1、一、考前预测篇【考前预测篇 1】热点试题精做1.【2018 湖北省八校高三上学期第一次联考】已知集合*2|30 AxxN，则满足条件 BA的集合B的个数为A2 B3 C4 D8【答案】C【解析】 *2|30 1,2xxN，又BA，集合 的个数为 24个，故选 C2.【2018 广州市高三第一学期第一次调研测试】设命题 ： ， ，命题 ： ，p1x2q0x，则下列命题中是真命题的是012xA B pqpqC D【答案】B【解析】当 时， ，显然命题 为假命题；2x41p当 时， ，显然命题 为真命题.0100xq 为真命题， 为假命题， 为真命题.pqp故选 B .3.【2017 湖南长沙一中高
2、三模拟】已知实数 e,0()lg),xf若关于 的方程x2()0fxft有三个不同的实根，则 的取值范围为( )tA B ,1,C D21 (2,)【答案】A【解析】设 ，作出函数 的图象，如图所示，则 时， 有两个根，当mfxfx1mfx时， 有一个根，若关于 的方程 2()0fxft有三个不同的实数根，则原方程1等价于 20t有两个不同的实数根，且 1，或 ，当 1时， ，此时由2t，解得 或 ，满足 有 两个根， 有一个根，满足条件；m1m2fxfx当 时，设 2ht，则 即可，即 ，解得 ，综上，实数 的取10h0ttt值范围为 ，故选 At4.【2018 山东济南月考】已知函数 2s
3、in6fxx的图象为 ，则下列结论中正确的是( )MA图象 关于直线 1对称 B将 的图象向左平移 6个单位长度得到M2sinyxC图象 关于点 ,02对称 D 在区间 5,12上单调递增fx【答案】C【解析】将 sinyx的图象向左平移 6个单位长度得到 sin3yx的图象,故 B 错；在区间 5,12上有增有减，故 D 错；fx0,f图象 关于点 ,012对称，故 A 错误，C 正确，M故选 C5.【2018 安徽省蒙城县第一中学、淮南第一中学等高三上学期“五校”联考】已知函数 ()yfx对任意的(,)2x满足 ()cos()in0fxfx (其中 )fx是函数 ()fx 的导函数) ，则
4、下列不等式成立的是( )A ()34ff B 2()34fC (0)2ff D 0ff【答案】A【解析】令 2 2coscoscosin,cosfxfxfxfxfxgg则，由对任意的 (,)2x满足 ()()sin0ff可得 0g，所以函数 g在 ,上为增函数，所以 34g，即34coscsff，所以 234ff，故选 A6.【2017 江西省临川实验学校高三一模】设函数 2lnexfxa(其中 e为自然对数的底数) ，若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是 ( )fxaA 210,e B 210,e C 2, D 2,【答案】D【解析】令2lne0xfxa,则2lne(0)xx，设2
5、lnexhx，令21h， ，221lh，发现函数 在 0,上都是单调2lhx12,递增的，在 e,上都是单调递减的，函数2lnexx在 ,e上单调递增，在,上单调递减，故当 ex时，得max21eh，函数 至少存在一个零点需满足fx，即21ea.选 Dmxah7【2018 山东省栖霞市第一中学高三 4 月模拟考试】如图所示的程序框图中，输出 S的值是( )A 80 B 10 C 120 D 140【答案】C【解析】执行程序框图： 2,Sa， ；12,310Sa;64;,5;120,10SaS不成立，输出 120.S故选 C8【2016 安徽合肥第一次质检】存在实数 ，使得圆面 24xy恰好覆盖
6、函数 sin()yxk图象的最高点或最低点共三个，则正数 k的取值范围是_【答案】 3(,2【解析】由题意，知函数 sin()yxk图象的最高点或最低一定在直线 1y上，则由214yx，得 3又由题意，得 2Tk， 23T，解得正数 k的取值范围为 3(,29【2018 海南省高三第二次联合考试】已知 为偶函数，对任意 ， 恒成立，且当时， .设函数 ，则 的零点的个数为( )01 ()=()3A6 B7 C8 D9【答案】C【解析】由 为偶函数，对任意 ， 恒成立，知 ，所以函() ()=()=(2+)数的周期 ,又 知 ，所以函数的图象关于 对称，当 时，=2 ()=(2) 01，作出其图
7、象.并作出关于 对称的图象，得到函数在一个周期上的图象，其值域为=1，令 ，得 ，在同一直角坐标系内作函数 在 上的图象，由图=9象可知共有 8 个交点，所以函数 的零点的个数为 8 个.()10【2017 广东佛山市高三质检】若单位向量 1e， 2的夹角为 3，则向量 12e与向量 1e的夹角为( )A 2 BC 4 D 6【答案】A【解析】因为 121cos32e，所以 12112 21cos, 0eee，所以夹角为 ，故选 A11【2017 河南省普通高中高三 4 月教学质量监测】已知边长为 的菱形 中， ，若，则 的取值范围是( )A B C D(0,3 (2,3【答案】D【解析】如图
