1、28.2.5 用解直角三角形解方位角、坡角的应用一、新课导入1.课题导入情景：如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 n mile的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？问题：怎样由方向角确定三角形的内角？2.学习目标（1）能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.（2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.3.学习重、难点重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题.难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模
2、）. 二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材 P76 例 5.（2）自学时间：10 分钟.（3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题过程.（4）自学参考提纲：如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 海里的 A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？( 结果取整数，参考数据：cos25 0.91，sin250.42，tan250.47，sin340.56，cos340.83，tan34 0.67）a.根据已知在图中标出方向角：如图所示.b.根据方向角得到三角
3、形的内角：在PAB 中，海轮沿正南方向航行，A= 65 ，B= 34 ，PA= 80 .c.作高构造直角三角形：如图所示.d.写出解答过程：在 Rt APC 中，PC=PA cos(90-65)=80cos2572.505（n mile ）.在 Rt BPC 中，B=34,PB= 130（n mile）.7250sini34.PCB如图，海中有一个小岛 A，它周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60的方向上，又继续航行 12 海里到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？解：过 A
4、作 AEBD 于 E.由题意知：ABE=30 ,ADE=60. BAD=60 -30=30=ABD.AD=BD=12.AE=ADsin60=12 = (海里)8 海里.326无触礁的危险.2.自学：结合自学指导进行自学. 3.助学（1）师助生：明了学情：观察学生自学提纲的答题情况.差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.（2）生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化：利用解直角三角形的知识解方向角问题的一般思路.来源:学优高考网1.自学指导（1）自学内容：教材 P77.（2）自学时间：5 分钟.（3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路，然后对照课本
5、P77 的内容归纳，进行反思总结 .来源:gkstk.Com（4）自学参考提纲：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案.练习：如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面坡度 i=11.5 是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽度 BF 的比，斜面坡度 i=13 是指 DE 与 CE 的比，根据图中数据，求：a.坡角 和 的度数；b.斜坡 AB 的长(结果保留小数点后一位).2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：来源:学优高考网明了学情：
6、明了学生解答问题的情况.差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：小组内互相交流、研讨.4.强化（1）坡度、坡角的含义及其关系，梯形问题的解题方法.（2）在自学参考提纲第题中，若补充条件“坝顶宽 AD=4 m”，你能求出坝底 BC 的长吗？（3）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：三、评价1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和方法？2.教师对学生的评价：来源:gkstk.Com（1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时应先认知“方向角”“坡度”及
7、其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开，步步深入.一、基础巩固（70 分）1.(10 分 )已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西 40，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D）A.南偏东 50 B.南偏东 40 C.北偏东 50D.北偏东 402.(10 分 )如图，某村准备在坡度为 i=11.5 的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为 5 m，则这两棵树在坡面上的距离 AB 为 m（结果513保留根号）3.（10 分）在菱形 ABCD 中，AB=13，锐角 B 的正弦值 sinB= ，则这个
8、513菱形的面积为 65 .4.(20 分 )为方便行人横过马路，打算修建一座高 5 m 的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为 11.5，计算斜坡 AB 的长度(结果取整数 ). 来源:学优高考网 gkstk解：i= ,AC=5,BC=1.55=7.5.5.ACBAB= 9(m).2812.5.(20 分 )一轮船原在 A 处，它的北偏东 45方向上有一灯塔 P，轮船沿着北偏西 30方向航行 4 h 到达 B 处，这时灯塔 P 正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为 25 n mile/h，求轮船在 B 处时与灯塔的距离（结果可保留根号）.解：过点 A 作 ACBP 于点 C.由题意知：BAC=
9、30,CAP=45, AB=254=100.在 Rt ABC 中，BC= AB=50，AC= AB=50 .1232在 Rt ACP 中，CP=AC=50 .BP=BC+CP=50( +1)(n mile).3二、综合应用（20 分）6.(20 分 )某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算 AC,BD 和 AB的长度（结果保留小数点后两位）. 解：如图所示，在 RtBDE 中，BE=5.00，DBE=30,DE=BEtan30 = ,BD= 5.77(m).53103cosBE在 Rt ACF 中，CF=BE=5.00,FCA= ,45AF=CF=5.00,AC= CF=5 7.07(
10、m).2AB=BF-AF=DE+CD-AF= +3.40-5.001.29(m).3三、拓展延伸（10 分）7.(10 分 )海中有一小岛 P，在以 P 为圆心、半径为 162 n mile 的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在 A 处时测得小岛 P 位于北偏东 60方向上,且 A，P 之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自 A 处开始至少沿东偏南多少度的方向航行 ,才能安全通过这一海域? 解：如图，PAB=30,AP=32.PB= AP=16(n mile).12PB 16 n mile.轮船有触礁危险.2假设轮船沿东偏南 恰好能安全通过，此时航线 AC 与P 相切，即PC AC.又AP=32， PC=16 ,PAC=45,=15.2轮船自 A 处开始至少沿东偏南 15 度方向航行,才能安全通过这一海域.
