三角形,其中|CA|=|CB|.由AOB=120,易得|CD|=1,即圆心(-2,0) 到直线 4x-3y+a=0 的距离 d=1,即 =1,即|a-8|=5,解得 a=3 或 13.3. 或 解析 由题知,直线 l 的方程为 = ,即 x-ry+r=0,y-1 1联立直线与圆的方程 得 C , |AB|=2|BC|, =2 ,解得 r= 或 r= , 直线 l 的斜率 k= = = 或 k= = = .1 13 1 1334.2 解析 根据题意画出图形,如图所示,圆 C 的标准方程为 x2+(y-2)2=4,由题易得 S 四边形 PACB
19、=2SPCB =2 |PB|BC|=2|PB|=2 =2 , 当|PC| 取得最小值时,四边形 PACB 的面积取得最小值.而|PC|的最小值即为点 C 到直线 l:kx+y+3=0 的距离 d,d= = . 2 =2, d= ,则 = ,解得 k2=4,即 k=2.备选理由 例 1 在直线与圆的位置关系的基础上,考查圆的面积的计算,需要从特殊的等边三角形入手分析;例 2 考查直线与圆的综合问题 ,涉及圆的方程的确定,点到直线及两点间的距离问题等;例 3 在直线与圆的位置关系的基础上 ,考查最值问题,理解不难,但运算量大,对培养学生的计算与求解能力有所帮助.例 1 配例 3 使用已知直线 y=
20、ax 与圆 C:x2+y2-2ax-2y+2=0 交于 A,B 两点,且CAB 为等边三角形,则圆 C 的面积为 . 答案 6解析 圆 C 的标准方程为(x-a) 2+(y-1)2=a2-1,则圆心 C(a,1),半径 R= . 直线 y=ax 和圆 C 交于 A,B 两点,且CAB 为等边三角形, 圆心 C 到直线 ax-y=0 的距离为 Rsin 60= ,又 圆心 C 到直线 ax-y=0 的距离 d=, = ,解得 a2=7, 圆 C 的面积为 R2=(7-1)=6.例 2 配例 3 使用已知圆 C 经过原点 O 且圆心在 x 轴正半轴上,经过点 N(-2,0)且倾斜角为30的直线 l
21、 与圆 C 相切于点 Q,点 Q 在 x 轴上的射影为点 P,设点 M 为圆 C 上的任意一点,则=( )A.4 B.3C.2 D.1解析 C 如图所示,由题可知直线 l:y= (x+2),即 x- y+2=0.设圆心 C(a,0)(a0),则 =a,得 a=2,所以圆 C 的方程为(x-2) 2+y2=4.由图易知,|PC|=1,则|OP|=1,则 P(1,0).设 M(x,y),则 = = ,将圆 C 的方程 x2+y2=4x 代入得 = =4,|2oMa|2所以 =2,故选 C.例 3 配例 3 使用 直线 ax+ay-1=0 与圆 a2x2+a2y2-2a+1=0 有公共点( x0,y0),则 x0y0 的最大值为 ( )A.- B.C. D.2解析 B 因为直线 ax+ay-1=0 与圆 a2x2+a2y2-2a+1=0 有公共点( x0,y0),所以圆心到直线的距离 d 不大于圆的半径,易知 d= ,则 0 ,解得 a .由 即得 2a2x0y0+2a-1=1,所以 x0y0= = - .设 =t,则 0t ,则 x0y0=t2-t= - ,0t ,由二次函数的性质可得当 t= 时,x 0y0 取得最大值 ,故选 B.