8、所示，建立平面直角坐标系，故 ， ， ，故( 3,0)， ，故 ，又 ，所以 .故选 D=( 3,) =32 (2,312【2018 贵州省凯里市第一中学高三下学期第一次模拟考试】已知 的前 项和为 ，na12nSm且 成等差数列， ，数列 的前 项和为 ，则满足145,2a1nnabnbnT的最小正整数 的值为( )078nTA8 B9 C10 D11【答案】C【解析】由题意得， ，当 时， ，由 成等差数列14aSm2n12nnaS145,2a可得 ，即 52=，解得 ，故 ，4152amn则 ，11nn nnb故 ，223 1122n nnnT 由 得 ，即 ，则 ，即 ，故 的最小值为
9、 .0178n1078n109n01013【2018 齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟试卷】已知实数 满足不等式,xy组0124yx，则 的最大值为( )3zxyA2 B4 C5 D6 【答案】B【解析】作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，由 得 .平移直线 ，结合图形可得，当直线经过可行域内的点3zxy3xz3yxzC 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 取得最大值.z由 1024x，解得 12y，故点 C 的坐标为（1，2）， .选 Dmax1236z14【2018 海南省高三第二次联合考试】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为 2，则该几何体
10、的体积为( )A B296 C D51251224【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去一个圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为 8，圆柱的底面半径为 2，高为 6，则该几何体的体积为： .本题选择 C 选项.15【2017 江西省抚州市临川区第一中学高三 4 月模拟检测】如图，将边长为 2 的正 ABC 沿着高折起，使 60BD，若折起后 四点都在球 的表面上，则球 的表面积为( )AABCD、 、 、 OA 132 B 13C D【答案】B【解析】将折叠后的三棱锥 置于正三棱柱中，如下图所示， BCD 是边长为 1 的正三角ABC形， ，外接球球心为 ，在 ODE 中，
11、， ， 23E，3AD 32OR所以 ，则球 的表面积为 14S，故选择 B 22134ROE16【2018 湖南株洲高三年级质量检测】在直三棱柱 1ABC中，侧棱长为 23，在底面ABC中， 60， 3AB，则此直三棱柱的外接球的表面积为 .【答案】 1【解析】设底面 的外接圆半径为 x，由正弦定理得 322sinABxC，所以 1x，所以外接球半径 2231()R，所以直三棱柱 1的外接球的表面积为 24SR16.17【2017 陕西省咸阳市高三二模】如图，正三棱柱 的所有棱长均为 2， 为棱 上一1ABCD1B点， 是 的中点EAB（I）若 是 的中点，证明：平面 平面 ；D1B1ADC
12、1E（）若平面 与平面 的夹角为 ，求 的长AC45B【答案】（I）见解析;（） .【解析】（I）由 ，知 ，,BECA又平面 平面 ，所以 平面 ，AC1A1B而 D平面 ， ，D在正方形 中，由 分别是 和 的中点知 ，1BE， 1A1DAE而 1AEC， 平面 ，AC D平面 ，平面 平面 .11D1（）取 的中点 为原点, 所在直线分别为 轴,建立如图所示坐标系 , O,BxyOxyz显然平面 的一个法向量为 10,n,ABC而 ,设 ,则 ，1,023(2)Dm12,01,3ACADm设 2,xyzn是平面 的法向量,则,0, 0xyzxzy，1取 23,1mn,则 1220,3,1
13、cos,6，解得 ,即 . 2361m1BD18【2018 浙江省嘉兴市高三 4 月模拟测试】已知椭圆2(0)xyab，直线 1:2lyx，直线21:lyx， P为椭圆上任意一点，过 P作 1Ml 且与直线 2l交于点 M，作 PNl 且与直线 1l交于点 N，若 22|MN为定值，则椭圆的离心率为_.【答案】 3【解析】令 22|PNt（ 为常数），设 121,MxNx，由平行四边形知识，可得 2222215|4MOt，设点 ,xy，因为 1212,xx，所以 12221845xytyx，此方程即为椭圆方程，即 32e，故答案为 32.19【2017 中原名校豫南九校高三质量考评】已知抛物线
14、 2:(0)Cypx的焦点为 F，准线为 l，过点 F的直线与抛物线交于 ,MN两点，若 MR l，垂足为 R，且 NMR，则直线 N的斜率为A 8B 4C 2D 2【答案】C【解析】依题意可设直线 MN 的方程为 ()2pykx，由方程组 2()pykx，消去 x 得220kypk，设 (,)(,)MNx，则 MN.由 RNM得|NRM，故点 N 的横坐标 2MNpx，所以 2()2NMpypx，故2 24()()pypx，即 0，解得 Mxp(M舍去)，所以 My，所以直线 MN 的斜率为 2Mypx，故选 C20【2018 海南省高三第二次联合考试】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：
