1、圆学子梦想 铸金字品牌- 1 -温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时分层作业 四十一空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(每小题 5分,共 35分)1.给出三个命题:若两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行;若两条直线与一个平面垂直,则这两条直线互相平行;若两条直线与一个平面平行,则这两条直线互相平行.其中正确的命题的个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 B.若两条直线与同一个平面所成的角相等,则这两条直线与平面的法向量夹角相等,这些直线构成以法向量为轴的某
2、个对顶圆锥.故错误;两条直线与平面垂直,则这两条直线与平面的法向量平行,则根据公理 4,两直线平行,故 正确;两条直线与一个平面平行,这两条直线可能异面、平行或相交.故错误.2.下列命题中成立的个数是 ( )直线 l 平行于平面 内的无数条直线,则 l;若直线 l 在平面 外,则 l;若直线 lb,直线 b,则 l;圆学子梦想 铸金字品牌- 2 -若直线 lb,直线 b,那么直线 l 就平行于平面 内的无数条直线.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 A.直线 l 平行于平面 内的无数条直线,包括 l 和 l,故不成立;直线 l 在平面 外,包括 l 与 相交和 l,故不成立;直线 lb,
3、直线b,包括 l 和 l,故不成立;直线 lb,直线 b,那么 l 平行于 内与直线 b 平行的所有直线,所以直线 l 就平行于平面 内的无数条直线,故只有成立.3.有如下三个命题:分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线;垂直于同一个平面的两条直线是平行直线;过平面 的一条斜线有一个平面与平面 垂直.其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 C.分别在两个平面中的两条直线不一定是异面直线,故错误.此命 题是直线与平面垂直的性质定理,故正确.可过 斜线与平面 的交点作一条垂直于平面 的直线,则斜线与垂线所确定的平面即与平面 垂直 ,这样的平面有且只有一个 .故正确.
4、所以正确.4.在空间中,下列命题中不正确的是 ( )A.若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点B.任意两条直线能确定一个平面圆学子梦想 铸金字品牌- 3 -C.若点 A既在平面 内,又在平面 内,则 与 相交于直线 b,且点 A在直线 b上D.若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线【解析】选 B.在 A 中,若两个平面有一个公共点,则由公理 3 知它们有无数个公共点,故 A 正确;在 B 中 ,由公理 2 知,两条平行线或两条相交线能确定一个平面,两条异面直线不能确定一个平面,所以任意两条直线不能确定一个平面,故 B 错误;在 C 中 ,若点 A 既在平面 内,又在平面 内,则由公理
5、3 知 与 相交于直线 b,且点 A 在直线 b 上,故 C 正确;在 D 中,假设任意三点共线,则根据“经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面”,所以四个点共面 ,与原 题意不符,所以四个点不共面,则其中任意三点不共线,故 D 正确.5.已知直线 l 与平面 相交但不垂直,m 为空间内一条直线,则下列结论一定不成立的是 ( )A.ml,m B.ml,mC.ml,m D.ml,m【解析】选 D.设过 l 和 l 在平面 内的射影的平面为 ,则当 m 时,有ml,m 或 m,故 m 与 不可能垂直,故 D错误.【变式备选】若直线 a不平行于平面 ,则下列结论成立的是 ( )A. 内的所有直线都
6、与直线 a异面B. 内不存在与 a平行的直线C. 内的直线都与 a相交圆学子梦想 铸金字品牌- 4 -D.直线 a与平面 有公共点【解析】选 D.直线 a 不平行于平面 ,则 a 与平面 相交或 a,所以 D 正确.6.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ABC=120,|AB|=2,|BC|=|CC 1|=1,则异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为 ( )世纪金榜导学号 37681078A. B. C. D.32 155 105 33【解析】选 C.补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,如图所示,连接 BD,DC1,则所求角为BC 1D 或其补角,因为|BC 1|= ,2|BD|=
