1、复数一、复数的概念及运算：1、复数的概念：（1）虚数单位 ；i（2）实部：a，虚部：b；（3）复数的分类( ) ；biazRbab,)0()0(非 纯 虚 数纯 虚 数虚 数 无 理 数有 理 数实 数（4）相等的复数：2、复数的加、减、乘、除法则：（1）加减法具有交换律和结合律； （2）乘法具有交换律、结合律、分配律；（3）除法： 。)0(2dicabdcaib3、复数的共轭与模：共轭复数: 复数的模:复平面:复数 与点 是一一对应关系，另： 与 关于 轴对称， 表示 对应点与原点的距离。biazZ, zxz二、复数中的方程问题：1、实系数一元二次方程的根的情况：对方程 （其中 且 ） ，令
2、 ，02cxRca,0acb42当 时，方程有两个不相等的实数根。0当 =0 时，方程有两个相等的实根；当 时，方程有两个共轭虚根： 。 2,221 ixibx2、一元二次方程的根与系数的关系：若方程 （其中 且 ）的两个根为 ，则 ；02cbxaRcba,021x、 acxb21考点 1：复数的基本运算 1. 复数 等于 3i2. 已知复数 z 满足（ 3i）z3i，则 z 3. 3(1 i)4.复数 等于 (1+i)21 i5. 复数 的值是 4)(i考点 2：复数的模长运算1.已知复数 ，则 等于 23(1)izz2. 已知 ，复数 的实部为 ，虚部为 1，则 的取值范围是 0azaz考
3、点 3：复数的实部与虚部1. 复数 的虚部为 3(1)i考点 4：复数与复平面内的点关系1. 在复平面内，复数 对应的点位于 i2. 在复平面内，复数 对应的点位于 （ ）sin2cozA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 在复平面内，复数 对应的点位于 ( )i1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4. 若 对应的点在虚轴上，则实数 ixxz65322 x考点 5：共轭复数1.复数 的共轭复数是 1i2. 若 与 互为共轭复数，则实数 a、b 的值分别为 2ab3i3. 把复数 z 的共轭复数记作 ，已知 ,则 等于 zizi34)21(z考点 6：复数的周期
4、1.已知 ，则集合 的元素个数是 （ ）()nfi(NfnA2 B. C. 4 D. 无数个3考点 7：复数相等1. 已知 ，求实数 x、y 的值。 1()()xyixyi2. 已知 ，且 ，求 x、y 的值。,xyR51213xyiii3. 设 ，若 ，求实数 a、b。 2(1)3()iiz21zabi4. 已知 niminmnii 是 虚 数 单 位 ， 则是 实 数 ， 其 中1考点 8：复数比较大小1.使得不等式 成立的实数的值为_22(3)(43)10ii考点 9：复数的各种特殊形式1. 已知 i 是虚数单位，复数 ，当 m 取什么实数时，z 是2(1)(3)4(2)zmiii（1）
5、实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）零。2. 如果复数 是实数，则实数 2()1mim若复数( a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为 考点 10：复数的综合问题1. 若 ，则 的最大值是 34ziz2. 下列各式不正确的是 （ ）A B. C. D12i i12ii13. 对于两个复数 ， ，有下列四个结论： ； ； ；i23i3111，其中正确的结论的为（ ）个 234. 设 则 12(),3,5,fzizi12()fz5若 且 的最小值是 C|,| ii则6. 设复数 ，则 的关系是 （ ）zqzpiazR, qp、A不能比较大小 B C D qp7.在复平
6、面内，若复数 满足 ，则 所对应的点的集合构成的图形是 z|1|zi8.已知 中， 对应的复数分别为 则 对应的复数为 ABC, ,i32,i1BC9.在复平面内，复数 对应的点分别为 ,若 为线段 的中点，则点 对应的复数是 ii32,56AAC10. 复数 在复平面内对应点位于 象限221()()(zaaiR11. 已知复数 Z 满足 ，求 的最值z3zi四、精选例 1：已知 ，求 ；4032iziz z例 2：已知 ，求 ；10423iizz例 3：设 为虚数， 为实数，且 。zz121（1）求 的值及 的实部的取值范围；（2）证明： 为纯虚数；zu1例 4：已知关于 的方程 有两个根
7、，且满足 。t )(02Rat21t、 321t（1）求方程的两个根以及实数 的值；（2）当 时，若对于任意 ，不等式 对于任意的 恒成立，求0axkmkaxlog2221,k实数 的取值范围。m例 5：已知复数 满足 ，其中 为虚数单位， ，若 ，求 的取值1z iazizi 2,51)( iRa121za范围。例 6：设虚数 满足 。z1052z（1）求 的值；（2）若 为实数，求实数 的值；zm（3）若 在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数 。zi21 z例 7：已知方程 有两个根 和 ， 。02px1x2Rp（1）若 ，求实数 ；321（2）若 ，求实数 ；x例 8：已
