1、8.4 直线、平面平行的判定与性质考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.直线与平面平行的判定与性质掌握2017江苏,15;2016江苏,16;2016四川,18;2015安徽,5;2015江苏,16;2013广东,6选择题解答题 2.平面与平面平行的判定与性质以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理,理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.理解以下性质定理,并能够证明.如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任
2、一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题掌握2016课标全国,14;2013江苏,16选择题解答题 分析解读 1.理解空间直线和平面位置关系的定义;了解直线和平面的位置关系;掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理.2.会运用直线与平面及平面与平面的位置关系,以及它们平行的判定定理和性质定理解决简单的应用问题与证明问题.3.推理和证明要严谨、合理、充分.4.高考对本节内容的考查,一般通过对图形或几何体的认识,考查线线平行、线面平行、面面平行之
3、间的转化思想,题型以解答题为主,分值约为 5分,属中档题.五年高考考点一 直线与平面平行的判定与性质1.(2015安徽,5,5 分)已知 m,n是两条不同直线, 是两个不同平面,则下列命题正确的是( )A.若 , 垂直于同一平面,则 与 平行B.若 m,n平行于同一平面,则 m与 n平行C.若 ,则在 内与 平行的直线D.若 m,n,则 m与 n垂直于同一平面答案 D2.(2017江苏,15,14 分)如图,在三棱锥 A-BCD中,ABAD,BCBD,平面 ABD平面 BCD,点 E,F(E与 A,D不重合)分别在棱 AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面 ABC;(2)ADAC.证明
4、 (1)在平面 ABD内,因为 ABAD,EFAD,所以 EFAB.又因为 EF平面 ABC,AB平面 ABC,所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD,平面 ABD平面 BCD=BD,BC平面 BCD,BCBD,所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD,所以 BCAD.又 ABAD,BCAB=B,AB平面 ABC,BC平面 ABC,所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC,所以 ADAC.3.(2016江苏,16,14 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,D,E 分别为 AB,BC的中点,点 F在侧棱 B1B上,且 B1DA 1F,A1C1A 1B1
5、.求证:(1)直线 DE平面 A1C1F;(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明 (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,A 1C1AC.在ABC 中,因为 D,E分别为 AB,BC的中点,所以 DEAC,于是 DEA 1C1.又因为 DE平面 A1C1F,A1C1平面 A1C1F,所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,A 1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1,所以 A1AA 1C1.又因为 A1C1A 1B1,A1A平面 ABB1A1,A1B1平面 ABB1A1,A1AA 1B1=A1,所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1
6、D平面 ABB1A1,所以 A1C1B 1D.又因为 B1DA 1F,A1C1平面 A1C1F,A1F平面 A1C1F,A1C1A 1F=A1,所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE,所以平面 B1DE平面 A1C1F.4.(2016四川,18,12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=AD,E 为棱 AD的中点,异面直线 PA与 CD所成的角为 90.(1)在平面 PAB内找一点 M,使得直线 CM平面 PBE,并说明理由;(2)若二面角 P-CD-A的大小为 45,求直线 PA与平面 PCE所成角的正弦值.解析 (1)在梯形
