1、基础过关1.已知各项均为正数且递减的等比数列a n满足 a3, a4,2a5 成等差数列, 其前 5 项和 S5=31.32(1)求数列a n的通项公式;(2)若等差数列 bn满足 b1=a4-1,b2=a3-1,求数列 的前 n 项和 Tn.2.已知数列a n满足 a1=a3,an+1- = ,设 bn=2nan.2 32+1(1)求数列b n的通项公式;(2)求数列a n的前 n 项和 Sn.3.已知数列a n为正项数列,a 1=4,且对任意 nN *, -2 =anan+1 恒成立.2+12(1)求数列a n的通项公式;(2)若数列b n满足 bn= ,Tn为数列b n的前 n 项和,求
2、证: Tn0,an+1=2an,数列a n是首项为 4,2+1 2公比为 2 的等比数列,an=2n+1.(2)证明:b n= = = - ,1(+1)1 1+1Tn=b1+b2+bn= - + - + - =1- 1.1112 1213 1 1+1 1+14.解:(1) a1b1+a2b2+anbn=2+(2n-3)4n,a1b1=2-4=-2,a1b1+a2b2=2+(4-3)42=18,则 a2b2=20,又 b1=-2,b2=5,a1=1,a2=4,an是等比数列 , =4,an的通项公式为 an=4n-1,21an的前 n 项和 Sn= = .1414 413(2)由 an=4n-1
3、 及 a1b1+a2b2+anbn=2+(2n-3)4n,得 b1+4b2+4n-1bn=2+(2n-3)4n,当 n2 时,b1+4b2+4n-2bn-1=2+(2n-5)4n-1,-得 4n-1bn=2+(2n-3)4n-2-(2n-5)4n-1=(6n-7)4n-1,bn=6n-7.又当 n=1 时,b1=-2,不满足上式 ,bn的通项公式为 bn=能力提升5.解:(1) an+1+1= ,an- 1 且 a1=1,+1+2 = ,即 = ,1+1+1+2+1 1+1+1(+1)+1+1 - =1,数列 是等差数列.1+1+11+1 1+1 = , = +(n-1)1, = ,an= .
4、11+1 121+1 121+1 212 3221(2)由(1)知 bn=(2n-1)2n-1,则 Sn=120+321+522+(2n-1)2n-1,2Sn=121+322+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,-Sn=1+22+222+22n-1-(2n-1)2n=1+2 -(2n-1)2n,2(121)12Sn=-1+22-2n+1+(2n-1)2n=3-2n+1+(2n-1)2n=(2n-3)2n+3.6.解:(1)证明:a n-bn= (3an-1-bn-1)- (an-1-3bn-1)=2(an-1-bn-1),12 (12)又 a1-b1=3-(-1)=4,所以 an-bn是首项为 4,公比为 2 的等比数列.(2)由(1)知,an-bn=2n+1.因为 an+bn= (3an-1-bn-1)+ (an-1-3bn-1)=an-1+bn-1,a1+b1=3+(-1)=2,所以a n+bn为常数列且12 (12)an+bn=2,联立 得 an=2n+1,故 = = - ,2+12(2+1)(2+1+1)12+112+1+1所以 Sn= + - + = - = - .(121+1122+1)122+1123+1 (12+112+1+1)121+112+1+1 1312+1+1