15、“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座 5层塔共挂了 242 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 3 倍，则塔的底层共有灯( )A162 盏 B114 盏 C112 盏 D81 盏【答案】A【解析】由题意，每层塔所挂灯数构成以 13为公比的等比数列，设塔底所挂灯数为 a,则551324aS,解得 62a，故选 A21【2017 河南省郑州市高中毕业年级第三次质量预测】已知 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 的取值范
16、围是( )A BC D【答案】B【解析】若 在复平面内对应的点位于第二象限，则 ，所以 ，=1+(+2) 10 (2,1)故选择 B22【2018 四川省绵阳市高三第三次诊断性考试】双曲线 的离心率是 ，2:1xyEab(b， ） 5过右焦点 作渐近线 的垂线，垂足为 ，若 OFM （O 为坐标原点）的面积是 1，则双曲线 的Fl E实轴长是( )A1 B2C D2 2【答案】B【解析】由于双曲线的焦点到渐近线的距离为 ,故 |,|,|OFcMaFb,根据面积公式有b,而 ,解得 ,故实轴长 ,选 B1,22ab225,ca125223【2017 广东省广州市高三综合测试（一）】五个人围坐在一
17、张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来 ;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着. 那么,没有相邻的两个人站起来的概率为( )A B12 1532C D1132 516【答案】C【解析】根据题意没有相邻的两个人站起来包括三种情况：5 人都不站起来，或只有 1 人站起来，或由 2 人中间隔一人站起来，故没有相邻的两个人站起来的概率为 ，选 C24【2018 华大新高考联盟高三 4 月教学质量检测】已知椭圆 2:1xCya的离心率为 2，,AB是椭圆 C上的两个不同点.（1）若 O，且点 ,AB所在直线方程为 0yxm，求 的值；（2）若直线 ,
18、的斜率之积为 12，线段 OA上有一点 M满足 23OA，连接 BM并延长交椭圆 C于点 N，求 MB的值.【答案】（1） 23m；（2） 138.【解析】（1）由题知 2ea， 2a，椭圆 C的方程为21xy. 设 12,AxyB，将直线 yxm代入椭圆方程得: 22340xm，由根与系数的关系知:21214,3x. OAB， 120xy，即21221xmmx，将21214,33x代入得2430m，即 24m，解得 ，又 0， 3.（2）设 12,AxyB， 3,MNxy，由题知 3OM， 1,3xy， 121232,BxyBNxy.又 ， 121232, ,3xy，即31212,xy.来源
19、:学.科.网点 3,N在椭圆 C上，22113 13xy，即 22 21 122449x xyy.* 12,AB在椭圆 C上， 21，21y，又直线 ,O斜率之积为 ， 12yx，即 120x，将代入 *得 249，解得 38，即 BMN的值为 138.【考前预测篇 2】命题专家押题1已知集合 20Ax, ,15Byx,则B= ( )A ,2 B 2,5 C D 0【答案】B【解析】由题意,知20,2Ax, 1,5,所以 AB=2,5,故选 B2已知命题 :p若直线 1:lxay与直线 :0laxy平行，则 1a，命题 :0q，使得cosyx的最小正周期小于2，则下列命题为假命题的是( )A
20、pB qC pqD pq【答案】C【解析】由直线 1:lxay与直线 2:0laxy平行，得 1a或 ，因此命题 是假命题， p是真命题； cos的最小正周期T，当 4时，2T，因此命题 q是真命题，因此，答案为 C3已知函数 ()fx是定义在 R上的偶函数，且当 0x时，2()64fx，则230y的零点个数为 个【答案】【解析】令2()0fxf，解得 ()6()5fxfx或 .作出函数 ()fx的图象如图所示，观察可知， 6无解， ()5x有两解，故230y的零点个数为 2.4已知函数 lnaxfR的图象与直线 相切,设 gxft,若存在20xy0,x,使得 0egf,则实数 的取值范围是t
21、A B C ,1 D 1,【答案】A【解析】由题意得 21lnaxfx ,设切点 ,2mP,则 2lna, lnma,解得 e,所以 2elfx, f在 0,e上单调递增 , e,上单调递减, e1,f0f, f的图象如图所示,由图象可知 fx的值域为 ,1,所以 fx的值域为 ,所以gx的值域为 ,t,若存在 0,使得 0gx,则 0t, ,所以实数 的取值范围是t,0,故选 A 5在锐角 ABC 中，已知角 ,ABC的对边分别为 ,abc， 2 22sinsinsiinBAC，32a，且最短边 10b，则 c ( )A 10 B4 C2 D8 【答案】B【解析】由已知根据正弦定理得 22b
