1、圆一、 思维导图二、 知识梳理（一）圆的定义及相关概念认识1圆的定义（1）描述性： 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径. 如图，以点 O 为圆心的圆，记作“ ”，0读作“圆 O”（2）集合性：平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆注意：（1）圆心和半径是构成圆的两个重要元素，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小（2）圆上任意一点到圆心的距离等于半径；在平面内所有到圆心距离等于半径的点都在该圆上（3）圆是指圆周，是曲线，而不是指圆面知识拓展（1）能够重合的两个圆叫做等圆注意：圆心和半
2、径都相同的圆视为同一个圆（2）半径和圆心都相同的圆为同圆（3）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆2与圆有关的概念BCAO（1）弦和直径连接圆上任意两点的线段（如 AB、AC）叫做弦。经过圆心的弦（如 AB）是直径. 直径是圆中最长的弦（2）弧和半圆圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“”表示，以 A、B 为端点的弧记作“ ”，读作弧 AB；弧可分为劣弧、半圆、优弧三种。圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条 AB弧，每一条弧都叫做半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，如图中劣弧 大于半圆的弧叫做优弧，表 ,C示时，必须用三个大写字母表示，如优弧 . BAC（3）在同圆或等圆中，能够相互重合
3、的弧称为等弧（二）圆心角、弧、弦之间的关系及圆周角定理认识1圆心角、圆周角、弦心距顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长2圆周角定理定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：（1） 同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径903弧、弦、圆心角之间的关系在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦也相等在同
4、圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧也相等注意：条件“在同圆或等圆中”（三）垂经定理1垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧CDAB为 直 径 DEC2平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 CDAEB为 直 径 DABCCE BADO方法指导：垂经定理的内容可以概括为五二三或知二推三，一条直线如果具有：（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径） ；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧，这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”注意：以上“知二推三”中（3） “平分弦”为条件时，弦一定不能是直径
5、，若是直径，则结论不一定成立，因为任何两条直径都互相平分，但不一定垂直；“平分弦”为结论时，弦包括直径，因为垂经定理中的弦就包括直径（四）与圆有关的位置关系1点和圆的位置关系的有关概念（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆外, 点在圆上, 点在圆内（2）点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定的，设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d（即 OP） ，则有：点和圆的位置关系 文字描述 符号语言 图示点 P 在圆内圆内各点到圆心的距离都小于半径；到圆心的距离小于半径的点都在圆内点 P 在圆内 drPrO点 P 在圆上圆上各点到圆心的距离都等于半径；到圆心的距离等于半径的点都
6、在圆上点 P 在圆上 d=rPr O点 P 在圆外圆外各点到圆心的距离都大于半径；到圆心的距离大于半径的点都在圆外点 P 在圆外 drPrO注意：（1）符号“ ”读作“等价于” ，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端（2）点与圆的位置关系与点到圆心的距离（d） 、圆的半径（r）之间的大小关系有着紧密的联系，是“数”与“形”的结合，即点与圆的位置关系不仅可以用图形来表示，还可以用数量关系来表示2确定圆的条件（1）经过一点 A 可作做无数个圆，以点 A 以外的任意一点为圆心，此点与点 A 的距离为半径作出一个圆，这样的圆能推出无数个（2）经过平面内的两个点 A，B 作圆，由于
7、圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上，这样的圆心有无数个，因此能作出无数个圆（3）经过不在同一直线上的三点 A、B、C 作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此，圆心在线段 AB，BC 的垂直平分线的交点 O 上，以 O 为圆心，以 OA（或 OB、OC）为半径可作经过A、B、C 三点的圆，这样的圆只有一个（4）经过同一直线上的三个点不能作圆（5）经过任意四点不一定能作出圆定理：不在同一直线上的三点确定一个圆注意：（1）对于定理“不在同一直线上的三点确定一个圆”可以理解为“不在同一直线上的三点有且只有一个圆”（2）过不在同一直线上的三点作圆时，只需由任意两条线段的垂直平分
8、线的交点即为圆心3三角形的外接圆三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。注意：（1）任意一个三角形都有外接圆，而且有且只有一个外接圆。而一个圆却有无数个内接三角形，只要三角形确定了，它的外心以及外接圆的半径就确定了（2）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部4反证法(1)定义：不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理的出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原
9、命题成立，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法(2)用反证法证明命题的一般步骤：假设命题的结论不成立从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确注意：（1）反证法一般用于唯一性、否定性、存在与否等命题的证明（2）当从正面很难解决时，考虑用反证法证明（五）直线和圆的位置关系1 直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离。设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：直线和圆的位置关系 相交 相切 相离定义直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切直线和圆没有公共点，这