7、 ABCD中,AB 与 CD不平行.延长 AB,DC,相交于点 M(M平面 PAB),点 M即为所求的一个点.理由如下:由已知,BCED,且 BC=ED.所以四边形 BCDE是平行四边形.从而 CMEB.又 EB平面 PBE,CM平面 PBE,所以 CM平面 PBE.(说明:延长 AP至点 N,使得 AP=PN,则所找的点可以是直线 MN上任意一点)(2)解法一:由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以 CD平面 PAD.从而 CDPD.所以PDA 是二面角 P-CD-A的平面角.所以PDA=45.设 BC=1,则在 RtPAD 中,PA=AD=2.过点 A作 AHCE,交 CE的延长线
8、于点 H,连接 PH.易知 PA平面 ABCD,又 CE平面 ABCD,从而 PACE.于是 CE平面 PAH.所以平面 PCE平面 PAH.过 A作 AQPH 于 Q,则 AQ平面 PCE.所以APH 是 PA与平面 PCE所成的角.在 RtAEH 中,AEH=45,AE=1,所以 AH=.在 RtPAH 中,PH=,所以 sinAPH=.解法二:由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以 CD平面 PAD.于是 CDPD.从而PDA 是二面角 P-CD-A的平面角.所以PDA=45.由 PAAB,可得 PA平面 ABCD.设 BC=1,则在 RtPAD 中,PA=AD=2.作 AyAD
9、,以 A为原点,以,的方向分别为 x轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2).设平面 PCE的法向量为 n=(x,y,z),由得设 x=2,解得 n=(2,-2,1).设直线 PA与平面 PCE所成角为 ,则 sin =.所以直线 PA与平面 PCE所成角的正弦值为.教师用书专用(513)5.(2013广东,6,5 分)设 m,n是两条不同的直线, 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若 ,m,n,则 mnB.若 ,m,n,则 m
10、nC.若 mn,m,n,则 D.若 m,mn,n,则 答案 D6.(2013安徽,15,5 分)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,P为 BC的中点,Q 为线段 CC1上的动点,过点 A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). 当 0=.所以平面 FGH与平面 ACFD所成角(锐角)的大小为 60.解法二:作 HMAC 于点 M,作 MNGF 于点 N,连接 NH.由 FC平面 ABC,得 HMFC,又 FCAC=C,所以 HM平面 ACFD.因此 GFNH,所以MNH 即为所求的角.在BGC 中,MHBG,MH=BG=,由
11、GNMGCF,可得=,从而 MN=.由 HM平面 ACFD,MN平面 ACFD,得 HMMN,因此 tanMNH=,所以MNH=60.所以平面 FGH与平面 ACFD所成角(锐角)的大小为 60.8.(2015安徽,19,13 分)如图所示,在多面体 A1B1D1DCBA中,四边形 AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E 为 B1D1的中点,过 A1,D,E的平面交 CD1于 F.(1)证明:EFB 1C;(2)求二面角 E-A1D-B1的余弦值.解析 (1)证明:由正方形的性质可知 A1B1ABDC,且 A1B1=AB=DC,所以四边形 A1B1CD为平行四边形,从而 B1CA
12、1D,又 A1D面A1DE,B1C面 A1DE,于是 B1C面 A1DE.又 B1C面 B1CD1,面 A1DE面 B1CD1=EF,所以 EFB 1C.(2)因为四边形 AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,所以 AA1AB,AA 1AD,ABAD 且 AA1=AB=AD,以 A为原点,分别以,为 x轴,y 轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而 E点为 B1D1的中点,所以 E点的坐标为(0.5,0.5,1).设面 A1DE的法向量 n1=(
