1、圆学子梦想 铸金字品牌- 1 -温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时分层作业 五十直线与椭圆的综合问题一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.(2017全国卷)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且2222以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切,则 C的离心率为世纪金榜导学号 37681143( )A. B. C. D.63 33 23 13【解析】选 A.直线 bx-ay+2ab=0 与圆相切,所以圆心到直线的距离 d= =a,整22+2理
2、为 a2=3b2,即 a2=3(a2-c2)2a 2=3c2,即 = ,e= = .2223 63【变式备选】椭圆 +y2=1的两个焦点为 F1,F2,过 F1作垂直于 x轴的直线与椭24圆相交,一个交点为 P,则 = ( )A. B. C. D.432 3 72【解析】选 C.因为 = ,|1|12圆学子梦想 铸金字品牌- 2 -所以 =22- =4- = .|1|12722.(2018西宁模拟)椭圆 + =1(ab0)的中心在原点 , F1,F2分别为左、右2222焦点, A,B 分别是椭圆的上顶点和右顶点, P 是椭圆上一点,且 PF1x 轴, PF2AB,则此椭圆的离心率等于 ( )A
3、. B. C. D.13 12 22 55【解析】选 D.如图所示,把 x=-c 代入椭圆标准方程: + =1(ab0).则2222+ =1,解得2222y= .取 P ,又 A(0,b),B(a,0),2 (-,2)F2(c,0),所以 kAB=- , = =- .2 2- 22因为 PF2AB,所以- =- ,化为:b=2c. 22圆学子梦想 铸金字品牌- 3 -所以 4c2=b2=a2-c2,即 a2=5c2, 所以 e= = .22 553.已知椭圆 + =1上一点 P,椭圆的焦点为 F1,F2,若三角形 PF1F2的内切圆的2928半径为 ,则三角形 PF1F2的面积为 ( )23A
4、. B. C. D.23 83 163 3【解析】选 B.因为三角形的面积公式 S=pr(其中 p 为三角形的周长的一半,r 为内切圆的半径),所以三角形 PF1F2 的面积为 (PF1+PF2+F1F2)r= (2a+2c)r=(3+1) =12 12 23.83【变式备选】1.已知椭圆 + =1的两个焦点为 F1,F2,过焦点 F1作长轴的垂线2324与椭圆相交,一个交点为 P在第一象限,则 PF2的斜率为 ( )A. B. C.- D.-34 43 34 43【解析】选 B.因为椭圆的焦点为 F1(0,1),F2(0,-1),所以 P ,所以 = (32,1) 2= .1+132 432
5、.已知椭圆的中心在原点,离心率 e= ,且它的一个焦点是圆 x2+y2+2x-2 019=012的圆心,则此椭圆方程为 ( )A. + =1 B. + =12423 2826圆学子梦想 铸金字品牌- 4 -C. +y2=1 D. +y2=122 24【解析】选 A.因为圆心为(-1,0),所以 c=1,因为离心率为 ,所以 a=2,所以 b2=3,12所以椭圆方程为 + =1.24234.已知 F1,F2是椭圆 + =1(ab0)的左,右焦点 ,该椭圆上存在两点 A,B使2222=3 ,则该椭圆的离心率的取值范围是 ( )世纪金榜导学号 37681144A. B.(0,12) (0,13)C.
6、 D.(12,1) (13,1)【解析】选 C. =3 F 1AF2B,设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆 b2x2+a2y2=a2b2得(*)221+221=22,222+222=22,由 =3 得 代入(*)得1=32,1=-4+32,消去 y2 得 x2= 0时,不妨设 A,B 两点的坐标分别为(-1,y 1),(1,y2),代入椭圆方程得 解得:k= ;1=-32,2=32, 32同理可得当 kb0)经过不同的三点2222A ,B ,C(C在第三象限),线段 BC的中点在直线 OA上,则(52,54) (-12,-34)点 C的坐标为_. 【解析】由点 A,B 在椭圆 上
7、,得 解得542+ 5162=1,142+ 9162=1, 2=52,2=58.所以椭圆 的方程为 + =1.设 C 坐252258标为(m,n),(m0) (3,0)其左顶点 A在圆 O:x2+y2=12上.(1)求椭圆 C的方程.(2)直线 l:x=my+3 交椭圆 C于 M,N两点,设点 N关于 x轴的对称点为 N1 (0)(点 N1与点 M不重合),证明:直线 N1M过 x轴上的一定点,并求出定点坐标.【解析】(1) 因 为椭圆 C 的左顶点 A 在圆 x2+y2=12 上,所以 a=2 .3又因为椭圆的一个焦点为 F(3,0),所以 c=3,所以 b2=a2-c2=3.所以椭圆 C
