1、西安市第一中学 高效课堂 “导教 学”三合一案 高一 年级 科目 数学 备案设计人 曾卫鹏 审批人（备课组长） 授课时间 课型： 课题： 1 从平面向量到空间向量 第_ 1 _课时知识与技能 理解空间向量的概念，掌握空间向量的两种表示方法，掌握空间向量的夹角，直线的方向向量和平面的法向量的概念.过程与方法 通过复习平面向量的相关内容掌握空间向量的基本知识，通过类比的方法体会从二维空间到三维空间的变化，培养学生知识迁移的能力.情感、态度价值观学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断发展变化的，会用联系的观点看待事物.重 点 理解两个向量的夹角、直线的方向向量和平面的法向量三维目标难 点 平面
2、法向量的探求学习引导一1空间向量的概念(1)在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量(2)向量用小写字母表示，如： ， 或 a，b.a b 也可用大写字母表示，如图： ，其中 A 叫做向量的起点，B 叫做向量的终点AB (3)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用| |或| a|表AB 示(4)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量 a，b，在空间中任取点 O，作a， b，则AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作a，b OA OB (5)向量夹角的范围：规定 0a，b.(6)特殊角：当a，b 时，向量 a 与 b 垂直，记作 a b；2当a，b0 或 时，向量 a 与 b 平
3、行，记作 a b.2方向向量与法向量(1)所谓直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的非零向量，一条直线的方向向量有 无数个(2)如果直线 l 垂直于平面 ，那么把直线 l 的方向向量，叫作平面 的法向量平面 有无数个法向量，平面 的所有法向量都平行个人修案探究点一 空间向量的概念思考 1 如图，观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量 ，OA ， ，它们和以前所学的向量有什么不同？OB OC 答 ， ， 是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内OA OB OC 小结 在空间，具有大小和方向的量叫空间向量向量的大小叫做向量的长度或模思考 2 向量可以用有向线段表示，
4、是否可以说向量就是有向线段？答 不可以向量是借助于有向线段表示的；向量只要具备大小与方向即可，而有向线段的三要素是：起点、方向、大小有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法思考 3 “空间中任何两个向量都是共面向量” ，这个结论是否正确？答 正确根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量思考 4 在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点 A，那么它们的终点构成怎样的图形？答 球面思考 5 零向量没有方向吗？答 零向量不是没有方向，它的方向是任意的例 1 给出下列命题：若空间向量 a，b，满足|a| |b|，则 ab；在正方体 ABCDA1B1
5、C1D1 中，必有 ；AC A1C1 若空间向量 m，n，p 满足 mn ，np，则 mp；空间中任意两个单位向量必相等其中不正确的命题的个数是( )A1 B2C3 D4答案 B解析 根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故错；根据正方体 ABCDA1B1C1D1 中，向量 与 的方向相同，模也相等，应有 ，故正确；AC A1C1 AC A1C1 命题显然正确；预学演学思考引导二跟踪训练 1 判断下列命题的真假，并简单说明理由(1)空间向量就是空间中的一条有向线段；(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量 与向量 的长度相
6、等BA AB 解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点(4)真命题， 与 仅是方向相反，它们的长度是相等的BA AB 探究点二 向量、直线、平面思考 1 怎样描述空间直线的方向？答 在直线 l 上任取两点 A、B，则称 为直线 l 的方向向量AB 给定空间中任一点 A 和非零向量 a，可以确定一条直线思考 2 如何用向量来确定一个平面？答 作直线 l，取直线 l 的方向向量 a