7、= ,|C1D|=|AB1|= ,22+1-221603 5因此,cos BC1D= = .|1|2+|1|2-|22|1|1| 105【误区警示】本题易对两异面直线 AB1与 BC1所成角找不准导致计算错误.7.如果直线 AB与平面 相交于 B,且与 内的三条直线 BC,BD,BE所成的角相同,则直线 AB与平面内和该直线异面的直线所成的角为 ( )世纪金榜导学号 37681079A. B. C. D.4 2 3 6圆学子梦想 铸金字品牌- 5 -【解析】选 B.由于线面所成的角范围大于等于零度,小于等于 90 度,那么一条斜线与平面中过斜足的三条直线所成的角都相等,除非是直线 AB 与平面
8、垂直.所以直线 AB 与平面内和该直线异面的直线所成的角为 .2二、填空题(每小题 5分,共 15分)8.在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为平行四边形,E,F 分别为侧棱 PC,PB的中点,则 EF与平面 PAD的位置关系为_,平面 AEF与平面 ABCD的交线是_. 【解析】由题易知 EFBC,BCAD,所以 EFAD,故 EF平面 PAD,因为 EFAD,所以E,F,A,D 四点共面,所以 AD为平面 AEF 与平面 ABCD 的交线.答案:平行 AD【题目溯源】本题来源于人教 A版必修 2 P63B组第 1题.【变式备选】如图,在四棱锥 S-ABCD中,底面 ABCD是正方形,四
9、个侧面都是等边三角形,AC 与 BD交于点 O,E为侧棱 SC的中点.则 SA与平面 BDE的关系是_. 【解析】连接 OE,因为 E,O 分别是 SC,AC 的中点,所以 OESA,因为 OE平面BDE,SA平面 BDE,所以 SA平面 BDE.答案:平行9.将边长为 1的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 OO1旋转一周形成圆柱,如图,圆学子梦想 铸金字品牌- 6 -AOC=120,A 1O1B1=60,其中 B1与 C在平面 AA1O1O的同侧.则异面直线 B1C与 AA1所成的角的大小是_. 世纪金榜导学号 37681080 【解析】设点 B1 在下底面圆周的射影为 B,连接 BB1,
10、则 BB1AA1,所以BB 1C 为直线 B1C 与 AA1 所成角(或补角),|BB 1|=|AA1|=1,连接 BC,BO,AOB=A1O1B1= ,3AOC= ,所以BOC= ,所以BOC 为正三角形,所以|BC|=|BO|=1,tanBB 1C=1,23 3所以直线 B1C 与 AA1 所成角大小为 45.答案:45【方法技巧】作两条异面直线所成角的方法是:将其中一条直线平移与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交,然后在同一平面内求相交直线所成角.提醒:平移后相交线所得的角必须容易算出,因此平移时要求选择恰当位置.10.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 P
11、,Q,R分别是线段 B1B,AB和 A1C上的动点,观察直线 CP与 D1Q,CP与 D1R,给出下列结论:世纪金榜导学号 37681081对于任意给定的点 P,存在点 Q,使得 D1QCP;对于任意给定的点 Q,存在点 P,使得 CPD 1Q;圆学子梦想 铸金字品牌- 7 -对于任意给定的点 R,存在点 P,使得 CPD 1R;对于任意给定的点 P,存在点 R,使得 D1RCP.其中正确的结论是_.(填序号) 【解析】只有 D1Q平面 BCC1B1,即 D1Q平面 ADD1A1时,才能满足对于任意给定的点 P,存在点 Q,使得 D1QCP,因为过 D1点与平面 DD1A1A 垂直的直线只有一
12、条D1C1,而 D1C1AB,所以错误;当点 P 与 B1重合时,CP AB,且 CPAD1,所以 CP平面 ABD1,因为对于任意给定的点 Q,都有 D1Q平面 ABD1,所以对于任意给定的点 Q,存在点 P,使得 CPD1Q,所以正确; 当 R 与 A1重合时,在线段 B1B 上找不到点 P,使 CPD1R,所以 不正确;只有当 CP平面 A1CD1时,才正确,所以对于任意给定的点 P 不存在点 R,使 D1RCP,故 不正确.答案:【变式备选】已知 a,b,c为三条不同的直线,且 a平面 ,b 平面,=c.给出下列命题:若 a与 b是异面直线,则 c至少与 a,b中的一条相交;若 a不垂
