1、 【基础知识】 一般地，如果已知p q，那么就说：p 是q的充分条件；q是p 的必要条件。 可分为四类：（1）充分不必要条件，即 pq,而 q p；(2)必要不充分条件，即 p q,而 q p；(3) 既充分又必要条件，即p q，又有 qp；(4)既不充分也不必要条件，即 p q，又有q p。 一般地，如果既有p q，又有 qp，就记作：p q.“ ”叫做等价符号。p q表示pq 且q p。 这时p 既是 q的充分条件，又是 q的必要条件，则 p 是 q的充分必要条件，简称充要条件。 【典型例题】 例 1直线 l：ykx1 与圆 O：x 2 y 2 1 相交于 A，B 两点，则“k1”是“OA
2、B 的面积为 1 2 ” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 考点：1、点到直线距离公式及勾股定理；2、充分条件与必要条件的定义及三角形面积公式. 例 2已知 , abc 是实数且 0 a ，则“ 0 b a 且 0 c a ”是“方程 2 0 ax bx c 有两正根” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：由方程 2 0 ax bx c 有两正根可知 2 12 12 40 0 0 b ac b xx a c xx a ，因此可得
3、0 b a 且 0 c a ，所以 “ 0 b a 且 0 c a ”是“方程 2 0 ax bx c 有两正根” 的必要而不充分条件 考点：充分条件与必要条件 例3 ABC 中， 1 tan A 是 4 A 的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析： 2 4 1 tan A A ，所以 1 tan A 是 4 A 的充分不必要条件.故选 A. 考点：充分条件、必要条件. 例4若a，b为实数，则“0ab1”是“ 1 b a ”的（ ）条件 A充分而不必要 B必要而不充分 C充分必要 D既不充分也不必要
4、【答案】D 【解析】 考点：充要条件的判定 例 5命题 p ：“ 1 b a ”；命题 q ：“对任意的 R x ，不等式 1 cos sin x b x a 恒成立”，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：在平面直角坐标系 aOb 中， p 表示的是正方形， q 表示的是单位圆，如下图所示，故 p 是 q 的充分不必要条件. 考点：充要条件. 【方法技巧】 充要关系的几种判断方法 (1)定义法：若 , p q q p ，则 p 是 q 的充分而不必要条件；若 , p q q p ，则 p 是 q 的必
5、 要而不充分条件；若 , p q q p ，则 p 是 q 的充要条件； 若 , p q q p ，则 p 是 q 的既不充分 也不必要条件。 (2)等价法：即利用 pq 与 qp ； qp 与 pq ； pq 与 qp 的等价关系，对于条 件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法 (3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题 p 的集合为 M，满足命题 q 的集合为 N，则 M 是 N 的真子集等价于 p 是 q 的充分不必要条件，N 是 M 的真子集等价于 p 是 q 的必要不充分条件，MN 等价于 p 和 q 互为充要条件，M，N 不存在相互包含关系等价于 p 既不是 q 的充分条
6、件也不是 q 的必 要条件 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参 数的不等式(或不等式组)求解 (2)要注意区间端点值的检验 对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性。此时应注意分清楚哪是条 件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张 冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）。 【针对训练】 1下列说
7、法中正确的是（ ） （A）“ (0) 0 f ”是“函数 () fx 是奇函数”的充要条件 （B）若 2 0 0 0 : 1 0 p x x x R， ，则 2 : 1 0 p x x x R，（C）若 pq 为假命题，则 p ， q 均为假命题 （D）命题“若 6 ，则 1 sin 2 ”的否命题是“若 6 ，则 1 sin 2 ” 【答案】D 【解析】 试题分析：A是不充分不必要条件；B 应该是 ；C 是 , pq 至少有一个假命题，故 D 正确. 考点：命题与充要条件. 2设p：实数 x，y 满足(x1) 2 +(y 1) 2 2，q：实数 x，y满足 1, 1, 1, yx yx y
8、则 p 是q的 （A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【考点】充要条件的判断，线性规划 【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论， 结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合本题的条件与结论可 以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论 3设 , ab 是向量，则“ | | | | ab ”是“ | | | | a b a b ”的 （A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条
9、件 【答案】D 【解析】 【名师点睛】由向量数量积的定义 | | | | cos a b a b ( 为 a ， b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘 积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无 论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很 高，应熟练掌握其解法. 4已知命题 p ：“ 1 m ”，命题 q ：“直线 0 mx y 与直线 2 0 x m y 互相垂直”，则命题 p 是 命题 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析
10、：当 1 m 时，直线 0 mx y 与直线 2 0 x m y 互相垂直，即 pq ，当直线 0 mx y 与 直线 2 0 x m y 互相垂直时可得 0 m 或 1 m ，即 / qp ，所以 p 是 q 的充分非必要条件，故选 A 考点：1两条直线的位置关系；2充分条件与必要条件 5已知 : 1, 1 p x y , : 2, 1 q x y xy ,则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：根据不等式的性质由 1, 1 xy 可推出 2, 1 x y xy ；但当 5, 0.3 xy 时满足 2 xy ， 1 xy ，但不满足 2, 1 x y xy ，所以 p 是 q 的充分不必要条件，故选A 考点：1、充分条件与必要条件；2、不等式的性质 6已知 p ： | 32 x ， q ： ( )( ) 1 1 0 x m x m 若 p 是 q 的必要而不充分条件，求实数 m 的取 值范围 【答案】 24 m . 【解析】 考点：充分条件与必要条件 【方法点睛】充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤 为：首先要将 p ， q 等价化简；将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系； 列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围
