1、弹 簧 类 问 题,授课人：合肥市第六中学 特级教师 万德华,高 三 专 题 复 习,它总是与其他物体直接或间接地联系在一起，通过弹簧的伸缩形变，使与之相关联的物体发生力、运动状态、动量和能量等物理量的改变所以，这类问题具有很强的隐蔽性和综合性等特征，也为我们的想象和推理提供了一个多变的思维空间,弹簧是中学物理中常见的模型,正因如此，以弹簧模型命题的高考试题在历年高考中频频出现，解决此类题的关键：,在于能对与弹簧相关联的系统进行正确的力和运动的关系分析、功能关系的分析，并抓住弹簧的基本特征，应用相关的力学规律进行综合处理,思考与讨论： 在如图1所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子
2、弹A沿水平方向射入木块后，留在木块内，将弹簧压缩到最短,此过程中子弹、木块、弹簧所组成系统动量、能量如何变化？,八、用功能关系解决弹簧类问题,【例1】：在思考与讨论案例中，若木块的质量为M，子弹的质量为m，弹簧为轻质弹簧，子弹以速度v0射入木块B后能在极短时间内达到共同速度。求弹簧的最大弹性势能。,对滑块A、B构成的系统，在碰撞过程中，内力远大于外力，系统动量守恒，有：,对滑块A、B和弹簧构成的系统，从A、B碰撞后到弹簧压缩到最短的过程中，系统机械能守恒，有：,联立两式得：弹簧具有的最大弹性势能为：,【例2】 ：如图所示，在光滑的水平面上停放着一辆平板车，在车上的左端放一木块B，车左端紧邻一个
3、固定在竖直面内，半径为R的四分之一圆弧形光滑轨道，轨道底端的切线水平，且高度与车表面相平。现有另一木块A（A、B均可视为质点）从圆弧轨道的顶端由静止释放，然后滑行到车上与B发生碰撞，碰后两木块立即粘合在一起并在平板车上滑行，与固定在平板车上的水平轻质弹簧作用后被弹开，最后两木块刚好回到车的最左端与车保持相对静止，已知木块A的质量为m，木块B的质量为2m，车的质量为3m，重力加速度为g，设木块A、B碰撞的时间极短。求： （1）木块A、B碰撞后的瞬间两木块共同运动速度的大小； （2）木块A、B在车上滑行的全过程中，木块和车组成的系统损失的机械能； （3）弹簧在压缩过程中所具有 的最大弹性势能。,解
4、（1）设木块A滑到圆弧底端的速度为v0， A滑下过程由机械能守恒得：,在A、B碰撞过程中，两木块组成的系统动量守恒，设碰撞后的共同速度大小为v1，则：,（2）A、B在车上滑行的过程中，A、B和车组成的系统动量守恒， A、B滑到车的最左端时与车共速，设此速度大小为v，由动量守恒定律：,（2）A、B在车上滑行的整个过程中，系统损失的机械能为：,（3）当弹簧被压缩到最短时，A、B和车共速，设速度为v2，弹簧具有最大的弹性势能EP，由动量守恒定律：,设木块与车间的摩擦力为f，在车上滑行的位移为L 产生的热量为Q，对于从A、B一起运动到将弹簧压缩到最短的过程由能量守恒得：,（3）对于从弹簧压缩至最短到木
5、块滑到车的左端的过程，由能量守恒：,（4） 如A、B与木板间的动摩擦因数为，平板车长为s,轻弹簧原长为l0 ，则弹簧的最大形变量为多少？,由（3）式可得：,则弹簧的最大形变量：,【例3】：如图所示，物体B和物体C用劲度系数为k的轻弹簧连接并竖直地静置于水平地面上，此时弹簧的势能为E。若物体A从物体B的正上方由静止释放，下落后与物体B相撞，碰撞后A与B立刻一起向下运动，但A、B之间并不粘连。已知物体A、B、C的质量均为M，重力加速度为g，忽略空气阻力。则物体 A从距B多高处自由落下时，才 能使物体C恰好离开水平地面？,解：设物体A从距B的高度H处自由落下，A与B碰撞前的速度为v1，由机械能守恒定
6、律得,设A、B碰撞后共同速度为v2，则由动量守恒定律得：Mv12Mv2，解得,。,当C刚好离开地面时，由胡克定律得弹簧伸长量为x=Mg/k，与最初的压缩量相等，所以弹簧的弹性势能仍为E。,当弹簧恢复原长时A、B分离，设此时A、B的速度为v3，则对A、B一起运动的过程中,由机械能守恒得：,从A、B分离后到物体C刚好离开地面的过程中，物体B和弹簧组成的系统机械能守恒，,联立以上方程解得：,思考：（1）“刚好”含义的理解。（2）物理过程的分析。（3）状态的选取。,即:,【例4】、如图所示，弹簧上端固定在O点，下端挂一木箱A，木箱A顶部悬挂一木块B（可当作质点），A和B的质量都为m=1kg，B距木箱底
7、面h=16cm，当它们都静止时，弹簧长度为L，某时刻，悬挂木块B的细线突然断开，在木箱上升到速度刚为0时，B和A的底面相碰(碰撞的时间极短)，碰撞后结为一体，当运动到弹簧长度又为L时，速度变为v=1m/s。求： （1）碰撞中的动能损失Ek； （2）弹簧的劲度系数k； （3）原来静止时的弹性势能E0。,解：（1）从B开始下落到弹簧长度再次恢复为L的过程中，系统损失的机械能为：,则碰撞中动能损失等于系统机械能的损失：,（2）设弹簧的劲度系数为，最初弹簧的伸长量为x，碰前B的速度为vB。碰后A和B的共同速度为v，则原来静止时：,碰撞过程，对系统：,解得：,线断后，A将作简谐运动，在其平衡位置处，应有