7、，则 a 叫做平面 的法向量，过定点 A，以 a 为法向量的平面是完全确定的例 2 如图，已知空间四边形 ABCD 的各条边和对角线长都等于 a，E、F、G 分别是AB、CD、AD 的中点(1)给出直线 EG、FG 的一个方向向量；(2)给出平面 CDE 的一个法向量解 (1)E、F、G 分别是 AB、CD、AD 的中点，EGBD ，FGAC.空间中任意两个单位向量模均为 1，但方向不一定相同，故不一定相等，故错反思与感悟 在空间，单位向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等小结引导三1空间向量是平面向量的推广，可从平面向量的概念类比空
8、间向量2可以利用直线的方向向量描述直线的方向；平面的法向量和空间一点可以确定一个平面3利用直线的方向向量和平面的法向量可以判定线面关系拓展引导四如图，(1)正方体 ABCDA1B1C1D1 中， ， _.A1C1 BC1 (2)写出平面 ABC1D1 的一个法向量_答案 (1)60 (2) (或 )B1C A1D 解析 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，B 1CBC 1，B 1CAB，B 1C平面 ABC1D1. 是平面 ABC1D1 的法向量B1C 布置作业：1、 书面作业：课本 P27A 组第 3,4 题和 B 组第 2 题2、 检查作业：全品作业手册 是 EG 的一个方向向量， 是
9、 FG 的一个方向向量BD AC (2)正ABC 中， E 是 AB 中点， ABEC.同理，ABED.AB平面 ECD. 是平面 CDE 的一个法向量AB 反思与感悟 直线的方向向量和平面的法向量可以用来判定线面关系西安市第一中学 高效课堂 “导教 学”三合一案 高一 年级 科目 数学 备案设计人 曾卫鹏 审批人（备课组长） 授课时间 课型： 课题： 空间向量的运算（1） 第_ 1 _课时知识与技能1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律.2.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题过程与方法 通过对空间向量运算的学习，初步把握空间向量的运算意义及运算律解决
10、简单问题的方法.情感、态度价值观 培养知识迁移的能力，渗透数形结合的思想重 点 空间向量的加减与书城运算及运算律三维目标难 点 空间向量共线的充要条件个人修案思考 2 使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？答 (1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连 ”，和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点进行减法运算时，注意“共起点” ，差向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点(2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边表示向量的和与差(3)三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中，把有限个向量顺次首尾相连，则从第一个
11、向量的起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有限个向量的和向量例 1 如图，已知长方体 ABCDABC D，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1) ；AA CB (2) .AA AB B C 解 (1) AA CB AA DA AA AD .AA A D AD (2) ( )AA AB B C AA AB B C .AB B C AC 向量 、 如图所示AD AC 反思与感悟 根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可
12、相互转化，另外化简的结果要在图中标注好探究点二 空间向量的数乘运算思考 1 思考实数 和空间向量 a 的乘积 a 的意义？答 0 时，a 和 a 方向相同； 0 时，a 与 a 方向相同；当 0，则点 P 与 z 轴的正半轴在 xOy 平面的同侧；如果 z0，则点 P 与 z 轴的负半轴在 xOy 平面的同侧思考 3 在平面上如何画空间直角坐标系？探究点三 空间中点的对称问题思考 1 平面中，两点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)的中点坐标是什么？答 中点坐标为( ， )x1 x22 y1 y22思考 2 类比平面中两点的中点坐标，空间中两点 P1(x1， y1，z 1)、P 2(
13、x2，y 2，z 2)的中点坐标是什么？答 中点坐标为( ， ， )x1 x22 y1 y22 z1 z22思考 3 在空间直角坐标系中，关于哪个平面对称的点有什么特点？答 关于哪个平面的对称点在哪个平面上的坐标不变，另外的坐标变成原来的相反数思考 4 在空间直角坐标系中，关于哪条坐标轴对称的点有什么特点？答 关于哪条坐标轴的对称点哪个坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数思考 5 在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么特点？答 三个坐标分别互为相反数小结引导三(1)A(x，y，z )关于 x 轴的对称点为 A1(x，y，z) ，关于 y 轴的对称点为 A2(x，y，z)，关于 z 轴
