1、圆学子梦想 铸金字品牌- 1 -温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。规范答题强化练(一)函数与导数(45分钟 48 分)1.(12分)已知函数 f(x)=ax+x2-xln a-b(a,bR,a1),e 是自然对数的底数.(1)当 a=e,b=4时,求函数 f(x)的零点个数.(2)若 b=1,求 f(x)在-1,1上的最大值.世纪金榜导学号 37680917【解析】(1)f(x)=e x+x2-x-4,所以 f(x)=e x+2x-1,所以 f(0)=0,当 x0时,e x1,所以 f(x)0,故
2、 f(x)是(0,+)上的增函数,当 x0,所以存在 x1(1,2)是 f(x)在(0,+)上的唯一零点;f(-2)= +20,f(-1)= -20 时,由 a1,可知 ax-10,ln a0,所以 f(x)0, (8 分)当 x1,可知 ax-10,圆学子梦想 铸金字品牌- 2 -所以 f(x)1),1因为 g(x)=1+ - = 0(当且仅当 x=1 时等号成立),所以 g(x)在(0,122(1-1)2+)上 单调递 增,而 g(1)=0,所以当 x1 时,g(x)0, 即 a1 时,a- -2ln a0,所以 f(1)1f(-1).所以 f(x)在-1,1上的最大值为 f(1)=a-l
3、n a. (12 分)2.(12分)设函数 f(x)= -kln x,k0.22(1)求 f(x)的单调区间和极值.(2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, 上仅有一个零点.【解析】(1) 由 f(x)= -kln x(k0)得 f(x)=x- = .(2 分)22 2-由 f(x)=0解得 x= .f(x)与 f(x)在区间(0,+)上的情况如下:x (0, ) ( ,+)f(x) - 0 +f(x) (1-)2 圆学子梦想 铸金字品牌- 3 -(4 分 )所以,f(x)的单调递减区间是(0, ),单调递增区间是( ,+);f(x)在 x= 处取得 极小值 f( )= .
4、(6 分)(1-)2(2)由(1)知,f(x)在区间(0,+)上的最小值为 f( )= .因为 f(x)存在零(1-)2点,所以 0,(8 分)(1-)2从而 ke.当 k=e 时,f(x)在区间(1, )上单调递减,且 f( )=0, 所以 x= 是 f(x)在区间(1, 上的唯一零点. (10 分) 当 ke 时,f(x)在区间(0, )上单调递减,且 f(1)= 0,f( )= 0.2(1)若 x=1是函数 h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数 a的值.(2)若对任意的 x1,x21,e(e 为自然对数的底数)都有 f(x1)g(x 2)成立,求实数 a的取值范围.【解析】(1)
5、 由已知 h(x)=2x+ +ln x,x ,所以 h(x)=2- + . (2 分)2 (0,+ ) 221圆学子梦想 铸金字品牌- 4 -因为 x=1 是函数 h(x)的极值点,所以 h(1)=0,即 3-a2=0,因为 a0,所以 a= . (43分)(2)对任意的 x1,x21,e都有 f(x1)g(x2)成立 ,等价于对任意的 x1,e都有f(x)ming(x)max. (6 分)当 x1,e时,g(x)=1+ 0,所以 g(x)=x+ln x 在 上是增函数,所以g(x) max1 1,=g(e)=e+1,因为 f(x)=1- = ,且 x1,e,a0,22(+)(-)2当 00,
6、所以函数 f(x)=x+ 在1,e(+)(-)2 2上是增函数,所以f(x) min=f(1)=1+a2,由 1+a2e+1,得 a ,又 00,所以函数 f(x)=x+ 在1,a)上是减函数,在(a,e上是增函数,(+)(-)2 2(7 分)所以f(x) min=f(a)=2a,由 2ae+1,得 a ,又 1ae,所以 ae. (8 分)+12 +12当 ae 且 x1,e时,f(x)= e,所以 ae.2 2 综上所述,a 的取值范围为 . (12 分)+12 ,+ )4.(12分)已知函数 f(x)= ln x+ ,其中常数 k0. 世纪金榜导(+4) 4-2学号 37680918(1
7、)讨论 f(x)在(0,2)上的单调性.(2)当 k4,+)时,若曲线 y=f(x)上总存在相异两点 M(x1,y1),N(x2,y2),使曲线 y=f(x)在 M,N两点处的切线互相平行,试求 x1+x2的取值范围.【解析】(1) 由已知得 ,f(x)的定义域为 ,(0,+ )且 f(x)= - -1=- =- (k0). (2 分)+4 422-(+4)+42(-)(-4)2当 0k0,且 2,所以 x(0,k)时 ,f(x)0. (3 分)4 4所以,函数 f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数; (4 分)当 k=2 时, =k=2,f(x)2 时,0 ,所以 x 时,
8、f(x)0,4 4 (0,4) (4,2)所以函数在 上是减函数,在 上是增函数. (6 分)(0,4) (4,2)圆学子梦想 铸金字品牌- 6 -(2)由题 意,可得 f(x1)=f(x2),x1x20 且 x1x2,即 - -1= - -1,+41 421+42 422化简得,4(x 1+x2)= x1x2, (8 分)(+4)由 x1x2 对 k4,+)恒成立,令 g(k)=k+ ,则 g(k)=1- = 0 对16+4 4 422-42k4,+)恒成立 , (10 分)所以 g(k)在 4,+)上单调递增,则 g(k)g(4)=5,所以 ,所以 x1+x2 ,故 x1+x2 的取值范围为16+4165 165. (12 分)(165,+ )关闭 Word 文档返回原板块