8、：,由上两式可得：x=2x1 即当A的速度为零时，A向上振动了半周，上移了x，此时弹簧则好恢复为原长。,碰前过程，对B：,（3）线断后，对A向上运动（振动）的过程， 由机械能守恒：,（或由弹性势能表达式： ）,例5、如图所示，一轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端与物体A连接，物体A又与一跨过定滑轮的不可伸长的轻绳一端相连，绳另一端悬挂着物体B，B的下面又挂着物体C，A、B、C均处于静止状态。现剪断B和C之间的绳子，则A和B将做简谐运动。已知物体A质量为3m，B和C质量均为2m，A和B振动的振幅为d。试求： （1）物体A振动的最大速度； （2）振动过程中，绳对物体B的 最大拉力和最小拉力。,解：
9、,（1）绳剪断前，弹簧伸长量为x1，剪断后，在振动的平衡位置，弹簧压缩x2，,由于x1=x2，两个状态的弹性势能相等,（振动的振幅 d=x1+x2）；,由机械能守恒定律，有：,解得,（2）B振动到最低点时拉力最大为F1；振动到最高点时拉力最小为F2；,B在振动过程的最低点：,对B :,对A :,解得：,B在振动过程的最高点：,对B :,解得：,例6. 质量为M=3kg的小车放在光滑的水平面上，物块A和B的质量为mA=mB=1kg，放在小车的光滑水平底板上，物块A和小车右侧壁用一根轻弹簧连接起来，不会分离。物块A和B并排靠在一起，现用力压B，并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功
10、135J，如右图所示。撤去外力，当B和A分开后，在A达到小车底板的最左端位置之前，B已从小车左端抛出。求： (1) B与A分离时A对B做了多少功? (2) 整个过程中，弹簧从压缩状态开始，再次恢复原长时，物块A和小车的速度,解：(1),AB将分离时弹簧恢复原长, AB的速度为v,小车速度为V,对A、B、M系统，由动量守恒定律和机械能守恒定律得：,(mA+mB)v-MV=0 1/2 (mA+mB)v2+1/2 MV2 =E0,即 2v-3V=0 v2+1.5V2 =135,解得 v= 9m/s, V=6m/s,WA对B= 1/2 mBv2=40.5J,(2)B离开小车后，对小车和A及弹簧系统由动
11、量守恒定律和机械能守恒定律得（向右为正）,mAv1+MV1=9 1/2 mAv12+ 1/2 MV12 =E0 40.5,即 v1+3V1=9v12+3V12 =189,代入消元得 2V12 9V1-18=0,解得 v1= 13.5m/s, V1=-1.5m/s 或v1= -9m/s, V1=6m/s,答： B与A分离时A对B做了多少功40.5J (2)弹簧将伸长时小车 和A 的速度分别为9m/s, 6m/s； 将压缩时为13.5m/s, 1.5m/s,【练习1】如图所示，一物体从B处下落然后压缩弹簧至最低点，在此过程中最大加速度为a1，动能最大时的弹性势能为E1；若该物体从A处下落，最大加速
12、度为a2，动能最大时的弹性势能为E2，不计空气阻力，则有 Aa1 =a2 E1 E2 Ba1 a2 E1 E2 Ca1 a2 E1 =E2 Da1 =a2 E1 =E2,答案：C,【练习2】如图所示，下端固定的竖直轻弹簧的上端与质量为4Kg的物体B连接，质量为0.5Kg的物体A放在B上，先用力将弹簧压缩，然后释放，它们开始向上运动，当A、B分离后，A又向上移动0.2m，刚好到得最高点，这时B的运动方向向下，且弹簧恰好恢复到原长。则从A、B分离至A达到最高点的过程中（g=10m/s2） （ ） A、重力对B物体做功8J B、弹簧弹性势能的变化为0 C、物体A的动能变化绝对值为20J D、弹簧弹力
13、对B的冲量大小为16N.s,【解析】：本题的关键是：必须明确当A、B分离时，弹簧恰好为原长，且两物体具有共同的加速度，共同的速度，对A物体：,【答案】：B,【练习3】如图所示，质量均为m的两物体A、B分别与轻质弹簧的两端相连接，将它们静止放在地面上。一质量也为的小物体C从距A物体h,高处由静止开始下落，C与A相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分开，当A与C运动到最高点时，物体B对地面刚好无压力。不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g。求:(1)A与C一起开始向下运动时的速度大小；(2)A与C运动到最高点时的加速度大小；(3)弹簧的劲度系数。,(1)设小物体C静止开始运动到A点时