14、的对称点为 A3(x，y，z)(2)A(x，y，z )关于原点的对称点为 A4(x，y ，z) (3)A(x，y，z )关于 xOy 平面的对称点为 A5(x，y，z)，关于 xOz 平面的对称点为 A6(x，y，z)，关于 yOz 平面的对称点为 A7(x ，y，z) 关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标的变化规律为“关于谁对称谁不变，其余均相反” 拓展引导四例 3 求点 A(1,2，1) 关于坐标平面 xOy 及 x 轴对称的点的坐标解 过 A 作 AM平面 xOy 于 M，并延长到 C，使 AMCM，则 A 与 C 关于坐标平面 xOy 对称且 C(1,2,1)过 A 作 ANx 轴交 x
15、 轴于 N，并延长到点 B，使 ANNB，则 A 与 B 关于 x 轴对称且 B(1，2,1)，A(1,2，1) 关于坐标平面 xOy 对称的点为 C(1,2,1)，关于 x 轴对称的点为B(1，2,1) 炼学思学学习引导一情境导学 数轴上的点 M 可用一个实数 x 表示，它是一维坐标；平面上的点 M 可用一对有序实数(x， y)表示，它是二维坐标对于空间中的点能不能也用有序实数表示？如何表示？本节我们就来探讨这个问题思考引导二探究点一 空间直角坐标系思考 1 为了确定一架正在飞行的飞机的位置，我们不仅需要经度和纬度，还需要确定什么？答 需要确定飞机距离地面的高度思考 2 如下图怎样确切地表示
16、室内灯泡的位置？确定灯泡的位置需要几个量？图 1 图 2答 从图 2 中看出，N 点可以用两个有序实数表示， P 比 N 点的不同在于竖直方向上与 N 有段距离所以要表示灯泡的位置需要三个不同方向上的实数思考 3 描述地面上某物体的位置可以用平面直角坐标系中的点的坐标表示，设想描述空间物体的位置怎样建立坐标系来表示？答 如下图，在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使xOy 135 ，yOz90.思考 4 x 轴、y 轴、z 轴上的点的坐标有何特点？xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面上的点的坐标有何特点？答 x 轴上的点( x,0,0)；y 轴上的点(0，y,0) ；z 轴上的点(
17、0,0，z)；xOy 平面上的点(x，y,0) ；yOz平面上的点(0，y，z)；xOz 平面上的点(x,0，z) 小结 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点 P，都可以用一个三元有序数组(x，y ，z)来表示；反之，任何一个三元有序数组(x，y，z)都可以确定空间中的一个点 P.这样，在空间直角坐标系中，点与三元有序数组之间建立了一一对应的关系例 1 如图，在长方体 OABCD ABC中，| OA|3，| OC|4，|OD |2.写出四点预学演学D，C，A，B的坐标解：点 D的坐标是(0,0,2) ，点 C 的坐标是(0,4,0) ，点 A的坐标是(3,0,2)，点 B的坐标是(3,4,2)
18、反思与感悟 求空间一点 M 的坐标，常用方法是：过 M 做 MM1 垂直于 xOy 平面，垂足为M1，求出 M1 的 x 坐标和 y 坐标，再求出点 M 的 z 坐标，于是得到 M 点的坐标( x，y，z)，注意z 坐标的正负例 2 在空间直角坐标系 Oxyz 中，作出点 P(5,4,6)解 方法一 第一步从原点出发沿 x 轴正方向移动 5 个单位，第二步沿与 y 轴平行的方向向右移动 4 个单位，第三步沿与 z 轴平行的方向向上移动 6 个单位(如图所示) ，即得点 P.方法二 以 O 为顶点构造长方体，使这个长方体在点 O 处的三条棱分别在 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴上，且棱长分别为
19、5,4,6，则长方体与顶点 O 相对的顶点即为所求点 P.跟踪训练 2 在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 P(2,0,3)位于( )AxOz 平面内 ByOz 平面内 Cy 轴上 Dz 轴上解析 因为点 P 的纵坐标 y0，且 x，z 均不为 0，故点 P 位于 xOz 平面内答案 A西安市第一中学 高效课堂 “导教 学”三合一案 高一 年级 科目 数学 备案设计人 曾卫鹏 审批人（备课组长） 授课时间 课型： 课题： 夹角的计算（1） 第_ 1 _课时三维目标知识与技能1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.体会用空间向量解决立体几何问题的三