13、r1,s1,t1),而该面上向量=(0.5,0.5,0),=(0,1,-1),由 n1,n 1得 r1,s1,t1应满足的方程组(-1,1,1)为其一组解,所以可取 n1=(-1,1,1).设面 A1B1CD的法向量 n2=(r2,s2,t2),而该面上向量=(1,0,0),=(0,1,-1),由此同理可得 n2=(0,1,1).所以结合图形知二面角 E-A1D-B1的余弦值为=.评析 本题考查直线与直线的平行关系以及二面角的求解,考查空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能力.正确求解各点坐标以及平面法向量是解决问题的关键.9.(2015江苏,16,14 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B
14、1C1中,已知 ACBC,BC=CC 1,设 AB1的中点为 D,B1CBC 1=E.求证:(1)DE平面 AA1C1C;(2)BC1AB 1.证明 (1)由题意知,E 为 B1C的中点,又 D为 AB1的中点,因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C,AC平面 AA1C1C,所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC,所以 ACCC 1.又因为 ACBC,CC 1平面 BCC1B1,BC平面 BCC1B1,BCCC 1=C,所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1,所以 BC1AC
15、.因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1是正方形,因此 BC1B 1C.因为 AC,B1C平面 B1AC,ACB 1C=C,所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC,所以 BC1AB 1.10.(2015天津,17,13 分)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,侧棱 A1A底面 ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA 1=2,AD=CD=,且点 M和 N分别为 B1C和 D1D的中点.(1)求证:MN平面 ABCD;(2)求二面角 D1-AC-B1的正弦值;(3)设 E为棱 A1B1上的点.若直线 NE和平面 ABCD所成角的正弦值为,求线段 A1E的长.解析
16、如图,以 A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得 A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).又因为 M,N分别为 B1C和 D1D的中点,得 M,N(1,-2,1). (1)证明:依题意,可得 n=(0,0,1)为平面 ABCD的一个法向量.=.由此可得n=0,又因为直线 MN平面 ABCD,所以 MN平面 ABCD.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0).设 n1=(x,y,z)为平面 ACD1的法向量,则即不妨设 z=1,可得 n1=(0,1,1).设 n2=(x,y,z)
17、为平面 ACB1的法向量,则又=(0,1,2),得不妨设 z=1,可得 n2=(0,-2,1).因此有 cos=-,于是 sin=.所以,二面角 D1-AC-B1的正弦值为.(3)依题意,可设=,其中 0,1,则 E(0,2),从而=(-1,+2,1).又 n=(0,0,1)为平面 ABCD的一个法向量,由已知,得cos=,整理得 2+4-3=0,又因为 0,1,解得 =-2.所以,线段 A1E的长为-2.11.(2014课标,18,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为矩形,PA平面 ABCD,E为 PD的中点.(1)证明:PB平面 AEC;(2)设二面角 D-AE-C为
18、60,AP=1,AD=,求三棱锥 E-ACD的体积.解析 (1)证明:连接 BD交 AC于点 O,连接 EO.因为 ABCD为矩形,所以 O为 BD的中点.又 E为 PD的中点,所以 EOPB.又 EO平面 AEC,PB平面 AEC,所以 PB平面 AEC.(2)因为 PA平面 ABCD,ABCD为矩形,所以 AB,AD,AP两两垂直.如图,以 A为坐标原点,的方向为 x轴的正方向,|为单位长,建立空间直角坐标系 A-xyz,则 D(0,0),E,=.设 B(m,0,0)(m0),则 C(m,0),=(m,0).设 n1=(x,y,z)为平面 ACE的法向量,则即可取 n1=.又 n2=(1,