14、速度为， 由机械能守恒定律：,设C与A碰撞粘在一起时速度为由动量守恒定律 ：,(2)当A与C运动到最高点时，B受力平衡有：F=mg,对A、C应用牛顿第二定律：,（3)开始时A处于平衡状态，设弹簧的压缩形变量为,对A有：,当A与C运动到最高时，设弹簧的拉伸形变量为：,对B有：,比较两式得：,因此，在这两个位置时弹簧的性势能相等：,对 A、C，从原平衡位置到最高点，根据机械能守恒定律,解得,【练习4】如图所示光滑水平面上有一小车B右端固定一砂箱，砂箱左侧连接一水平轻弹簧,小车和砂箱的总质量为M。车上放着一物块A，质量也是M，且物块A与左侧的车面间的动摩擦因数为，与其他车面间的摩擦不计。物块A随小车
15、以速度v0正向右匀速运动。在车匀速运动时,离砂面H高处有一质量为m的泥球自由下落，恰好落在砂箱中，求： （1）小车在前进中，弹簧弹性势能的最大值。(2)为使物块A不从小车上滑下， 车面粗糙部分至少应多长。,解:(1)泥球落入砂箱的过程,动量守恒,小车的速度变为v, Mv0=(Mm)v,当A与车速度相等时,弹簧的压缩量x最大,即弹性势能最大,设此时的共同速度为u,则由动量守恒知: (Mm)vMv0=(2Mm)u, 由功能关系知:Mv02(Mm)v2=(2Mm)u2EP 故,(2)当弹簧恢复到原长时,物体A脱离弹簧进入摩擦车面,直至与车相对静止,共同速度为v/,由动量守恒和功能关系知:2Mv0=(
16、2M+m)V/, MgS相(2Mm)v/2=EP(2Mm)u2,谢 谢大家！,例如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质 量为(m1+m3)的物体D，仍从上述 初始位置由静止状态释放，则这次 B刚离地时D的速度的大小是多少？ 已知重力加速度为g.,解：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有 kx1
17、=m1g ,挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有,B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态 相比，弹簧性势能的增加量为,E=m3g(x1+x2)m1g(x1+x2) ,kx2=m2g ,题目,上页,下页,C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得,由式得,由式得,题目,上页,【例4】：如图示：竖直放置的弹簧下端固定，上端连接一个砝码盘B，盘中放一个物体A，A、 B的质量分别是M=10.5kg、m=1.5 kg，k=800N/m,对A施加一个竖直向上的拉力，使它做匀加速直线运动，经过0.2秒A与B脱
18、离，刚脱离时刻的速度为v=1.2m/s，取g=10m/s2,求A在运动过程中拉力的最大值与最小值。,解：对整体 kx1=(M+m)g,F + kx - (M+m)g= (M+m)a,脱离时，A 、B间无相互作 用力， 对B kx2-mg=ma,x1- x2 =1/2 at2 a=v/t=6m/s2,Fmax=Mg+Ma=168N,Fmin=(M+m)a=72N,【例3】：质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x0如图3所示。一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最底点后又向上运动。已知物块质
19、量也为m时，它们恰能回到O点。若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。,分析：,当质量为m的物体下落与钢板的作用 包括：自由落体、碰撞、振动3个过程.,物理过程:,分析：,当质量为2m的物体下落与钢板的作用 包括：自由落体、碰撞、振动、竖直上抛4个过程.,物理过程:,解答：,设物块与钢板碰撞时的速度为v0,对物块，在下落过程中，由自由落体运动的公式，得,设v1表示质量为m的物块、钢板碰撞后一起向下运动的速度，因碰撞时间极短，系统所受外力远小于相互作用的内力，符合动量守恒，对质量为m的物块和钢板，由动量守恒定律得,设刚
20、碰完时弹簧的弹性势能为EP，当它们一起回到O点时，弹簧无形变，弹簧势能为零，根据题意，由机械能守恒得,质量为m的物体下落与钢板作用,设v2表示质量为2m的物块与钢板碰后开始一起向下运动的速度，由动量守恒，则有,在上述两种情况下，弹簧的初始压缩量都是x0，故有,质量为2m的物体下落与钢板作用,设刚碰完时弹簧势能为 ，它们回到O点时，弹性势能为零，但它们仍继续向上运动，设此时速度为v3，则由机械能守恒定律得,当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力的作用，加速度为g，一过O点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g，由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力，其加速度仍为g，方向向下，故在O点物块与钢板分离。分离后，物块以速度v3竖直上升，由机械能守恒定律得,联立式得物块向上运动到达的最高点距O点的距离,