20、步曲个人修案夹角公式 cos |cosa，b| .|ab|a|b|思考 2 两条异面直线的夹角和两条异面直线的方向向量夹角有什么区别？答 两条异面直线的夹角为锐角或直角，而两向量夹角的范围是0， ，两条异面直线的夹角与它们的方向向量的夹角相等或互补例 1 如图所示，三棱柱 OABO1A1B1 中，平面 OBB1O1平面OAB，O 1OB60 ，AOB90，且 OBOO 12，OA ，求异面直线 A1B 与 AO1 夹角的余弦3值解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(0,0,0)，O 1(0，1， )，A( ，0,0) ，3 3A1( ， 1， )，B (0,2,0)，3 3 ( ，1， )
21、， ( ，1， )A1B 3 3 O1A 3 3|cos ， | .A1B O1A |A1B O1A |A1B |O1A | | 3，1， 3 3， 1， 3|7 7 17异面直线 A1B 与 AO1 夹角的余弦值为 .17反思与感悟 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线夹角计算思路简便，要注意角的范围跟踪训练 1 如图，四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60，在四边形 ABCD 中，ADCDAB90 ，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点 B、P 的坐标；(2)求异面直线 PA 与 BC 夹角的
22、余弦值答案：（1）B(2,4,0)、P(0,0,2 )； （2）夹角的余弦值为 .31313小结引导三利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系 )表示出向量；其次理清所求角和两个向量夹角之间的关系拓展引导四已知正三棱柱 ABCA 1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 a，M 为 A1B1 的中点，求 BC1 与平面 AMC12的夹角的正弦值解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，M (0， a)，C 1( a， a)，B(0 ，a,0)，a2 2 32 a2 2故 ( a， a)， (
23、0 ， a)， ( a， ， a)AC1 32 a2 2 AM a2 2 BC1 32 a2 2设平面 AMC1 的法向量为 n( x，y，z) 则Error!Error!令 y2，则 z ，x0. n(0,2 ， )22 22又 ( a， ， a)，BC1 32 a2 2cos ，n .BC1 BC1 n|BC1 |n| a a3a92 269设 BC1 与平面 AMC1 的夹角为 ，则 sin |cos ，n| .BC1 269炼学思学过程与方法 通过空间向量的坐标表示法的学习，让学生经历从“定性推理”到“定量计算” ，提高分析问题、解决问题的能力.情感、态度价值观通过自主探究与合作交流，
24、激发学生的学习热情和求知欲，感受和体会数学的魅力.重 点 异线角和线面角的计算难 点 对向量法求夹角的理解学习引导一1两条异面直线所成的角：当直线 l1、l 2 是异面直线时，在直线 l1 上任取一点 A 作 ABl 2，我们把 l1 和直线 AB 的夹角叫做异面直线 l1 与 l2 的夹角已知 l1、l 2 的方向向量分别为 s1、s 2，当 0s 1，s 2 时，l 1 与 l2 的夹角等于s 1，s 2 ；2当 s 1，s 2 时，l 1 与 l2 的夹角等于 s 1，s 2 22直线和平面的夹角是指这条直线与它在这个平面内的投影的夹角，其范围是 ，斜线与0，2平面的夹角是这条直线与平面
25、内的一切直线所成角中最小的角直线和平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量求得，若设直线与平面所成的角为 ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为 ，则有 sin |cos_| .思考引导二探究点一 求两条异面直线的夹角思考 1 怎样求两条异面直线的夹角？答 (1)平移法：即通过平移其中一条( 也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解(2)向量法：设 a、b 分别为异面直线 l1、l 2 上的方向向量， 为异面直线的夹角，则异面直线的探究点二 求直线和平面的夹角思考 1 直线和平面的夹角的范围是什么？答 直线和平面的夹角的范围是0，90 ；若直线和平面斜交，所成
26、的角为锐角思考 2 直线与平面的夹角 和直线方向向量 a 与平面法向量 b 的夹角有什么关系？预学演学答 直线方向向量与平面法向量所夹的锐角 和直线与平面所成的角 互为余角，即 .2因此 sin cos .|ab|a|b|思考 3 当一条直线 l 与一个平面 的夹角为 0 时，这条直线一定在平面内吗？答 不一定，这条直线还可能与平面平行例 2 如图，在空间直角坐标系中有单位正方体 ABCDABCD，E，F 分别是BC，AD的中点求直线 AC 与平面 ABEF 的夹角 的正弦值解 因为 A(0,0,0)，B(1,0,0) ，C(1,1,0)，F(0，1) ，所以 (1,1,0) 12 AC 设平