10、时我们说这条直线和圆相离图形lOdrlOdrlOdr公共点个数 2 1 0圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系d r d=r d r公共点名称 交点 切点 无直线名称 割线 切线 无总结 直线 l 与O 相交 d r直线 l 与O 相切 d=r直线 l 与O 相离 d r注意：（1）直线和圆的位置关系判定方法：直线和圆的公共点的个数；圆心到直线的距离与半径的大小关系。判定方法二者选其一即可（2）直线和圆的位置关系与点和圆的位置关系既有联系，又有区别，两者都是根据 d 与 r 的数量关系来判定图形的位置关系的，但前者中的 d 为圆心到直线的距离，后者中的 d 为点与圆心的距离2切线的判定定理
11、和性质定理（1）切线的判定方法定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线数量法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线注意：定理的题设条件是两个：一是，经过半径外端；二是：垂直于这条半径，两个条件缺一不可；因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；作垂直，证垂直在圆上比如下图：第一个图中，直线过半径的外端点，又垂直于这条半径，因此，此直线是圆的切线第二个图中，直线不过半径的外端点，又不垂直于这条半径，因此，此直线不是圆的切线第三个图中，直线垂直于这条半径，但不过半径的外端点，因此，此直线不是圆的切线 OOOAA
12、Al l l（2）切线的性质切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心中任意两个，便可得到第三个结论。具体解释如下（如下图）：过圆心，过切点 垂直于切线AB 过圆心，AB 过切点 M，则 ABl 过圆心，垂直于切线 过切点AB 过圆心，ABl，则 AB 过切点 M过切点，垂直于切线 过圆心ABl，AB 过切点 M，则 AB 过圆心MBOlA3切线长及切线长定理切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长切线
13、长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角注意：（1）切线是直线，不可度量；切线长是切线上一条线段的长，可以度量（2）从圆外任意一点都可以引圆的两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切线（3）切线长定理主要用于证明线段相等、角相等及垂直关系，需重点掌握4三角形的内切圆三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心三角形内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；内心到三角形三遍的距离相等注意：（1）三角形内切圆的作法：先作
14、出三角形的两条角平分线，以两条角平分线的交点为圆心，交点到一边的距离为半径作圆，即可得到三角形的内切圆（2）一个三角形有且只有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形（3）钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部(六)圆与圆的位置关系1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有三大类：相交、相切(内切或外切) 、相离（外离或内含） 设两个圆为O1，O2 半径分别为 R1，R 2，且 R1R 2， O1 与 O2 间距离为 d，那么就有：dR1+R2 两圆相离；（图 1）d=R1+R2 两圆相外切；（图 2）d=R1-R2 两圆相内切；（图 4）R1-R2dR 1+R2 两圆相交；（图 3
15、）dR1-R2 两圆内含(这里 R1R 2) （图 5）2连心线的相关知识（1）连心线的概念：连心线是指通过两圆圆心的一条直线连心线是它的对称轴（2）相切两圆的性质定理：如果两个圆相切，切点一定在连心线上相交两圆的性质定理：如果两圆O 1，O 2 相交于 A，B 两点，那么 O1O2 垂直平分 AB相离两圆的性质定理：如果两个半径不相等的圆O1，O 2 相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线 O1O2 上，并且直线 O1O2 上，并且直线 O1O2 平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角（3）如果两条外公切线分别切O 1 于 A，B 两点，切O2 于 C，D 两点，那么两条外公切
16、线长相等，且 AB 都被 O1O2 垂直平分(七)正多边形定义及相关概念1正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形2正 n 边形的概念如果一个正多边形有 n(n3)条边，那么这个正多边形叫做正 n 边形3 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距(八)正多边形的有关计算名称 公式内角 正 n 边形的每个内角为 0(2)18n中心角 正 n 边形的每个中心角为 36外角 正 n 边形的每个外角为 0n周长 正 n 边形的周长 la面积 正 n 边形
17、的面积 12nsrl注意：正 边形的边长为 ，边心距为 ，半径为 ,三者之间的关系narR2()R（九）正多边形与圆的关系及相关计算定理：把圆分成 n（n 3）等份1依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形2经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形（十）正多边形的画法 1用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆2用尺规等分圆（1）在O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把O 分成 4 等份，从而作出正四边形。在逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形（2）正六、三、十二边形的作法因为正六边形的边长为 r，所以在半径为 r 的圆上依次截取等于 r 的弦，就可以 6 等分圆（十一）弧长与扇形面积1弧长在半径为 R 的圆中，1的圆心角所对的弧长是 ，n的圆心角所对的弧长是180R180nR2扇形面积（1）在半径为 R 的圆中，n 的圆心角所对应的扇形面积是2360（2）半径为 R，弧长为 l 的扇形面积 S= lR12
