1、127第六章 二 次 型内容提要一、基本概念1.二次型含有 个变量 的二次齐次多项式nnx,21 nxaxxaxf 1312121 2),( 2n称为一个( 元) 二次型.本章只讨论实二次型,即系数全是实数的二次型.n由于 ,具有对称性,若令 , ,则ijjixijjia, .ijjiji xa2于是可以写成对称形式nn xxf 13121121),( aa222 321 nnnna.ijjix记, ,nnnaaA 212112 nxX21则二次型可以用矩阵形式表示为.AxfT),(1我们把 称为二次型对应的矩阵, 是一个对称矩阵.事实上,由一个实A对称矩阵也可构造唯一的实二次型,也就是说,实
2、二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的,所以,研究二次型的性质可以转化为研究 所具有的性质.2.二次型的标准形和规范形128标准形 ,2212nybybf规范形 , 分别称为正惯性指数21qppzzz和负惯性指数, 称为二次型的符号差.qp3.线性变换及其矩阵两组变量 与 的一组线性关系式nx,21 ny,21nnn nycycx 2121称为由 到 的一个线性变换,它可表示成矩阵形式nx,21 y,21 X,其中矩阵 称为线性变换的系数矩阵.CY)(ijc(1)若 可逆 ,则 Y= 称可逆变换;XC若 是正交矩阵,即 ,则称 为正交变换.)(* 1TCYX4.正定二次型及正定矩阵设有实二次型 ,
3、如果对任何 都有 ,则称AfT,00AXfT为正定二次型,并称对称矩阵 是正定矩阵.f5.合同矩阵设 与 为 阶矩阵,若存在可逆矩阵 ,使得 ,则称 与 是ABnCBTB合同的,记作 ,满足:(1)反身性 ;(2)对称性 若 ,则 ;BA(3)传递性 若 , ,则 .二、几个结果1.化二次型 为标准形的方法 (1)配方法; 正交变换法.XfT)2(*2.(1) 正定的充分必要条件A 的正惯性指数等于 ;n 的所有特征值均为正; 的各阶顺序主子式全为正,即129, , , .01a021a 0212112nnnaa 与 E 合同,即存在可逆矩阵 D,使得 = .AADT(2) 正定的必要条件 的
4、主对角线上的元素均大于零; 的行列式大于零.3. , 是同阶正定矩阵,则 , , , , , 均BT1m)(PlBk)0,(l为正定矩阵,其中 为系数全为正的多项式, 是正整数.若 也正定,则要)(xPA求 = 成立 .A4.惯性定理设有实二次型 , ,有两个实的可逆变换 及AXxfT)(r)( PYX,使QZ,221rykyk )0(i.zzf则 中正数的个数与 中正数的个数相等,即无论做何rk,21 r,21种可逆线性变换将二次型化为标准形或规范形,正惯性指数和负惯性指数都是由原二次型唯一确定的.5.矩阵合同的性质(1)任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同;(2)与对称矩阵合同的矩阵必定是对
5、称矩阵; (3)两个实对称矩阵合同的充要条件 有相同的秩,有相同的正惯性指数.例题解析例 1 设二次型31212321321 975),( xxxxf 试求二次型矩阵 .A解 显然, , , , , .1a23a212a32a231a于是得130.327951A注 二次型矩阵 是对称矩阵,其主对角线元素 与二次型中平方项ia的系数相同 ,而非主对角线元素 恰为二次型中交叉项 的系数的一半.2ix ijajx利用矩阵表示二次型为 时,如果 不是对称矩阵,则除 之和AXf jiija是二次型 的系数外, 和 均不能唯一地被确定.由此可知,二次型与对jixijji称矩阵一一对应,因而称对称矩阵为该二
6、次型的矩阵.例 2 已知三阶矩阵 和向量 ,其中, .2310A321xX求二次型 的矩阵.X解 由于 不是对称矩阵,故 不是二次型 的矩阵.因为AA 3213210),(xx,32121321 46故此二次型的矩阵为.23例 3 下列从变量 到 的线性替换中非退化线性替换为( ).31,x321,y32132)(yxA32132)(yxB32)(C 32132)(D解 线性替换 是非退化的,当且仅当 .故只需计算各线性替CYX0C131换矩阵的行列式.对于 ,有)(A,012C故 不是非退化线性替换.)(对于 ,同样可判断它不是非退化线性替换.B对于 ,有,0102C故本题应选 .)(例 4
7、 设 为实对称阵,且 ,把二次型 化为AAAXf的线性变换是 .YAf1XY解 令 ,则1,111)()()( Y即.AAAf1应填 .1A例 5 对于二次型 ,其中 为 阶实对称矩阵,下述各结论XxfT)(n中正确的是( ).为标准形的非退化线性替换是唯一的)(xf化为规范形的非退化线性替换是唯一的B化的标准形是唯一的(C的规范形是唯一的)fD解 一个二次型化为标准形或规范形可应用不同的方法,对应的非退化线性替换也不同,标准形也不一定相同,故 均不正确.但是,无论应)(,CBA用何种方法把二次型化为规范形,规范形中非零平方项个数(即二次型的秩)、及其正项、负项的个数(即正惯性指数、负惯性指数