27、面 ABEF 的法向量是 n( x，y，z) ，因为 (1,0,0)， (0，1) ，AB AF 12则Error!得Error!取 n(0,1 ， )，得 cosn， 0，12 AC nAC |n|AC |152 2 210 105故n， ，所以直线 AC 与平面 ABEF 的夹角 n， AC 2 2 AC 所以 sin sin( n， ) cosn， .2 AC AC 105反思与感悟 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系西安市第一中学 高效课堂 “导教 学”三合一案 高一 年级 科目 数学 备案设计人 曾卫鹏 审批人（备课组长
28、） 授课时间 课型： 课题： 夹角的计算（2） 第_ 2 _课时知识与技能1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲过程与方法 通过空间向量的坐标表示法的学习，让学生经历从“定性推理”到“定量计算” ，提高分析问题、解决问题的能力.情感、态度价值观通过自主探究与合作交流，激发学生的学习热情和求知欲，感受和体会数学的魅力.重 点 两个平面夹角的计算三维目标难 点 对向量法求夹角的理解学习引导一如图所示，平面 1 与 2 相交于直线 l，点 R 为直线 l 上任意一点，过点 R，在平面 1 上作直线l1l，在平面
29、2 上作直线 l2l ，则 l1l 2R.我们把直线 l1 和 l2 的夹角叫作平面 1 与 2 的夹角已知平面 1 和 2 的法向量分别为 n1 和 n2.当 0n 1，n 2 时，平面 1 与 2 的夹角等于n 1，n 2 ；2当 n 1，n 2 时，平面 1 与 2 的夹角等于 n 1，n 2 2思考引导二探究点三 求平面间的夹角思考 怎样利用向量法求两个平面夹角的大小？答 (1)基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算；(2)法向量：建立适当的空间直角坐标系，求得相关两个平面的法向量，再借助平面的法向量求解设 n1、n 2 分别是面 、 的法
30、向量， 为平面间的夹角，实际上 与n 1，n 2可能相等，也可能互补，所以 cos .|n1n2|n1|n2|个人修案例 3 在空间直角坐标系中有单位正方体 ABCDABCD.求平面 BCDA与平面 ABCD 的夹角 .解 设平面 BCDA与平面 ABCD 的法向量分别是 n1 和 n2，取n2(0,0,1)因为 A(0,0,1)，B(0,1,0) ，C(1,1,0)，所以(0,1 ，1)， (1,0,0)A B BC 设 n1(x，y，z)，则Error!即 Error!取 n1(0,1,1)，得 cosn 1，n 2 .n1n2|n1|n2| 22此时n 1，n 2 ，因此，平面 BCDA
31、与平面 ABCD 的夹角 n 1，n 2 .4 4若取平面 BCDA的法向量 n1(0 ，1，1)，则cosn 1，n 2 .n1n2|n1|n2| 22此时n 1，n 2 ，因此，平面 BCDA与平面 ABCD 的夹角 n 1，n 2 .34 4预学演学反思与感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立( 有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补) ，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向
32、量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角跟踪训练 2 若 PA平面 ABC，AC BC ，PAAC1，BC ，2求平面 PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值解 如图所示建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B ( ，1,0)，2C(0,1,0)，P(0,0,1)，故 (0,0,1)， ( ，1,0)，AP AB 2( ，0,0)， (0，1,1)，CB 2 CP 设平面 PAB 的法向量为 m (x，y，z)，则Error!Error!Error!令 x1，则 y ，故 m(1， ，0)2 2设平面 PBC 的法向量为 n (x，y，z)，则Error!Error!Error!令 y1，
33、则 z1，故 n(0，1，1) ，cosm，n .mn|m|n| 33平面 PAB 与平面 PBC 夹角的余弦值为 .33小结引导三利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系 )表示出向量；其次理清所求角和两个向量夹角之间的关系拓展引导四如图，四棱锥 FABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线 AC2，BD .CF 与平面 ABCD 垂直，2CF2.求平面 ABF 与平面 ADF 的夹角解 过点 A 作 AE平面 ABCD.以 A 为坐标原点， 、 、 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空