22、ac，由余弦定理得2cosacB.于是，结合 20，即得 4.由余弦定理得 22cosbaB，又 23a， 10b， 4B，所以 43)3()10( c，即 68c，解得 2c或 .因为最短边 ，所以 .故选 B6已知向量 ,ab满足 ()2，且 1a， 2b，则 a与 b的夹角为( )A B 3C 56 D【答案】D【解析】由 ()2Aab，得 2ab，即 2|cos,12cos,2abaab，所以1cos,，所以 ,3，故选 D7已知 A、 B为双曲线2:1(0,)xyab虚轴的两个端点， F为双曲线 的一个焦点，过点且与 x轴平行的直线与直线 BF交于 C点，若 |4Ba，则双曲线 的渐
23、近线方程为( )A32yB103yxC14xD62【答案】D【解析】由于 |4Ba， O为 AB的中点( 为坐标原点) ，又 ACx 轴，所以 |2BFa，在RtF中有22()bc，又 2+abc，可得 23ba，故所求的渐近线方程为6yx，故选 D8在算法统宗中有 一“以碗知僧”的问题，具体如下“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧. 三百六十四只碗，恰合用尽不差争. 三人共食一碗饭，四人共进一碗羹. 请问先生能算者，都来寺内几多僧. ” 记该寺内的僧侣人数为 0S，运行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为A414 B504 C462 D540【答案】C【解析】设僧侣人数为 x，则0364S，
24、则 024S；运行该程序，第一次， 2i，6241S，第二次， i， 1859，第三次， 4i， 59470S，第四次， 5i， 7035S，第五次， i， 360，第六次， i，0， i不成立，此时输出的 S的值为 42，故选 C.9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A32B643C16 D163【答案】A【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体表示三棱锥 ABC，故体积132(4)32V，故选 A10若不等式组10xy所表示的平面区域被直线 分成面积相等的两部分，则 的值为zxyzA B C D1221212【答案】D 【
25、解析】不等式组表示的可行域为三角形 ，如图所示：目标函数所在直线 将其可行域平分，ABE因为21ECABS，所以 ，设 ，则 ，得 ，所以12DC,0x12x12x.故选 D.1z11设 是公比大于 1 的等比数列， 为其前 项和，已知 ， ， ， 构成等差数nanS37S1a234a列（1）求数列 的通项公式；n（2）令 ，求数列 的前 项和 lbanbnT【解析】（1）设数列 的公比为 （ ），nq1由已知得 12327,4,aa即217,6q解得 1,2aq故数列 的通项公式为 na1n（2）由（1）得 ，1lnb所以 21021ln2nnT 1ln2n.21ln12已知椭圆 C的中心在
26、坐标原点，焦点在 x轴上，左顶点为 A，左焦点为 120F， ，点 2B,在椭圆 上，直线 0ykx与椭圆 C交于 E， F两点，直线 E， 分别与 y轴交于点 M，N（）求椭圆 的方程；（）以 M为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由【解析】（） 设椭圆 C的方程为21(0)xyab，因为椭圆的左焦点为 10F， ，所以 24 因为点 2B,在椭圆 上，所以 21ab由解得 a， b所以椭圆 C的方程为2184xy （）因为椭圆 的左顶点为 A，所以点 的坐标为 2,0 因为直线 (0)ykx与椭圆2184xy交于两点 E， F，设点 0,xy（不妨设 0x），
27、则点 0,F联立方程组 2,184ykx消去 y得 2281xk所以 02xk，则 02yk 所以直线 AE的方程为 21x因为直线 ， F分别与 y轴交于点 M， N，令 0x得 21ky，即点 20,1k同理可得点 2,Nk 所以222111kM设 N的中点为 P，则点 的坐标为 0,Pk则以 为直径的圆的方程为22xy21k，即 24xyk 令 0y，得 24x，即 或 故以 MN为直径的圆经过两定点 12,0P， 2,二、命题猜想篇【高考命题猜想 1】与圆相关的最值问题纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上,主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问