19、0,0)为平面 DAE的法向量,由题设得|cos|=,即=,解得 m=.因为 E为 PD的中点,所以三棱锥 E-ACD的高为.三棱锥 E-ACD的体积 V=.12.(2014湖北,19,12 分)如图,在棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N 分别是棱 AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点 P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且 DP=BQ=(0=.因为二面角 D-GH-E为钝角,所以二面角 D-GH-E的余弦值为-.考点二 平面与平面平行的判定与性质1.(2016课标全国,14,5 分), 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题:如果 mn,m,n,那么
20、 .如果 m,n,那么 mn.如果 ,m,那么 m.如果 mn,那么 m与 所成的角和 n与 所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 答案 2.(2013江苏,16,14 分)如图,在三棱锥 S-ABC中,平面 SAB平面 SBC,ABBC,AS=AB.过 A作 AFSB,垂足为 F,点 E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面 EFG平面 ABC;(2)BCSA.证明 (1)因为 AS=AB,AFSB,垂足为 F,所以 F是 SB的中点.又因为 E是 SA的中点,所以 EFAB.因为 EF平面 ABC,AB平面 ABC,所以 EF平面 ABC.同理 EG平面 A
21、BC.又 EFEG=E,所以平面 EFG平面 ABC.(2)因为平面 SAB平面 SBC,且交线为 SB,又 AF平面 SAB,AFSB,所以 AF平面 SBC,因为 BC平面 SBC,所以 AFBC.又因为 ABBC,AFAB=A,AF,AB平面 SAB,所以 BC平面 SAB.因为 SA平面 SAB,所以 BCSA.三年模拟A组 20162018 年模拟基础题组考点一 直线与平面平行的判定与性质1.(人教 A必 2,二,2-2A,3,变式)如图,在四面体 ABCD中,若截面 PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为( )A.ACBDB.AC=BDC.AC截面 PQMND.异面直线 PM与
22、 BD所成的角为 45答案 B2.(2018江苏无锡模拟,18)如图,在四面体 PABC中,已知 PA平面 ABC,PA=AC,ACB=90,D 为 PC的中点.(1)求证:ADBD;(2)若 M为 PB的中点,点 N在直线 AB上,且 ANNB=12,求证:直线 AD平面 CMN.证明 (1)PA=AC,D 为 PC的中点,ADPC.PA平面 ABC,BC平面 ABC,PABC.ACB=90,BCAC,又 PAAC=A,PA,AC平面 PAC,BC平面 PAC.AD 平面 PAC,BCAD.又ADPC,BCPC=C,PC,BC平面 PBC,AD平面 PBC.BD平面 PBC,ADBD.(2)
23、连接 DM,设 BD与 CM交于点 G,连接 NG.D、M 分别为 PC和 PB的中点,DMBC 且 DM=BC,DGGB=DMBC=12.ANNB=12,ANNB=DG GB.BNGBAD,ADNG.AD 平面 CMN,NG平面 CMN,直线 AD平面 CMN.3.(2017广东六校联盟联考,19)如图,在三棱锥 P-ABC中,PA平面 ABC,底面 ABC是直角三角形,PA=AB=BC=4,O 是棱 AC的中点,G是AOB 的重心,D 是 PA的中点.(1)求证:BC平面 PAB;(2)求证:DG平面 PBC;(3)求二面角 A-PC-B的大小.解析 (1)证明:PA平面 ABC,PABC
24、,底面 ABC是直角三角形,AB=BC,BCAB,又PAAB=A,BC平面 PAB.(2)证明:如图,连接 OG并延长交 AB于点 E,连接 DO,DE,G 是AOB 的重心,OE 为 AB边上的中线,E 为 AB的中点,又 D为 PA的中点,DEPB,同理可得 DOPC,又 DEDO=D,PBPC=P,平面 DOE平面 PBC,又 DG平面 DOE,DG平面 PBC.(3)过点 O作 OQPC 于点 Q,连接 BQ,AB=BC 且 O是棱 AC的中点,BOAC.PA平面 ABC,平面 PAC平面 ABC.又平面 PAC平面 ABC=AC,且 BO平面 ABC,BO平面 PAC,BOPC,又
25、OQPC,BOOQ=O,PC平面 BOQ,BQPC,OQB 为二面角 A-PC-B的平面角.由已知得 OB=OC=2,PC=4,PACOQC,=,即=,OQ=,tanOQB=,OQB=60,即二面角 A-PC-B的大小为 60.考点二 平面与平面平行的判定与性质4.(2017豫西五校 4月联考,6)已知 m,n,l1,l2表示不同直线,、 表示不同平面,若 m,n,l 1,l 2,l 1l 2=M,则 的一个充分条件是( )A.m 且 l1 B.m 且 nC.m 且 nl 2 D.ml 1且 nl 2答案 D5.(2017江西九江模拟,19)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA 1底面