34、间直角坐标系( 如图)BD AC AE 于是 B ，D ，F(0,2,2)( 22，1，0) ( 22，1，0)设平面 ABF 的法向量 n1(x，y ，z) ，则由Error! 得Error!令 z1，得Error! 所以 n1( ，1,1) 2同理，可求得平面 ADF 的法向量 n2( ，1,1)2由 n1n20 知，平面 ABF 与平面 ADF 垂直，所以平面 ABF 与平面 ADF 的夹角为 .2西安市第一中学 高效课堂 “导教 学”三合一案 高一 年级 科目 数学 备案设计人 曾卫鹏 审批人（备课组长） 授课时间 课型： 课题： 距离的计算（1） 第_ 1 _课时知识与技能掌握向量长
35、度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离过程与方法 通过空间中距离的计算，培养学生运用算法化思想解决问题的能力.情感、态度价值观经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力.重 点 空间距离的计算三维目标难 点 点到直线的距离学习引导一1两点间的距离的求法设 a(a1，a2，a3) ，则| a| ，若 A(x1，y 1，z 1)，a21 a22 a23B(x2，y 2，z 2)，则 dAB| | .AB x1 x22 y1 y22 z1 z222点到直线距离的求法设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线， A 是直
36、线 l 外一定点作 AAl，垂足为 A，则点 A 到直线 l 的距离 d 等于线段 AA的长度，而向量 在 s 上的投影的大小| s0|等于线段 PA的长度，所以根据勾股定理有点 A 到直线 l 的PA PA 距离d .|PA |2 |PA s0|2思考引导二探究点一 两点间的距离思考 1 怎样认识两点间的距离的地位？答 两点间的距离是几何中最基本的距离，计算图形的任何距离都可以转化为两点间的距离思考 2 怎样利用向量求两点间的距离？答 利用基向量或坐标表示向量后，两点间的距离就转化为向量的模，可以利用向量的数量积进行计算个人修案设 a(a 1，a 2，a 3)，则|a| ；a21 a2 a2
37、3若 A(x1，y 1，z 1)，B (x2，y 2，z 2)，则 dAB| | .AB x1 x22 y1 y22 z1 z22例 1 已知矩形 ABCD 中，AB4，AD3.沿对角线 AC 折叠，使面 ABC 与面 ADC 垂直，求 B、D 间的距离解 方法一 过 D 和 B 分别作 DEAC 于 E，BFAC 于 F，则由已知条件可知 AC5， DE ，BF .345 125 345 125AE CF，EF52 ，AD2AC 95 95 75 .DB DE EF FB | |2( )2DB DE EF FB 2 2 22 2 2 .面 ADC面 ABC，DEAC，DE EF FB DE
38、EF DE FB EF FB DE面 ABC，DE BF，即 ，DE FB | |2 2 2 2 ，DB DE EF FB 14425 4925 14425 33725| | .故 B、D 间的距离是 .DB 3375 3375方法二 过 D 作 DEAC 于 E，过 B 作 BFAC 于 F，过 E 作 FB 的平行线EP，以 E 为坐标原点， EP、EC、ED 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图由方法一知 DEFB ，EF ，125 75D ，B ，(0，0，125) (125，75，0) ，DB (125，75， 125)预学演学反思与感悟 计算两点间的距离的基本
39、方法：(1)把线段用向量表示，然后利用|a| 2aa，通过向量运算求 |a|.(2)求解的图形适宜建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度( 或两点间距离)探究点二 点到直线的距离思考 1 怎样利用向量求点到直线的距离？答 如图，设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一点d |PA |2 |PA s0|2(| s0|是 在 s 上的投影)PA PA 思考 2 请你总结求点 A 到直线 l 的距离的求法？答 求点 A 到直线 l 的距离 d，要过该点 A 引直线 l 的垂线段 AA，再在直线 l 上取垂足 A以外的任一点 P 和直线 l 的方向向量 s，构造出 RtP