13、直于 c,则 a与 b一定不垂直;若 ab,则必有 ac;若 ab,ac,则必有 .正确的是_.(填序号) 圆学子梦想 铸金字品牌- 8 -【解析】中若 c 与 a,b 都不相交,则 ca,cb,故 ab,这与 a 与 b 是异面直线矛盾,正确;中若 ,bc,则 b,ba,这与 a 与 c 是否垂直无关,错;中若 ab,则 a,又 =c,所以 ac,正确;中当 bc 时, 与 可能不垂直,错.答案:1.(5分)设 m,n是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 世纪金榜导学号 37681082( )A.若 m,n,则 mnB.若 ,m,n,则 mnC.若 =m,n,则 nD.若
14、 m,mn,n,则 【解析】选 D.若 m,n,则直线 m,n 可以是平行、相交、异面,所以 A 不正确.若 ,m,n,则直线 m,n 可以是平行或异面 ,所以 B 不正确.C 选项显然不正确.【变式备选】设 m,n是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )A.若 ,m,n,则 mnB.若 ,m,n,则 mnC.若 mn,m,n,则 D.若 m,mn,n,则 圆学子梦想 铸金字品牌- 9 -【解析】选 D.构造一个正方体,将各选项中的条件对应于正方体中的线和面,不难知道,A,B,C 是典型错误命题.2.(5分)等边三角形 ABC与正方形 ABDE有一公共边 AB,二面角
15、C-AB-D的余弦值为 ,M,N分别是 AC,BC的中点,则 EM,AN所成角的余弦值等于 世纪金榜导33学号 37681083( )A. B. C. D.13 33 63 16【解析】选 D.如图,点 C 在平面 ABDE 内的射影为点 O,点 F为 AB 的中点,连接OC,OF,CF,cosCFO= .设正方形的边长为 2,|OF|=|CF|cosCFO= =1,33 3 33即点 C 在平面 ABDE 内的射影为正方形的中心,那么四棱锥 C-ABDE 是正四棱锥,所以 = ( + ), = - ,即 = ( + ) = -12 12 12 14 12 +- = 22cos 60-0+ 2
16、2- 22cos 60= ,而| |= ,| |= ,14 12 14 14 12 12 3 3所以 cos= = = ,即所求余弦值为 .123316 16圆学子梦想 铸金字品牌- 10 -3.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上,且 ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF相交的平面个数分别记为 m,n,那么 m+n=( )世纪金榜导学号 37681084A.8 B.9 C.10 D.11【解析】选 A.由题意可知直线 CE 与正方体的上底面平行,在正方体的下底面上,与正方体的四个侧面不平行,所以 m=4,直线 EF 与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上
17、下底面相交,前后侧面相交,所以 n=4,所以 m+n=8.【变式备选】给出下列四个命题:平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;若平面 内的一条直线 a与平面 内的一条直线 b相交,则 与 相交;若一条直线和两条平行线都相交,则这三条直线共面;若三条直线交于同一点,则这三条直线共面.其中真命题的序号是_. 【解析】正确,因为直线在平面外,即直线与平面相交或直线平行于平面,所以最多有一个公共点.正确,a,b 有交点,则两平面有公共点,则两平面相交.正确,两平行直线可确定一个平面,又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上,所以过这两交点的直线也在平面内,即三线共面.错误,这三条直线可以交于同
18、一点,但不在同一平面内.圆学子梦想 铸金字品牌- 11 -答案:4.(15分)如图,在三棱锥 P-ABC中 ,PA底面 ABC,D是 PC的中点,已知BAC =,AB=2,AC=2 ,PA=2.求:2 3世纪金榜导学号 37681085(1)三棱锥 P-ABC的体积.(2)异面直线 BC与 AD所成角的余弦值.【解析】(1)S ABC= 22 =2 ,三棱锥12 3 3P-ABC 的体积为 V= SABCPA= 2 2= .13 13 3 433(2)如图 ,取 PB 的中点 E,连接 DE,AE,则 EDBC,所以ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角.在ADE 中,DE=2,AE= ,AD=2,2cosADE= = .22+22-2222 34故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .34关闭 Word 文档返回原板块
