1、第九讲,汽车振动学,第十一讲,2009年10月12日,一、多自由度系统及其固有特性1、多自由度系统振动微分方程的建立2、多自由度系统的固有特性 二、 无阻尼多自由度系统的模态分析 1、模态的正交性、主坐标和正则坐标2、无阻尼系统的自由振动响应3、无阻尼系统的受迫振动响应 三、比例阻尼和实模态分析 四、非比例阻尼和复模态分析 五、车身和车桥的自由振动,第四章 多自由度系统的振动,一、多自由度系统及其固有特性 1、多自由度系统振动微分方程的建立 2、多自由度系统的固有特性,多自由度系统的固有频率和主振型可由系统的无阻尼振动微分方程的特征值问题求得。,将方程通解及其二阶导数代入 ，并消去 得主振型方
2、程，即,（1）固有频率和主振型的精确计算,广义特征值问题,令 ，称为特征矩阵。,假设方程的通解形式 ，,主振型方程存在非零解的条件是其系数矩阵的行列式等于零，即特征方程,2、多自由度系统的固有特性,其中,由于特征矩阵奇异，即 ，所以不能确定各振型向量分量的绝对数值，但可以确定它们的相对比值，而且是固定不变的，用 表示，即,显然，它与向量 形态相同，仅差倍数。,从而得到固有频率,已知系统的特征矩阵 ，则主振型方程为,代入振型方程可以得到与 对应的非零向量 称之为振型向量，它描绘了系统各质点的振动位移的一种形态，也称为主模态。,特征值,实际上，主振型也可采用伴随矩阵的方法进行求解。,又特征矩阵的逆
3、矩阵为,式中， 为特征矩阵 的伴随矩阵。,由于 ，所以 不存在，但,可见，特征向量 与伴随矩阵 的任意非零列向量成比例。,如果系统振动方程由位移形式给出，即 ，,假设方程的通解形式 ，得振型方程 。,令 ，也称为特征矩阵。,同理，解特征方程 ，得到特征根及对应的特征向量，从而求得固有频率及主振型。,而,综上所述，求振动系统的固有特性问题就是求系统的特征值问题。,对于由质量阵和刚度阵表达的力方程 ，,对于由质量阵和柔度阵表达的位移方程 ，,其中， 、 、 分别为动力矩阵、特征值、特征向量。,这里,这里,一般标准表达形式,行列式的迹,有,有,求图所示振动系统的动力矩阵、固有频率和主振型，画出振型图
4、。,例题4-6（教材例题4.10）,系统的振动微分方程：,动力矩阵,且,特征矩阵,整理后,将 代入振型方程，即,解上述方程得特征根,验证特征值,令 ，则 得到 ，所以,同理可得 和,画出振型图，如右图所示。,采用伴随矩阵 可得同样结果：,振型向量,思考1：,思考2：,如将上题中振系一端的弹簧都断开，结果如何？,如将上题中振系两端的弹簧都断开，结果又如何？,（2）固有特性的近似计算*（教材第五章 多自由系统固有特性的近似计算）,矩阵迭代法,可以求各阶固有频率及振型向量,即,举例 （教材P103 ）,取任意的初始归一化向量，,以此类推，直至相等。,同样道理，可以求得第二阶固有频率和振型，只是要先求
5、得清型矩阵，使得第二阶在迭代过程中起主导作用。,不妨取,如果把振型向量扩展成截断的振型矩阵，即 阶矩阵，上式仍然成立,子空间迭代法,适合求前几阶固有频率及振型向量,这里,取r个归一化的线性无关的n维向量，构成 阶矩阵，作为初始矩阵,用于估算系统的基频，且得到的基频量值总是大于实际值。,瑞利能量法,第一瑞利商,但要假设一个比较合理的振型。,多自由度系统的动能和势能,对于谐波振动，有,则,如果系统的柔度阵存在,第二瑞利商,由于振型向量总是可以表示为正则振型向量的线性组合，即,是非零常数列向量，可以由振型正交条件求出。,即,邓克莱法（也称迹法）,用于初步估算系统的基频，且得到的基频量值偏小。利用柔度