40、A A，计算| |和| s0|，利用勾股定理，PA PA 求出点 A 到直线 l 的距离 d.例 2 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCDA1B1C1D1，AB 1，BC2，AA 13，求点 A1 到 B1D 的距离解 由题意得：A 1(0,0,3)，B 1(1,0,3)，D(0,2,0)，(1,2，3) ， (1,0,0)，B1D A1B1 则 在 上的投影为 d ，| |1，A1B1 B1D A1B1 B1D |B1D | 11 4 9 1414 A1B1 点 A1 到 B1D 的距离为 .|A1B1 |2 |A1B1 B1D |B1D |2 1 114 18214反思与感悟 利用向
41、量求点到直线的距离，可以不作垂线而直接根据公式计算跟踪训练 2 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 a，则点 A1 与面对角线 BC1 所在直线间的距离是( )A. a Ba C. a D.62 2 a2答案 A| | .DB (125)2 (75)2 ( 125)2 3375即 B、D 间的距离是 .3375 a.|A1B |2 |A1B BC1 |BC1 |2 2a2 (12)2a2 62小结引导三1两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得.2.点线距可用公式 d 求得|PA |2 |PA s0|2拓展引导四已知正三棱柱 1CB的底面边长为 8，对角线 10CB，D 是 AC
42、的中点。 （1）求点 1B到直线AC 的距离。 （2）求直线 A到平面 D1的距离。解析：（1）连结 BD， ，由三垂线定理可得： A1，所以 1就是 1点到直线 AC解析 如图建立空间直角坐标系 (0，a，a) ， ( a,0，a)A1B BC1 所求距离的 的距离。在 BDRt1中 ,6810221BC34BD2。（2）因为 AC 与平面 BD 1交于的中点，设 EC11，则 1A/DE，所以 1AB/平面 BDC1，所以 1A到平面 BDC的距离等于点到平面 BD 的距离，等于点到平面 BDC的距离，也就等于三棱锥 1BD的高。CBDCV11， 131CShBDBC， 312h所以，直线
43、 1AB到平面 BD1的距离是 32。西安市第一中学 高效课堂 “导教 学”三合一案 高一 年级 科目 数学 备案设计人 曾卫鹏 审批人（备课组长） 授课时间 课型： 课题： 距离的计算（2） 第_ 2 _课时知识与技能掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离过程与方法 通过空间中距离的计算，培养学生运用算法化思想解决问题的能力.情感、态度价值观经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过程，从而提高分析问题、解决问题的能力.重 点 空间距离的计算三维目标难 点 点到平面的距离个人修案探究点三 点到平面的距离思考 1 点到平面的距离的概念？答
44、 一点到它在一个平面内正射影的距离叫做点到这个平面的距离思考 2 怎样利用向量求点到平面的距离？答 如图所示，设 n 是平面 的法向量，PA 是平面 的一条斜线，则点 A 到平面 的距离d| n0|.PA 思考 3 如何求与平面平行的直线到该平面的距离？如何求平行平面间的距离？答 两者均转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解简单为准则例 3 如图，四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，E、F 分别是 AB、PD 的中点，若 PAAD3，CD .求点 F 到平面 PCE 的距6离解 如图，建立空间直角坐标系A(0,0,0)，P (0,0,3)，D(0
45、,3,0)，E ，F ，C( ，3,0)设平面 PCE 的法向量为 n( x，y，z)，(62，0，0) (0，32，32) 6 ，EP ( 62，0，3) .EC ( 62，3，0)Error!即Error!取 y1，得 n( ，1,1)，又 ，6 PF (0，32， 32)故点 F 到平面 PCE 的距离为 d .|PF n|n| 32 32|22 324小结引导三1点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得2.线面距、面面距均可转化为点面距拓展引导四如图所示，四棱锥 PABCD 中，PA面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，BADABC90，PAAD 2，ABBC1，试问在线段 PA 上是否存在一点 M，到平面 PCD 的距离为 ？若存在，33试确定 M 点的位置；若不存在，请说明理由解 如图，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，P(0,0,2) ，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设直线 AP 上有一点 M(0，0，z 0)，设平面 PCD 的一个法向量为 n( x，y，z) ，则由Error! 得Error!令 z1，得Error! n (1,1,1)n 0 n .1|n
