1、学优中考网 21.1 二次根式学习目标、重点、难点【学习目标】1、 理解二次根式的概念，并利用 （a0）的意义解答具体题目.2、 理解 （a0）是一个非负数和（ ） 2=a（a 0 ），并利用它们进行计算和化简.【重点难点】1、 二次根式的性质.2、 能确定二次根式中字母的取值范围.知识概览图（ ） 2=a（a0）a来源:xyzkw.Com新课导引如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电视节目的区域就越广如果电视塔高 h km，电视节目信号的传播半径为 r km，则它们之间存在近似关系式， r= ，其中 R 是地球2半径，R 6400 km若某个电视塔高为 200
2、 km，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少?【问题探究】 因为 R6400 km，h200 km，所以求传播半径 r，实际上就是求的值，即求 的值怎么求 的值呢?264025602560【解析】因为 160022560000，所以 1600所以 r =1600(km)教材精华二次根式的性质二次根式的有关概念 二次根式：一般地，形如 的式子叫做二次根式(0)a代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式二次根式 二次根式的双重非负性()()被开方数 a 非负，即 a0 本身非负，即 0二次根式的有关公式22(0)a 学优中考网 知识点 1 二次根式的概念一般地，我们把形如
3、 (a 0)的式子叫做二次根式其中 “ ”读作“ 二次根号”拓展 (1)二次根式必须含有二次根号 “ ”如 ， 等都有“ ”，虽然316=4，但是 4 是二次根式 的计算结果，因此 ， ， ， 等也都是1616162.49二次根式.(2)二次根式中的被开方数 a 既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证 有意义，即 a0，也就是说，被开方数必须是非负数例如： ，因为无论 a 2aa 取什么实数，都有 a20，所以 是二次根式而 ， 都不是二次221xx根式，因为它们虽然都有“ ”，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“ ”，而
4、且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围(3)“ ”的根指数为 2，即“ ”，我们常省略根指数 2，写作“ ”，不要误把“ ”的根指数当做 0如 就不是二次根式，因为它的根指数是 33(4)有理数(不是 0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如： 与 相乘，要写成25的形式，此时的有理数称为二次根式的系数.853知识点 2 确定二次根式中字母的取值范围要使 有意义，被开方数 a 就必须是非负数，即 a0，由此可以确定被开方数中字a母的取值范围，如 ，只有当 2x+10，即 x 时，二
5、次根式 才有意义. 1x1221x再如，对于式子 来说，只有当 即-1x3 时，二次根式才有意义. 3,拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.学优中考网 知识点 3 二次根式的性质二次根式的双重非负性: 0，a0，因为 （a0）表示非负数 a 的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知 0，如 ， 等都是非负数.32（ )2=a（a0）. 由于 （a0）表示非负数 a 和算术平方根，将非负数 a 的算术平方根平方，就等于它本身 a，因此有（ )2=a，例如：（ )2=3，（ )2=6，（36)2=1.5. 1.5拓展 （1）
6、（ )2=a（a0），可以看做是系数为 1 的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.（2）把（ )2=a（a0）逆用，写成 a=（ )2（a0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x 2-2 在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2 可以写成（ )2，所以 x2-2=x2-（ )2=（x+ ）（x - ）.2（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：（3 )2=32（ )2=92=18. （ )2=（ )2（ )2= 6= 等，则用到了积166143的乘方法则（ab) 2=a2b2.知识点 4
7、的化简2由于 表示 a2 的算术平方根，所以 的化简结果必须是个非负数. 而当 有2a2a意义时 a2（a0），这里 a 可以正，可以负，也可以是 0. 为了保证 的化简结果非负，2a所以在化简结果中添加绝对值符号，即 ，然后再根据 a 的符号化简绝对值. 比如：2. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如2(5). 如果 中 a 的符号不确定，那么要讨论 . 即 =2()2 2a(0),.拓展 （ )2 与 的区别与联系，如下表所示：a学优中考网 （ )2a 2a字母 a的取值范围来源:学优中考网 xyzkw不同被开方数 a 的取值范围为 a0，即 a 是一个非负数，且（ )
8、2=a. 例如：， ， 无意2()(2()义被开方数 a2 中的 a 可取一切实数，也就是说，a 既可以是正数，也可以是负数，还可以是零. = 例如当 a=3 时，2(0),.，当 a=-3 时232(3)意义不同 （ )2=a（a0）表示 a 的算术平方根的平方. 例如 表示 5 的算2()术平方根的平方，结果等于 5表示 a 的平方的算术平方根. 例如：表示 3 的平方的算术平方根，29结果等于 3形式不同 （a 0），其结果只有一种2()形式，就是非负数 a 本身，其结果有两种形式，与 a 的取值2a有关，当 a0 时， ，当 a0 时，22（a 0）是一个非负数2()0 是一个非负数来
