1、算法设计与分析实验报告一学 号： 姓 名： 日 期： 20161230 得 分： 一、实验内容：TSP 问题二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1、蛮力法1）基本思想借助矩阵把问题转换为矩阵中点的求解。首先构造距离矩阵，任意节点到自身节点的距离为无穷大。在第一行找到最小项 a1j，从而跳转到第 j 行，再找到最小值 ajk，再到第 k 行进行查找。 。 。然后构造各行允许数组 rown=1,11，各列允许数组 colablen=0,1,1.1，其中1 表示允许访问，即该节点未被访问；0 表示不允许访问，即该节点已经被访问。如果改行或该列不允许访问，跳过该点访问下一节点。程序再发问最后一个节点前
2、，所访问的行中至少有 1 个允许访问的节点，依次访问这些节点找到最小的即可；在访问最后一个节点后，再次访问，会返回 k=0，即实现访问源节点，得出一条简单回路。2）复杂度分析基本语句是访问下一个行列中最小的点，主要操作是求平方，假设有 n个点，则计算的次数为 n2-n。T(n)=n*(n-1)=O(n2)。2、动态规划法1）基本思想假设从顶点 s 出发，令 d(i, V)表示从顶点 i 出发经过 V(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点 s 的最短路径长度。推导：(分情况来讨论) 当 V为空集，那么 d(i, V)，表示从 i 不经过任何点就回到 s 了，如上图的 城市 3-
3、城市 0(0 为起点城市) 。此时 d(i, V)=Cis(就是 城市 i 到 城市 s 的距离)、如果 V不为空，那么就是对子问题的最优求解。你必须在 V这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。d(i, V)=minCik + d(k, V-k)注：Cik 表示你选择的城市和城市 i 的距离，d(k, V-k)是一个子问题。综上所述，TSP 问题的动态规划方程就出来了：2）复杂度分析和蛮力法相比，动态规划求解 tsp 问题，把原来时间复杂性 O（n！）的排列转化为组合问题，从而降低了时间复杂度，但仍需要指数时间。3、回溯法1）基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点（根结点）出发
4、，以深度优先方式搜索整个解空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点即成为新的活结点，并为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。回溯法求解 TSP 问题，首先把所有的顶点的访问标志初始化为 0，然后在解空间树中从根节点出发开始搜索，如果从根节点到当前结点对应一个部分解，即满足上述约束条件，则在当前结点处选择第一棵子树继续搜索，
5、否则，对当前子树的兄弟结点进行搜索，如果当前结点的所有子树都已尝试过并且发生冲突，则回溯到当前结点的父节点。采用邻接矩阵 mpnn存储顶点之间边的情况，为避免在函数间传递参数，将数组 mp 设置为全局变量，设数组 xn表示哈密顿回路经过的顶点。2）复杂度分析在哈密顿回路的可能解中，考虑到约束条件 xi!=xj(1%dn“,i,j);s=s+aij;i=j;printf(“最短总距离为：%dn“,s);int min(int *a)int j=0,m=a0,k=0;while(colablej=0|rowj=0)j+;m=aj;/求最短距离for(;j=aj)m=aj;/m 始终保持最短距离k=
6、j;return k;2、动态规划法int init()int i;int j;int t;if(scanf(“%d“,for(i=0; i0)if(getcon(t,i)+gikn) if(graphroadn1!=INF for(int i=1;iab; cingraphab; graphba=graphab; vis1=1; road1=1; /假设是从 1 开始 backtrack(2); coutp.lb;priority_queue q;int low,up;int inq22;/确定上界int dfs(int u,int k,int l)if(k=n) return l+mpu1
7、;int minlen=INF , p;for(int i=1; impui)/*取与所有点的连边中最小的边*/minlen=mpui;p=i;inqp=1;return dfs(p,k+1,l+minlen);int get_lb(node p)int ret=p.sumv*2;/路径上的点的距离int min1=INF,min2=INF;/起点和终点连出来的边for(int i=1; impip.st)min1=mpip.st;ret+=min1;for(int i=1; impp.edi)min2=mpp.edi;ret+=min2;for(int i=1; impij)min1=mpi
8、j;for(int j=1; jmpji)min2=mpji;ret+=min1+min2;return ret%2=0?(ret/2):(ret/2+1);void get_up()inq1=1;up=dfs(1,1,0);void get_low()low=0;for(int i=1; iup) continue;q.push(next);return ret;四、运行输出结果：（1）蛮力法（2）动态规划法（3）回朔法（4）分支限界五、调试和运行程序过程中产生的问题、采取的措施及获得的相关经验教训：TSP 问题在很多地方都可以运用到，并且好多问题都是由 TSP 问题延伸和发展的，也可以称之为 TSP 问题，不过其思路大致相似，于是我们可以运用已学过的算法对其进行解决。我在学习算法课以前的 TSP 问题大都用动态规划以及回溯法，究其时间复杂度以及代码的复杂度比较低，思路比较清晰，在解决此类延伸问题时容易调试和修改。学完算法后最有感触的一点就是，算法的精髓并不在于其方式方法，而在于其思想思路。有了算法的思想，那么潜移默化中问题就可以得到解决
