1、1一.集合1.集合 不加定义的概念。一般地，将某些满足一定性质的事物的全体称为集合，简称集。称其中的任何一个个体为该集合的元素。常用大写字母 等表示,ABC集合，用小写字母 等表示元素。若元素 在集合 中，则称 属于 ，记,abcaa为 。aA集合一旦规定了，它的元素就确定了。 “所有高个子的全体”这样一个含糊不清的东西是不能作为集合的。2.集合的表示法一般地，集合有两种表示方法：描述法和列举法。描述法，是通过叙述集合元素所满足的特征来表示集合，一般形式是，其中 为关于 的一个命题。例如， 就()Axp()px 2(,)1Axy表示单位圆周。列举法，是通过列举集合的元素来表示集合，一般形式是
2、。例,ab如： 就表示自然数集。0,12A3.常见数集用 表示自然数集，用 表示正整数集。NN用 表示整数集。Z用 表示有理数集，用 表示正有理数集。QQ用 表示实数集，用 表示正实数集。RR用 表示复数集。C4.有限集，无限集和空集若集合的元素为有限多个，则称其为有限集，否则称为无限集。不含任何元素的集合称为空集，记为 。5.集合的包含和相等关系若集合 的元素全都属于 ，则称 包含于 中，记为 。也可以说ABABAB成 包含 ，记为 。此时，也称 为 的一个子集。B2任何一个集合都是自身的子集。空集是任何一个集合的子集。若集合 与 的元素都相同，则称 与 相等，记为 。 当且仅ABABAB当
3、 且 。若集合 包含于 ，但 不等于 ，则称 真包含于 ，记为 。也可以说成 真包含 ，记为 。此时也称 为 的一个真子集。BABAB空集是任何一个非空集合的真子集。6.集合之间的运算和运算规律称属于 或属于 的元素的全体组成的集合为 与 的并集，记为 ，AB即 。 ABxB或称属于 且属于 的元素的全体组成的集合为 与 的交集，记为 ，AB即 。且以上定义可推广到任意多个的情形。设 为一个指标集， 为一族II集合。称 为这族集合的并集，称IAxIxA 存 在 一 个 ， 使 得为这族集合的交集。I Ix对 每 个 ， 都 有称属于 但不属于 的元素的全体组成的集合为 与 的差集，记为 ，BB
4、AB即 。ABx且 称不属于 的元素全体所组成的集合为 的余集，记为 ，即 。A=x根据定义， 。AB以下用文氏图来表示集合的运算。图 1集合之间的运算满足下面几个规律：3 吸收律若 ，则 , 。ABAB 交换律， 结合律，()()ABC()()ABC 分配律，()()()()()()ABC它可推广到任意多个的情形。设 为一个指标集， 为一族集合，则II，()()IIABA()()II 对偶律(德 摩根律),BA它可推广到任意多个的情形。设 为一个指标集， 为一族集合，则II，IIAII7.集合的笛卡尔积设 为集合，称 为 的12,nA 12(,),12,niixxAn 12,nA笛卡尔积，记
5、为 。12nA8.区间与邻域(1)区间设 都是实数，且 。,abab数集 称为(有限)开区间，记作 ，即 。x (,)ab(,)xab其中 分别称为开区间 的左右端点，这里 ， 。, , ,数集 称为(有限)闭区间，记作 ，即 ，xabx其中 分别称为闭区间 的左右端点，这里 ， 。,a,ab,a类似地有：4(有限)左闭右开区间 ，其中， ， 。,abxb,ab,a(有限)左开右闭区间 ，其中， ， 。无限区间 ； ;,axa,xa； ;()bb(,)R各种类型的区间统称为区间。(2)邻域设 ，称开区间 为以 为中心， 为半径的邻域，简称 的0(,)aaa邻域，记作 ，即(,)Uxxa如果不需要强调邻域的半径，也可以记为 。()U(3)去心邻域设 ，称 为以 为中心， 为半径的去心邻域，0xaxa且 简称 的 去心邻域， 记作 ，即a(,)(,) 0Uxaxaxa 且如果不需要强调去心邻域的半径，也可以记为 。()U4.左，右邻域设 ，称 点 的左 邻域， 为点 的右 邻域。(,)a(,)aa
