1、21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学内容本节课主要学习用公式法解一元二次方程。教学目标知识技能掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程数学思考通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性解决问题培养学生准确快速的计算能力情感态度通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想重难点、关键重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解关键：掌握一元二次方程的求根公式， 并应用求根公式法解简单的一元二次方程教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备
2、：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、 复习引入【问题】 （学生总结，老师点评）1.用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=522总结用配方法解一元二次方程的步骤。（1）移项；（2）化二次项系数为 1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m） 2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解【活动方略】来源:学优高考网 gkstk教师演示课件，给出题目学生根据所学知识解答问题【设计意图】复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫二、 探索新知如果这个一元二次方程
3、是一般形式 ax2+bx+c=0（a 0） ，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题【问题】已知 ax2+bx+c=0（a0）且 b2-4ac0，试推导它的两个根为x1= 4bc，x 2= 4ac分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为 1，得 x2+ bax=-配方，得：x 2+ x+（ ） 2=- +（ ） 2即（x+ ba） 2= 24cb 2-4ac0 且 4a20 2c0直接开平方，得：x + 2ba=24c即 x=24bacx 1=
4、2，x 2=24bac【说明】这里 acbx24 （ 042acb）是一元二次方程的求根公式【活动方略】鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式【设计意图】创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。【思考】利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？（1） 230;x（2）（3） 24x来源:学优高考网 gkstk【活动方略】在教师的引导下，学生回答，教师板书引导学生总结步骤：确定 cba,的值、算出 acb42的值、代入求根公式求解在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：（1）一元二次方程 )
5、0(2x的根是由一元二次方程的系数 cba,确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在 042的前提下，把 cba,的值代入 acbx24 （ 042acb）中，可求得方程的两个根；（3）我们把公式 acbx24（ 02ac）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根【设计意图】主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式三、 反馈练习教材 P16 练习题补充习题：用公式法解下列方程来源:学优高考网（1）x 2-5x-6=0 （2）7x 2+2x-1=0 （3）3x 2-5
6、x+2=0（4）5x 2+2x-6=0 （5）4x 2-7x+2=0 （6）2x 2- 1x- 3=0【活动方略】学生独立思考、独立解题教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）来源:gkstk.Com【设计意图】检查学生对知识的掌握情况.四、 应用拓展例：某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1 ） 2mx+（m -2）x-1=0 提出了下列问题（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程（2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出你能解决这个问题吗？分析：能 （1）要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，同
7、时还要满足（m+1）0 （2）要使它为一元一次方程，必须满足:21()0m或210或 102解：（1）存在根据题意，得：m 2+1=2m2=1 m=1当 m=1 时，m+1=1+1=20来源:学优高考网当 m=-1 时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）当 m=1 时，方程为 2x2-1-x=0a=2， b=-1，c=-1b2-4ac=（-1） 2-42（-1）=1+8=9x= (1)934x1=1，x 2=-因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x 2=- （2）存在根据题意，得：m 2+1=1，m 2=0，m =0因为当 m=0 时， （m+1）+（m-2）=2 m-1=-10所以 m=0 满足题意当 m2+1=0，m 不存在当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-30所以 m=-1 也满足题意当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0，解得：x =-1当 m=-1 时，一元一次方程是-3x-1=0解得 x=- 13因此，当 m=0 或-1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1；当 m=-1 时，其一元一次方程的根为 x=- 13【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论学生活动：合作交流，讨论解答。【设计意图】使学生应用方程有关的知识解题，进一步掌握公式法。作业