6、矩阵表示的特征方程。,因为,即,且,故有,则可近似地得到,传递矩阵法,适用于链式结构系统，利用质量和弹性单元传递矩阵构造系统传递矩阵。,单元的传递矩阵,例题4-7（教材例题5.7）,系统传递矩阵,边界条件,自由端：,固定端：,根据系统的传递关系，结合边界条件，可以得到关于频率的多项式方程，从而求得固有频率，进而得到振型向量。,用传递矩阵法，求图示系统的固有频率和主振型。,二、无阻尼多自由度系统的模态分析1、模态的正交性、主坐标和正则坐标2、无阻尼系统的自由振动模态分析3、无阻尼系统的受迫振动模态分析,讨论：,（1）主模态及其正交性,1、主模态的正交性、主坐标和正则坐标,求解上述方程，得到n个固
7、有频率（又称主频率）,和相应的n个主振型向量（又称主模态向量）,将各振型向量根据固有频率的大小顺序按列排列成一个方阵，组成主振型矩阵（又称主模态矩阵），即,可以证明，各阶主振型表现为关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。,取任意两阶主频率 和 及其对应的主振型 和 ，则由主振型方程得,( ),称为第i阶模态质量， 称为第i阶模态刚度。,因为 ，所以 ，则有,又知,故有,同样可以证明,如果存在一组同维线性无关的向量 ，则可以将它们作为一个坐标系下的一组基向量，组成一个向量空间。,根据模态的正交性，可以证明模态（振型）向量之间是线性无关的，即n自由度系统的n个模态组成n维向量空间的一组正交基。,因为不可
8、能存在一组不全为零的系数 ，使得成立。,于是n维向量空间的任意一个向量X都可以用这组坐标基来表示。以该正交基作为基底的坐标系称为模态坐标系或主坐标系Q。,即,（2）坐标变换、主坐标与正则坐标,称为给定正交基 下向量Q的坐标，,也称为主坐标或模态坐标。,上式即为模态坐标或主坐标Q下的运动微分方程。 根据模态向量的正交性，显然有,取模态矩阵 作为坐标变换矩阵，对以广义物理坐标X表示的无阻尼多自由度系统一般运动方程 进行坐标变换，即令 得到 。,用 左乘上式 ，得,同理,可见，在模态坐标或主坐标Q下，振动方程如下：,其中， 都是对角阵，分别称为模态质量阵和模态刚度阵 ，其对角元素分别即为模态质量和模
9、态刚度。,即,上述方程完全是解耦的，从而可以按照单自由度振动系统的方法求得在模态坐标或主坐标下的,再根据 求得在物理坐标下的 。,由于模态的不唯一性，也就是它具有确定的方向，但其长度是可以改变的。通常有两种方法确定模态向量的长度。,第一种方法是令 的第1个分量为单位值，即 ，其它分量也就确定了。,第二种方法是使各个模态质量等于单位值，将模态质量矩阵正则化为单位矩阵，即令 ，这样便于理论分析。,这说明，广义物理坐标向量X是系统各阶主振型向量 的线性组合。系统的运动就是各阶主振型按照一定比例的叠加，而各阶模态坐标 代表了第i阶主模态的权值，也即代表了第i阶主模态对运动的贡献。,正则化后的模态 构成
10、的正则模态矩阵记为 ，称为正则模态矩阵。,令 ，而 ，则,其中， 和 分别为第i阶正则模态或向量和正则化因子。,于是n维向量空间的任意一个向量X都可以用这组坐标基来表示。以该正交基作为基底的坐标系称为正则模态坐标系。,称为给定标准正交基 下向量Q的坐标，,称为正则模态坐标，简称正则坐标。,这时 ， 而,这里,故有,说明在正则坐标下的模态质量矩阵（称为正则质量矩阵） 为单位矩阵。,正则坐标下的模态刚度矩阵（称为正则刚度矩阵） 为对角元素是固有频率平方的对角矩阵。,即,可以证明：,所以，正则坐标下的运动方程为：,也即,其中,上述方程完全是解耦的，从而可以按照单自由度振动系统的方法求得在正则坐标系下的 。,再根据 求得在物理坐标下的 。,例题4-8（教材例题4.12）,根据 求正则化因子及正则模态矩阵,因此，正则模态质量矩阵和正则模态刚度矩阵分别为,