8、的方程为 + =1.21223(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则直线与椭圆 C 方程 联立=+3,212+23=1,化简并整理得(m 2+4)y2+6my-3=0, 所以 y1+y2=- , y1y2=- ,62+4 32+4由题设知 N1 ,所以直线 N1M 的方程为 y-y1= ,(2,-2)1+21-2(-1)圆学子梦想 铸金字品牌- 8 -令 y=0,得 x=x1- = = =1(1-2)1+212+211+2(1+3)2+(2+3)11+2+3=4,-62+4-62+4所以直线 N1M 过定点 P .(4,0)10.(2018西安模拟)已知椭圆 C: + =1(ab0)
9、的离心率 e= ,椭圆过点2222 32(22,0)世纪金榜导学号 37681147(1)求椭圆 C的方程.(2)直线 l 的斜率为 ,直线 l 与椭圆 C交于 A,B两点,已知 P ,求PAB 面12 (2,1)积的最大值.【解析】(1) 因 为 e2= = = ,所以 a2=4b2,222-22 34因为椭圆过点 ,所以 a2=8,b2=2, 所以椭圆 C 的方程为 + =1.(22,0)2822(2)设 l 的方程 为 y= x+m,代入椭圆方程中整理得 x2+2mx+2m2-4=0,12所以 x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,=4m2-4 0,所以 m2b0)的左、右焦点为 F
10、1,F2,离心率为 ,过 F22222 33的直线 l 交 C于 A,B两点.若AF 1B的周长为 4 ,则 C的方程为 ( )3A. + =1 B. +y2=12322 23C. + =1 D. + =121228 21224【解析】选 A.根据题意,因为AF 1B 的周长为 4 ,3所以|AF 1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4 ,所以 a= .3 3又因为椭圆的离心率 e= = ,所以 c=1,b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆 C 的方程为 + 33 23=1.222.(5分)(2018吕梁模拟)设 F1,F2分别是椭圆 +y2=1
11、的左、右焦点,若椭圆24上存在一点 P,使( + ) =0(O为坐标原点),则F 1PF2的面积是 ( )A.4 B.3圆学子梦想 铸金字品牌- 10 -C.2 D.1【解析】选 D.因为( + ) =( + ) = =0,所以 PF1PF2,F1PF2=90.设|PF 1|=m,|PF2|=n,则 m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,所以 = mn=1. 12123.(5分)椭圆 + =1上有两个动点 P,Q,E(3,0),EPEQ, 则 的最小值23629为( )世纪金榜导学号 37681148A.6 B.3- 3C.9 D.12-6 3【解析】选 A.设 P 点坐标为(m,n),则
12、 + =1,23629|PE|= (-3)2+(-0)2= = ,342-6+1834(-4)2+6因为-6m6,所以|PE|的最小值为 .又因为 = ( - )= -6 =| |2,所以 的最小值为 6.4.(12分)已知长为 1+ 的线段 AB的两个端点 A,B分别在 x轴、y 轴上滑动,P2是 AB上一点,且 = ,求点 P的轨迹 C的方程.22圆学子梦想 铸金字品牌- 11 -【解析】设 A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),= ,22又 =(x-x0,y), =(-x,y0-y),所以 x-x0=- x,y= (y0-y),22 22得 x0= x,y0=(1+ )y.(1+
13、22) 2因为|AB|=1+ ,即 + =(1+ )2,2 0202 2所以 +(1+ )y2=(1+ )2,(1+22)2 2 2化简得 +y2=1.22所以点 P 的 轨迹方程为 +y2=1.225.(13分)(2018西宁模拟)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右两个焦点分2222别为 F1,F2,上顶点 A , AF 1F2是正三角形且周长为 6.(0,)世纪金榜导学号 37681149(1)求椭圆 C的标准方程及离心率. (2)O为坐标原点,P 是直线 F1A上的一个动点,求 + 的最小值,并求出|2|此时点 P的坐标.【解析】(1) 由 题意 解得 a=2,b= ,c=1.=
14、2,+2=6,2=2+2, 3圆学子梦想 铸金字品牌- 12 -所以椭圆 C 的标准方程为 + =1,离心率 e= .2423 12(2)因为 AF1F2 是正三角形,可得直线 AF1 的斜率 为 k=tan = ,3 3所以直线 AF1 的方程为 y= .设点 O 关于直线 AF1 的对称点为 M3(+1),则(,)解得 m=- ,n= ,可得 M 坐标为 .3=-1,2=3(2+1), 32 32 (-32,32)因为 = ,所以|.|2|+|=|2|+|2|所以 + 的最小值|2|= = ,|2| (-32-1)2+( 32 -0)2 7直线 MF2 的方程为 y= ,即 y=- .32 -0-32-1(-1) 35(-1)由 解得=-35(-1),=3(+1), =-23,=33,所以此时点 P 的坐标为 .(-23,33)圆学子梦想 铸金字品牌- 13 -综上所述,可求的 + 的最小值为 ,此时点 P 的坐标为 .|2| 7 (-23,33)关闭 Word 文档返回原板块