28、题.要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目时便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1.已知含参数的直线与圆的位置关系，求直线方程中参数的取值范围问题画出圆图象，利用直线过定点，结合图象即可确定直线方程中满足的条件，利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，列出关于参数的不等式或方程，即可求出参数的取值范围.【例 1】若直线 yxb与曲线 234yx有公共点，则 b
29、 的取值范围是（ ）A 2， 3 B 1，3 C ， D 2， 【分析】由题知曲线 24xy表示圆心在（2，3），半径为 2 的圆的下半部分，y=x+b 表示斜率为 1 的平行线，其中 b 是直线在 y 轴上的截距，作出图形，结合图象即可确定 b 满足的条件.【解析】由题可知， 243xy即 4)3()(22y)31(y，它表示圆心在（2，3），半径为 2 的圆的下半部分，y=x+b 表示斜率为 1 的平行线，其中 b 是直线在 y 轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，由点到直线的距离公式可知， 1d，解得21b，由图知 b 的取值范围是 3,21，故选 A【点评】对已知直
30、线与圆或可化为圆的曲线的位置关系求参数范围问题，数形结合是寻找解题思路的关键，要熟悉直线与圆的位置关系的判定，正确运用点到直线的距离公式.2.已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问题作出相应的图形，利用数形结合思想找出圆中相关量，如圆心坐标、圆心到某点距离、圆的半径、圆的弦长或圆的弦心距等满足的条件，列出不等式或方程或函数关系，再利用相关方法求出参数的取值范围.【例 2】设点 0,1Mx，若在圆 2:+1Oxy上存在点 N，使得 45OM，则 0x的取值范围是（ ）A , B ,2 C 2, D 2,【分析】作出图象，由图知，圆心 O 到直线 ON 的距离小于等于 1，
31、从而得出 O，列出关于 0x的不等式，即可解出 0x的范围.【解析】依题意，直线 MN 与圆 有公共点即可，即圆心 O到直线 MN 的距离小于等于 1 即可，过 O作OAMN，垂足为 A，在 RtOM 中，因为 A45，故 2sin45M，所以 2M，则 201x，解得 01x【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系及数形结合思想，解决本问题的关键是通过数形结合找出点M 满足的条件.3. 与距离有关的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小、最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最
32、值问题、过定点的圆的弦长最值问题等.这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解,与圆有关的长度最值问题有以下题型：圆外一点 A到圆上距离最近为 AOr，最远为 Ar；过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离 dr，最近为 dr；过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积；圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题，利用两点间距离公式转化二元函数的最值问题，利用消元法转化一元函数在某个区间上的最值问
33、题求解.【例 3】设 QP,分别为圆 262yx和椭圆 102yx上的点，则 QP,两点间的最大距离是（ ）A 25 B 4 C 27 D 26【分析】依题意 QP,两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径 2，再利用两点间距离公式和消元法转化为函数最值问题，即可求出最值.【解析】依题意 ,两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径 .设(,)Qxy，则圆心到椭圆的最大距离 222(6)9146dxyy29()503x.所以 QP,两点间的最大距离是 26.故选 D【点评】对于与圆有关的长度最值问题，要掌握相关题型与转化方法，利用几何法或函数法
34、求出最值.4. 与面积相关的最值问题与圆的面积有关的最值问题，一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想， 利用数形结合思想求解.XK【例 4】动圆 C 经过点 (1,0)F，并且与直线 1x相切，若动圆 C 与直线 21yx总有公共点，则圆 C 的面积为（ ）A有最大值 8 B有最小值 2 C有最小值 3 D有最小值 4【分析】设出动圆圆心坐标与半径，根据条件找出半径与圆心满足的关系式，再利用动圆 C 与直线21yx总有公共点，列出某个量的不等式，求出其取值范围，从而求出圆的半径的取值范围,作出正确选择.