8、)都是唯一确定的.故本题应选 .例 6 三阶的实对称矩阵 的特征值为 , ,则二次型* 1213AXxf),(321的规范形为 .分析 实对称矩阵 可经过正交变换化为对角矩阵,相应的二次型132就化为标准形.AXxf)(解 由已知条件,二次型 的标准形为 ,故其规范形为)(xf 2321y.2321z例 7 设 是同阶实对称阵,已知 ,证明 与 合同.举例说明反*BBA之不成立.证 因为 , 均为实对称阵,故均可对角化,且存在正交阵 使A QP, .11P21Q因为 ,所以 的特征值相同,适当排列 的列,可使 ,于是P21, ,BQ1 BAW11其中 .W因为 均为正交阵,故 也是正交阵,所以
9、 ,即WT1与 合同.AB反之, 与 合同,不能推出 .A例如, , ,存在可逆阵 ,使得411B21C.BACT 242故 与 合同,但 与 不相似,因为它们的特征值不同.B注 相似的实对称阵必合同,注意条件实对称阵是重要的,对一般矩阵并不成立.例 8 任何一个 阶满秩矩阵必定与 阶单位矩阵( ).nn合同 相似 等价 以上都不对)(A)()C)(D解 任一个 阶满秩矩阵都可以经过有限次的初等变换化为 阶单位矩n阵,故 阶满秩矩阵都与 阶单位矩阵等价.n只有单位矩阵与单位矩阵相似.只有正定矩阵与单位矩阵合同.故本题应选 .)(C例 9 设 均为 阶实对称矩阵,且 ,则( ).BA,nAB都是
10、对角矩阵 有相同的特征值)()( rD解 意味着存在可逆矩阵 ,使得 ,并未涉及 是否CTBA或为对角矩阵.例如,设, , .132A231B10133不难验证 .但 , 都不是对角矩阵,并且 , ,BACT7A1BA,故 不一定成立.B)(和矩阵间合同与矩阵间相似的关系完全不同.由 ,不能得到它们的特征值相同的结论.例如,设, , .12A4301B102C不难验证, .即 ,但 的特征值为 和 ; 的特征值为CTA3B和 ,故 不正确.143)(B综上分析,本题只有选项(D)正确.实际上,由 , 可逆,可得 =ACT)(Ar.r例 10 若实对称矩阵 的秩为 ,符号差为 .试证 与 同是奇
11、数或同是Arsrs偶数,且 .rs|证 设 的正惯性指数 ,则符号差 ,即 .因为 是偶pp2p2数,故 与 同是奇数或同是偶数.又,r0所以 .rs2于是有 ,即 .s例 11 用配方法化二次型312121321),( xxxf 为标准形,并写出所作的可逆线性变换.解 因为标准形是平方和的形式,所以需要用配方法把变量: 逐321,x个地配成完全平方和的形式.31221321),( xxxf2)( 31321 232)(xx2xx.3321)(令 33xy则 .由得所作的线性变换是:221321),(xf134.33221yx因为01所以所作的线性变换是可逆的.注 若二次型含有某变量的平方,先
12、集中含此变量的乘积项,然后配方;再对剩下的 个变量同样进行,依此类推下去化成平方项后,再经过非退化(或n称可逆)线性变换就得到标准形.例 12 用配方法化二次型3212321),( xxxf 为标准形,并写出所作的可逆线性变换.解 此二次型中没有平方项,为了能够进行配方首先要变成有平方项,为此,可作变换33212yx则321321212121 )()()(),( yyf 3321yy.23)(令33221yz为了写出所作的线性变换,先从反解出 ,得321,y33221zy把代入,得33212zx把代入原题,得 .2321),(zxf135就是所作的线性变换,因为0210所以线性变换是可逆的.注
13、 1.在二次型中,如果没有平方项,先用可逆的线性变换使它成为有平方项的二次型,然后利用上题中结果可将二次型用可逆的线性变换化成标准形.2.从式和式容易看出: 到 的线性变换和321,x321,y到 的线性变换都是可逆的.由式我们又看到: 到321,y321,z 321,x的线性变换是可逆的.这个规律在一般情形下也是对的.z例 13 用正交变换将实二次型化为标准形,并且写出所作的正交变换:*.3231212321321 845),( xxxxf 解 的矩阵是.542A矩阵 的特征多项式为A,)10()5422E所以, 的特征值是 (二重)与 .10对于 ,解齐次线性方程组,042321xx求得它