8、知复数 是方程 的根，复数 满足 ，求),(Rbaiz 0542x)(3Rui52z的取值范围。u例 9：关于 的方程 有实根，求一个根的模是 2，求实数 的值。x0)2(biaxi ba,例 10：设两复数 满足 （其中 且 ， ） ，求 是虚数。21,z04221zax a1Rx21z（1）求证： 是定值，求出此定值；21z（2）当 时，求满足条件的虚数 的实部的所有项的和。Nx21z例 11：设两个复数 满足 ，并且 是虚数，当 时，求所以满足条件的虚数21z、 Rkzz2121012zNk的实部之和。12z例 12：计算：（1） 6sinco312sinco2（2）5sinco3（3）
9、 6sinco63i1例 13：给定复数 ，在 ， 这八个值中，不同值的个数至多是 _。z 2,zz例 14：已知下列命题（1） ；（2） 为纯虚数；（3） ；Rz 21210zz（4） ；（5） ；（6） .0012z或 021z 2z其中正确的命题是_；例 15：是否存在复数 同时满足条件： ； 的实部、虚部为整数。若存在，求出复数 ，若不6zz z存在，说明理由。例 16：设 是已知复数， 为任意复数且 ，则复数 对应的点的轨迹是( )1zz1,zzA、以 的对应点为圆心、1 为半径的圆；B、以 的对应点为圆心， 1 为半径的圆；zC、以 的对应点为圆心、 为半径的圆；12z21D、以
10、的对应点为圆心， 为半径的圆；例 17：满足方程 的复数 对应的点的轨迹是 ( )。1RezzA、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线例 18：复平面内，满足 的复数 所对应的点的轨迹是 ( )2)()(ii zA、椭圆 B、双曲线 C、一条线段 D、不存在例 19：满足方程 的复数 对应的点的轨迹是 ( )01652zzA、四个点 B、四条直线 C、一个圆 D、两个圆例 20：设复数 ，当 在 内变化时，求 的最小值 。Raxiazxx 、,)2()( x,zag例 21：若复数 和 满足： ，且 。 和 在复平面中对应的点为1z2)0(12aiz 248212zz1z2和 ，坐标原点为 O
11、，且 ，求 面积的最大值，并指出此时 的值。1Z2 2Z1Oa例 22：已知复数 ，i 为虚数单位，且对于任意复数 ，有010,zmizxyiabixyRz。0,2z（1）试求 m 的值，并分别写出 a 和 b 用 x、y 表示的关系式；（2）将 作为点 P 的坐标， 作为点 Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将,xy,平面上的点 P 变到这一平面上的点 Q，当点 P 在直线 上移动时，试求点 P 经该变换后得到的点 Q 的轨迹1yx方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。例 23：
12、已知复数 和 ，其中 均为实数，且 。iznimz2,1yixzyxnm, 21zi（1）若复数 所对应的点 在曲线 上运动，求复数 所对应的点 的轨迹方程；)(M1)3(2z),(yxP（2）将（1）中点 P 的轨迹上每一点沿向量 方向平移，得到新的轨迹 C，求 C 的方程。,a（3）轨迹 C 上任意一点 A（异于顶点）作其切线 交 轴于点 B。问：以 为直径的圆是否恒过 轴上一定点？lyAx若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由。例题答案：1、 ；2、1； 3、 （1） ；（2）略；5、 ；6、 （1） ；（2） ；（3）71Rez7,a5z5m；7、 （1） ；（2）当 时，方程无
13、解；当iziz 0203或 p或 40p时， ；当 时， ；8、 ；9、当 时， ；当 时，0p241p96,2u0b345a或 0b。31,ba10、 （1） ，定值 ；（2） 时， ； 时， ；ixx2400a1a190a1211、95；12、略；13、4； 14、 （1） （4） ；15、存在、 或 ；iz3iz16、D；17、D；18、C；19、C；20、 ；21、8，此时 ，提示：由条件得2,2a1a，821)48(12)48( 2481,14822 212 aa azzSza当且仅当 时等号成立。122、 （1） ；（2） ；（3）存在直线 ，yxm3, 23x xy3；xy3提示：设存在直线满足条件，由条件该直线不能平行与坐标轴，设方程为 ，则变换后的直线为bkxy，即 。它与 重合，当 时，方程无解。byxky44 04)31(3 bykxk 0当 时， ；0b,3