35、【解析】设圆心为 (,)ab，半径为 r， |1|CFa，即 22()(1)ba，即 24b，圆心为 21(,)4b， 214r，圆心到直线 2yx的距离为2| |41d， 3或 b，当 时， min14r， 2minSr.【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、转化与化归思想及运算求解能力，转化与化归思想是解题的关键.5.圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题本类问题有三种解题思路，思路 1：充分利用所给式子的几何意义，利用数形结合思想解题；思路 2：设所给式子等于 z，代入圆的方程化为一元二次方程，利用判别式即可求出参数的范围；思路 3：利用圆的参数方程或消元法化为函数问题，利用函数求
36、最值的方法求最值,注意变量的范围.【例 5】实数 x、y 满足 236yx，则 2y的最大值为 .【分析】 2表示曲线 2上的点到坐标原点的距离，故可用消元法化为关于 y 的函数，再求最值.【解析】由题： 0,232 xxy，因此 29)3(1232 xxy，所以当 x=2 时， 取得最大值 4，故 2.【点评】本题考查了消元法及函数的最值的求法，要掌握本类试题中一些式子的几何意义，如 22)()xayb（表示曲线上点 (,)xy与点（a,b）之间距离的平方； ybxa表示曲线上点 (,)xy与点（a,b）连线的斜率； zAB注意将直线 zAxBy在坐标轴上的截距与 z 联系起来解题.综上所述
37、，解决与圆相关的最值问题的关键是要善于利用数形结合思想，利用几何知识求最值，要善于利用转化与化归思想将最值问题转化为函数的最值进行求解.一般是根据条件列出关于所求目标的式子函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用【高考命题猜想 2】几何体与球切、接的问题纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际 教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认
38、识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.1 球与柱体的切、
39、接问题规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图所示，正方体 1ABCD，设正方体的棱长为 a， ,EFHG为棱的中点， O为球的球心.常见组合方式有三类：一 是球为正方体的内切球，截面图为正方形 EFG和其内切圆，则 2aJr；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 H和其外接圆，则 GOR；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 1AC和其外接圆，则 132Aa.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形
40、式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.（1）正方体的内切球，如图 1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2ra. （2）正方体的外接球，如图 2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 23ra.（3）正方体的棱切球，如图 3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有
41、2ra.例 1 棱长为 1 的正方体 1ABCD的 8 个顶点都在球 O的表面上， EF， 分别是棱 1A，D的中点，则直线 EF被球 O截得的线段长为（ ）A 2 B 1 C 21D 2思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面 1A截面所得圆面的半径 12,AR得知直线 EF被球 O截得的线段就是球的截面圆的直径.【解析】由题意可知，球为正方体的外接球.平面 1D截面所得圆面的半径 12,D1AD面 ， 直线 EF被球 O截得的线段为球的截面圆的直径 2R.点评：本题考查球与正方体“接”的问题，利用球的截面性质，转化成为求球的截面圆直径.1.2 球与长方体例 2 自半径为 R的球面上一
42、点 M，引球的三条两两互相垂直的弦 MCBA,，求2CMBA的值思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联【解析】以 ,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥 ABCM补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径 22MCBA= 24)(R点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算.例 3 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积为（ ）A 16 B 20 C 2 D 32【思路分
43、析】正四棱柱也是长方体.由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2，可得长方体的长、宽、高分别为 2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.【解析】正四棱柱也是长方体.由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2，因此，长方体的长、宽、高分别为 2，2，4，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径.长方体体对角线长为 26，故球的表面积为 .故选 C点评：本题考查球与长方体“接”的问题，利用长方体的性质，转化成为求其体对角线.2 球与锥体的切接规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 正四面体与球的切接问题 （1）正四面体的内切