9、源:学优中考网来源:学优中考网 xyzkw联系来源:学优中考网来源:学优中考网 xyzkw来源:学优中考网xyzkw当 a0 时， 2()知识点 5 代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，a，a+b，ab ， (t0)，x 3， ， 等都是代数式. s213(3)xx拓展 代数式中不含有“” “ ” “”等符号，只有运算符号 .课堂检测基本概念题1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（1） ； （2） ；32(3)学优中考网 （3） ； （4） ；3()37（5） ； （6）
10、；x（7） ； （8） ；21a21(3)x（9） ； （10）2(4) .m基础知识应用题2、当 x 取何值时，下列各式有意义？（1） ； （2） ；32x（3） ； （4） ；2()x 13x（5） ； （6） ；42（7） ； （8） . 12x 1a3、实数 a，b 在数轴上的位置如图 21-1 所示，化简 . 22()aba图 21-1学优中考网 综合应用题4、（1）三角形的高是底的 ，底为 xcm，则这个三角形的面积是 cm2;12（2）第一圆的半径是第二个圆的半径的 4 倍，则这两个圆的周长之和是 （设第一个圆的半径为 r）. 探索创新题5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求
11、值 211,.5a其 中甲同学的做法是：原式 211249()10.5aa=乙同学的做法是：原式 2().aa谁的做法是正确的？说明理由.体验中考1、若代数式 有意义，则 x 的取值范围是（ ）12xA. x1 且 x2 B. x1C. x2 D. x1 且 x22、若 x，y 为实数，且 ，则（xy） 2010 的值为 .230x学后反思学优中考网 附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号“ ”；二是看被开方数是否是非负数. 解：（1）-30， 不是二次根式 . 3（2）(-3) 2 0， 是二次根
12、式. 2()（3）(-3) 3=-270， 不是二次根式. 3（4） 的根指数 3， 不是二次根式. 77（5）由于 中的- x 的符号不能确定，因此应分两种情况讨论. 当 x0 时， 是二次根式；当 x0 时， 不是二次根式. x 不一定是二次根式 . （6） 的根指是 4， 不是二次根式. 4（7）-2a 20，-2a 2-10， 不是二次根式. 21a（8）(x+3) 20，当分母 x+3=0 时，原式没有意义，当 x-3 时， 是二次根式. 21(3) 不一定是二次根式. 2()（9）-(a-4) 20，只有当 a-4=0，即 a=4 时， 是二次根式；2(4)a当 a4 时，-(a-
13、4) 20， 不是二次根式. 2(4)综上， 不一定是二次根式. (4)（10）m 2+2m+1=(m+1)20， 是二次根式. 21m【解题策略】 本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有学优中考网 字母时，应考虑字母的取值范围，即二次根式 中的 a 必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的. 2、分析 本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母. 解：（1）欲使 有意义，则必有 . 3x30x ， ,当
14、x=0 时， 有意义. （2）欲使 有意义，则必有 ，且 x-2. 2x20x ， ,当 x0，且 x-2 时， 有意义. x（3）(x-1) 20，无论 x 取何实数， 都有意义 . 2(1)（4）欲使 有意义，则必有 2-3x0，x . 133当 x 时， 有意义 . 2x（5）欲使 有意义，则必有 ，且 x2. 4240x ， -2,当 x-2 ，且 x2 时， 有意义. 2（6）欲使 有意义，则必有 . 23230xx ， ,当 x3 时， 有意义. 23（7）欲使 有意义，则必有 ，且 x-1. 11201x ， ,当 x ，且 x-1 时， 有意义. 21学优中考网 （8）欲使 有
15、意义，则必有 ，且 a-1. 21a201a ， 2,当 a2，且 a-1 时， 有意义. 【解题策略】 本例中的（2）及（4）（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）小题中，由 x-30，得 x3，由 x2-30，得 x ，而 均不在 x3 的范围内，3所以只需满足 x3 即可. （7）小题中，由 1-2x0，得 x ，由 0，得 x1，只12有 x=-1 在 x 的范围内，而 x=1 不在 x 的范围内，所以只需满足 x ，且 x-1 即121212可.3、分析 本题考查二次根式的性质，利用公式 将形如 的式子化简. 2aa解：由数轴可知 a0，b0，a-b0， = =- = =2
16、2()b()bb.b【解题策略】 解决此题的关键是牢记并理解公式 =2a(0),.a 4、分析 由面积公式或周长公式写出代数式即可. （1）底为 xcm，则高为 cm，所2x以三角形的面积为 （cm 2）. （2）因为第一个圆的半径为 r，所以第二个圆的124x半径为 ，所以这两个圆的周长之和为 . 4r 54rA答案：（1） （2）x5r5、分析 本题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为 ，所以 ，所以15aa211().aa=解：甲同学的做法是正确的，理由如下： 221() .5aaa ， 且 ， 即 5学优中考网 11,0,.aa -乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了 与 的大小关系，导致错误.1【解题策略】利用 进行化简时， 的条件不能忽略，否则2a0a 2.a体验中考1、分析 本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意义的条件（即分母0），由题意知 故选 D.12.20,xx 且 2、分析 本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由 知30yx20，且 y30，所以 x2，y3，所以(xy) 2010（23） 20101 20101.故填1.学优中考网 学+优中) 考，网 学优中考网 学优中考 ，网