26、 ABC,ABAC,AC=AA 1,E、F 分别是棱 BC、CC 1的中点.(1)若线段 AC上的点 D满足平面 DEF平面 ABC1,试确定点 D的位置,并说明理由;(2)证明:EFA 1C.解析 (1)面 DEF面 ABC1,面 ABC面 DEF=DE,面 ABC面 ABC1=AB,ABDE,(4 分)在ABC 中,E 是 BC的中点,D 是线段 AC的中点.(6 分)(2)证明:在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AC=AA 1,侧面 A1ACC1是菱形,A 1CAC 1,(7分)又易得 ABA 1C,ABAC 1=A,A 1C面 ABC1,(9分)A 1CBC 1.(10分)又E、F 分
27、别为棱 BC、CC 1的中点,EFBC 1,(11分)EFA 1C.(12分)B组 20162018 年模拟提升题组(满分:60 分 时间:60 分钟)一、选择题(共 5分)1.(2016浙江金华十校联考,8)如图,在四面体 ABCD中,AB=CD=2,AD=BD=3,AC=BC=4,点 E,F,G,H分别在棱 AD,BD,BC,AC上,若直线AB,CD都平行于平面 EFGH,则四边形 EFGH面积的最大值是( )A. B. C.1 D.2答案 C二、填空题(共 5分)2.(2017山西太原五中月考,14)过三棱柱 ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1平行的直
28、线共有_ 条. 答案 6三、解答题(共 50分)3.(2018江苏无锡检测,18)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面 ABCD为等腰梯形,ADBC,AD=2AB=2BC,M 为 AD的中点,CB 1底面 ABCD.求证:(1)C1M平面 A1ABB1;(2)平面 B1BM平面 ACB1.证明 (1)因为 ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,所以 B1C1BC 且 B1C1=BC.又 M为 AD的中点,所以 BCAM,所以 B1C1AM,又 AD=2BC,所以 BC=AM,所以 B1C1=AM,所以四边形 B1C1MA为平行四边形,所以 C1MB 1A,又 B1A平面 A1ABB
29、1,C1M平面 A1ABB1,所以 C1M平面 A1ABB1.(2)连接 CM.由(1)知四边形 BCMA为平行四边形,又 BC=AB,所以 AM=AB,所以四边形 BCMA为菱形,所以 BMAC,又 CB1底面 ABCD,所以 CB1BM.因为 ACCB 1=C,所以 BM平面 ACB1.又 BM平面 B1BM,所以平面 B1BM平面 ACB1.4.(2018安徽合肥一中模拟,18)如图,四棱锥 P-ABCD中,E 为 AD的中点,PE平面 ABCD,底面 ABCD为梯形,ABCD,AB=2DC=2,ACBD=F,且PAD 与ABD 均为正三角形,G 为PAD 的重心.(1)求证:GF平面
30、PDC;(2)求三棱锥 G-PCD的体积.解析 (1)证明:连接 AG交 PD于 H,连接 CH.在梯形 ABCD中,ABCD,且 AB=2DC,可得=.又正PAD 中,G 为PAD 的重心,=.在AHC 中,=,故 GFHC.又 HC平面 PCD,GF平面 PCD,GF平面 PDC.(2)PE平面 ABCD,且易求 PE=3,又由(1)知 GF平面 PDC,V G-PCD=VF-PCD=VP-CDF=PESCDF .又由 ABCD,且 AB=2DC=2,ABD 为正三角形,知 DF=BD=.又CDF=ABD=60,S CDF =CDDFsinBDC=,V P-CDF=PESCDF =,三棱锥
31、 G-PCD的体积为.5.(2018山西太原质检,19)如图,四边形 ABCD中,ABAD,ADBC,AD=6,BC=2AB=4,E,F 分别在 BC,AD上,EFAB,现将四边形 ABCD沿 EF折起,使 BEEC.(1)若 BE=1,在折叠后的线段 AD上是否存在一点 P,使得 CP平面 ABEF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;(2)求三棱锥 A-CDF的体积的最大值,并求出此时点 F到平面 ACD的距离.解析 (1)AD 上存在一点 P,使得 CP平面 ABEF,此时=.理由如下:当=时,=,过点 P作 MPFD 交 AF于点 M,连接 EM,CP,则有=.BE=1,FD=5,故