14、的一个基础解系为, .0112先正交化:,011136.1542012),(122再单位化:, .0521351422对于 ,解齐次线性方程组,05428321x求得它的一个基础解系为.23再单位化得:.3213令 ,则 是正交矩阵,而且3251042TT.10AT137于是令 ,即TYX.32312 32154yxyyx得 .321210),(yf注 解答中的正交变换不是惟一的;最后化成的标准形除系数的次序不同外,是惟一确定的.例 14 已知二次曲面方程 可以经过* 4222 yzxbzayx正交变换Pzy化为椭圆柱面方程 ,求 , 的值.42ab解 二次型 的矩阵为f,410A原二次型的矩
15、阵为.1abB由题意,这两个矩阵相似.所以有 ,即 ,解得 ;)(trtBA25a3再由 ,得 .A1例 15 假如把任意 , , , 代入二次型 ,都0x2 0nx),(21nxf使 ,问 是否是正定的.0ff解 不一定.例如, ,对于任意 , 有 ,但 ,如211),(x1,2f),(21X0(果取 ,有 .0aX0),(af例 16 二次型 ,当满足( )时,是2321321 )(xxx正定二次型.)(A)(B)(C1D138解 二次型是正定的,其标准形的系数应全为正,即应有 , ,01.解得 ,故应选 .011)(C例 17 用不同的方法判别542A是否正定.解法 1 惯性指数法为下列
16、二次型的矩阵A323121232132 845),( xxxxf 5)(.332321 9(令.332231xy则得标准形.2321321 9),( yxf 由上述线性方程组可得,由 到 的线性替换为,x31,.332231yx显然它是可逆线性替换.于是由标准形可知, , 为正定3np),(321xf二次型,其矩阵 正定.A解法 2 顺序主子式法的各阶顺序主子式为, , 01065201542A所以 正定.A139解法 3 特征值法的特征多项式A.5422AE)10()2特征值 , 均为正数,所以 正定.12103A注 判断二次型是否正定,要灵活应用所学的方法,当有可能用顺序主子式时,可采用它
17、,此法一般比较简单.当二次型 的矩阵 的特征),(21nxf A值容易求时,这时用此法较好.还可用配方法将二次型化为标准形来判定.例 18 设二次型 ,问 取何值时,322321 44xxf 为正定二次型?f解 用顺序主子式讨论.因为,421A则, ,1 04122A.)(3204A解不等式组,)1(得 .12例 19 设矩阵 , ,求对角阵 ,使 与 相似,并102A2)(AkEBB求 为何值时, 为正定矩阵.kB解 先求 的特征值.由0)2(1012AE140得 的特征值为 , .故 的特征值为 , ,则A0123B21k23)(.2)()(kkB显然 为对称阵,当 且 时, 的特征值全为
18、正,此时 正定.0B例 20 设 阶矩阵 为正定矩阵,试证 也是正定矩阵.nA1A证法 因 为正定矩阵,故 .即存在可逆矩阵 ,使得EC,CT两边求逆,有,1)(于是.EAT1注意到 ,上式可化为TTC)()(1.C)(所以 ,而 仍为对称矩阵.故 也是正定矩阵.1AE1证法 2 因 为正定矩阵,则 的特征值 .而 仍为),21(0nii 1A对称矩阵,其特征值为 .于是,由 可知,),2(1nii 为正定矩阵.1证法 3 因 为正定矩阵,故存在非奇异矩阵 ,使得 ,于是ACT.111)()(TTCT)(1所以, 为正定矩阵.1例 21 设 是 阶正定阵, 是 阶单位阵,证明: 的行列式大于
19、1.nEnEA证 设 的特征值为 ,则 的特征值为)2( ii,2(.),n因 是正定阵,所以 ,所以 的特征值 ,A,1 0ii i于是.)(1niiE例 22 已知 , 都是正定阵,证明: 也是正定阵的充分必要条件是BAB.BA证 必要性 设 , , 都是正定阵,即 , , 都是对称阵,因此.ATT)(充分性 因为 , ,都是正定阵,故存在可逆阵 , ,使PQ, .PQB141于是,QPABT即.)()(1 TT P因 为可逆阵,故 为正定阵.由上式知 与一正定阵相QP)(TAB似,相似于正定阵的矩阵也是正定阵,因为它们有相同的全为正的特征值,因此 也是正定阵.AB例 23 设 正定,证明
20、 的主对角元素都大于零.A证法 因为 正定,所以对任意的非零向量 ,都有 .X0T取 ,即第 个分量为 ,其它分量为 .则0)10,(TX i1, .iaXn2证法 2 因为 正定,故存在可逆矩阵 ,使得 .设PATnniniii niccccP 1111则由于 可逆,它的任何一行的元素不能全为零.于是可知niiiii cca 2121),(.0221ii例 24 设 , 分别为 , 阶正定矩阵,则分块矩阵 也是正ABmBOAQ定矩阵.证 因矩阵 , 为正定矩阵,故存在非奇异矩阵 和 ,使得mCnD, .mTECnTEBD令 OP则 TT且 为 阶可逆矩阵.因为Pnm142DOCBAOCQPTT.nmE所以, ,故 为正定矩阵.I