32、 MP=3.又 EC=3,MPFDEC,故有 MP EC,故四边形 MPCE为平行四边形,CPME.又CP平面 ABEF,ME平面 ABEF,故 CP平面 ABEF.(2)设 BE=x(0=,易知二面角 M-AB-F是锐二面角,故二面角 M-AB-F的余弦值为.(12 分)C组 20162018 年模拟方法题组方法 1 证明直线与平面平行的常用方法1.(2018湖北武汉汉阳一中模拟,19)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面ABC 是等边三角形,且 AA1平面 ABC,D为 AB的中点.(1)求证:直线 BC1平面 A1CD;(2)若 AB=BB1=2,E是 BB1的中点,求三棱锥 A
33、1-CDE的体积.解析 (1)证明:连接 AC1,交 A1C于点 F,连接 DF,则 F为 AC1的中点,又 D为 AB的中点,所以 BC1DF.又 BC1平面 A1CD,DF平面 A1CD,所以 BC1平面 A1CD.(2)三棱锥 A1-CDE的体积=h.其中三棱锥 C-A1DE的高 h等于点 C到平面 ABB1A1的距离,可知 h=CD=.又=22-12-11-12=,所以=h=.2.(2017河南新乡调研,19)如图所示,四边形 ABCD为等腰梯形,ADBC,且 AD=BC=a,BAD=135,AEBC 于点 E,F为 BE的中点.将ABE 沿 AE折起至ABE 的位置,得到如图所示的四
34、棱锥 B-ADCE.(1)求证:AF平面 BCD;(2)若平面 ABE平面 AECD,求二面角 B-CD-E的余弦值.解析 (1)证明:如图,取 BC的中点 G,连接 FG,DG.F 为 BE的中点,FGEC,且 FG=EC,(2分)题图中四边形 ABCD为等腰梯形,ADBC,且 AD=BC=a,AEBC,BAD=135,BC=3a,ADEC,AD=EC.ADFG,AD=FG,四边形 ADGF为平行四边形,AFDG,(5 分)AF 平面 BCD,DG平面 BCD,AF平面 BCD.(6分)(2)易证 EA,EB,EC两两垂直,故以点 E为原点,直线 EB为 x轴,直线 EC为 y轴,直线 EA
35、为 z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(a,0,0),D(0,a,a),C(0,2a,0),所以=(-a,2a,0),=(0,-a,a),设平面 BCD的法向量为 n=(x,y,z),则令 z=1,得 n=(2,1,1),(10分)显然=(a,0,0)为平面 AECD的一个法向量,所以 cos=,(11分)由图知平面 BCD与平面 AECD所成的二面角为锐角,所以所求的余弦值为.(12 分)方法 2 证明平面与平面平行的常用方法3.(2018安徽合肥一中模拟,18)如图,四边形 ABCD与 ADEF均为平行四边形,M,N,G 分别是 AB,AD,EF的中点.(1)求证:BE平面 DMF;
36、(2)求证:平面 BDE平面 MNG.证明 (1)如图,连接 AE,则 AE必过 DF与 GN的交点 O,连接 MO,则 MO为ABE 的中位线,所以 BEMO,又 BE平面 DMF,MO平面 DMF,所以 BE平面 DMF.(2)因为 N,G分别为平行四边形 ADEF的边 AD,EF的中点,所以 DEGN.又 DE平面 MNG,GN平面 MNG,所以 DE平面 MNG.又 M为 AB的中点,所以 MN为ABD 的中位线,所以 BDMN,又 BD平面 MNG,MN平面 MNG,所以 BD平面 MNG,又 DE与 BD为平面 BDE内的两条相交直线,所以平面 BDE平面 MNG.4.(2017河
37、南中原名校联考,20)如图,在矩形 ABCD中,AB=1,AD=a,PA平面 ABCD,且 PA=1,E,F分别为 AD,PA的中点,在 BC上有且只有一个点 Q,使得 PQQD.(1)求证:平面 BEF平面 PDQ;(2)求二面角 E-BF-Q的余弦值.解析 (1)证明:如图,以点 A为原点,分别以,的方向为 x轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),P(0,0,1),设 Q(1,x,0),则=(1,x,-1),=(-1,a-x,0),(2 分)若 PQQD,则=-1+x(a-x)=0,即 x2-ax+1=0,=(
38、-a) 2-4,在 BC上有且只有一个点 Q,使得 PQQD,=0,a=2,x=1.(4 分)Q(1,1,0),=(-1,1,0),又 E是 AD的中点,E(0,1,0),=(-1,1,0),=,BEDQ,又 BE平面 PDQ,DQ平面 PDQ,BE平面 PDQ,又 F是 PA的中点,EFPD,EF 平面 PDQ,PD平面 PDQ,EF平面 PDQ,BEEF=E,BE,EF平面 PDQ,平面 BEF平面 PDQ.(6分)(2)设平面 BFQ的法向量 n1=(x,y,z),则 n1=0,n1=0,易知=,=(0,1,0),-x+z=0,y=0,取 z=2,得 n1=(1,0,2),同理,可得平面 BEF的一个法向量 n2=(1,1,2),cos=,又易知二面角 E-BF-Q为锐角,二面角 E-BF-Q的余弦值为.(12 分)
