1、基础过关1.如图 X12-1 所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 BB1 的中点,用过点 A,E,C1 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余的几何体的侧视图为 ( )图 X12-1 A B C D图 X12-22.某几何体的三视图如图 X12-3 所示,则该几何体的体积是( )图 X12-3A.12 B.16C. D.243233.已知 m 和 n 是两条不同的直线 ,和 是两个不重合的平面, 那么下面给出的条件中一定能推出 m 的是( )A. 且 m B. 且 mC.mn 且 n D.mn 且 n4.某几何体的三视图如图 X12-4 所示,图中正方形的边长均为 6,俯视
2、图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为 ( )图 X12-4A.216-3 B.216-4.5C.216-6 D.216-95.在三棱锥 S-ABC 中,AB AC,AB=AC=SA,SA平面 ABC,D 为 BC 的中点, 则异面直线 AB 与SD 所成角的余弦值为 ( )A. B.55 66C. D.306 3056.如图 X12-5 所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E,F 在棱 A1B1 上, 动点 P,Q 分别在棱 AD,CD 上,若 EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z 均大于零),则四面体 P-EFQ 的体积 ( )图 X12-5A
3、.与 x,y,z 都有关B.与 x 有关 ,与 y,z 无关C.与 y 有关 ,与 x,z 无关D.与 z 有关,与 x,y 无关7.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 8,面 A1B1C1D1 在一个半球的底面上,A, B,C,D 四个顶点都在此半球面上,则此半球的体积为 ( )A. B. 323 423C.12 D.4 68.设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列说法中正确的是 ( )A.若 ,m ,则 mB.若 m,n,则 mnC.若 =m ,n ,n ,则 mnD.若 ,且 =m,A ,直线 ABm ,则 AB9.某几何体的三视图如图 X12-6 所示,
4、其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成, 侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为( )图 X12-6A.3+4 B.4+4 +42 2C.4+4 D.4+4210.已知底面半径为 1 的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为 16 的球面上,则该圆锥的体积为 ( )A. B. 2+33 2 33C.2+ D. 或 32+33 2 3311.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体对角线 BD1 的截面的面积为 S,则 S 的取值范围是 . 12.三棱锥 P-ABC 的一条棱长为 m,其余棱长均为 2,当三
5、棱锥 P-ABC 的体积最大时, 它的外接球的表面积为 . 能力提升13.三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直 ,AA1=AB=AC=1,ABAC,N 是 BC 的中点,点 P 在A1B1 上,且满足 A1P=A1B1,当 PN 与平面 ABC 所成角的正切值取得最大值时 ,的值为 ( )A. B.12 22C. D.32 25514.如图 X12-7所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PD底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形, M 是侧棱 PD 上靠近点 P 的四等分点 ,PD=4.该四棱锥的俯视图如图 X12-7所示, 则PMA 的大小是( )图 X12-7A. B.2蟺3
6、3蟺4C. D.5蟺6 7蟺1215.在矩形 ABCD 中,BC= AB,E 为 BC 的中点,将ABD 沿 BD 所在直线翻折,在翻折过程中,2给出下列结论:存在某个位置,使得 BDAE;存在某个位置,使得 BCAD;存在某个位置,使得 ABCD;存在某个位置,使得 BDAC.其中正确结论的序号是 ( )A. B.C. D.16.有一正三棱柱木料 ABC-A1B1C1,其各棱长都为 2,已知 Q1,Q2 分别为上、下底面的中心,M 为Q1Q2 的中点,过 A,B,M 三点的截面把该木料截成两部分,则截面面积为( )A. B.71639C. D.2319417.如图 X12-8 所示,在四棱柱
7、 ABCD-A1B1C1D1 中,AA 1平面 ABCD,ABCD, DCB=90,AB=AD=AA1=2DC,Q 为棱 CC1 上一动点,过直线 AQ 的平面分别与棱 BB1,DD1 交于点 P,R,则下列结论中不正确的是 ( )图 X12-8A.对于任意的点 Q,都有 APQRB.对于任意的点 Q,四边形 APQR 都不可能为平行四边形C.存在点 Q,使得ARP 为等腰直角三角形D.存在点 Q,使得直线 BC平面 APQR18.如图 X12-9 所示,正方形 ABCD 的边长为 3,点 E,F 分别在边 AD,CD 上,且 AE=DF=2.将此正方形沿 BE,BF,EF 切割得到四个三角形
8、 ,现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面,则该三棱锥的内切球的体积为 . 图 X12-9限时集训(十二)基础过关1.C 解析 如图所示,取 DD1 的中点 F,连接 AF,AE,C1E,C1F,则平面 AFC1E 为截面,所以剩余的几何体的侧视图如选项 C 所示 ,故选 C.2.B 解析 该几何体的直观图如图所示,可割补成两个正方体 ,其体积为 223=16,故选 B.3.D 解析 在 A 中,若 且 m,则 m 与 平行或 m,故 A 不能推出 m;在 B 中,若 且 m ,则 m 与 平行或相交或 m,故 B 不能推出 m; 在 C 中, 若 mn 且 n, 则 m与 平行或相交或 m,
9、故 C 不能推出 m;在 D 中,若 mn 且 n ,则由线面垂直的性质得m,故 D 能推出 m.故选 D.4.D 解析 如图所示,该几何体是一个正方体挖去两个相同的 圆锥后剩余的部分,故其体积14为 63-2 326=216-9,故选 D.14 135.B 解析 如图所示,取 AC 的中点 E,连接 DE,SE.D,E 分别为 BC,AC 的中点,DEAB, SDE 就是异面直线 AB 与 SD 所成的角.设 AB=AC=SA=2,在 RtSAE 中,由勾股定理得 SE= .易得 BA平面 SAC,DE平面 SAC,DESE, 又5DE= AB=1,SD= ,cosSDE= = = .12
10、6 16 666.D 解析 因为 E,F 在棱 A1B1 上, Q 在棱 CD 上,A 1B1CD,所以边 EF 的高为定值,又 EF=1,所以QEF 的面积为定值,故四面体 P-EFQ 的体积与点 P 到平面 EFQ 的距离有关, 即与 DP 的长度有关,故选 D.7.D 解析 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 8,则其棱长为 2.由题意可得面 A1B1C1D1 的中心到顶点 A,B,C,D 的距离为半球的半径,故其半径为 = ,半球的体积为 ( )3=422+(2)2 612 43 6,故选 D.68.C 解析 若 ,m ,则 m 或 m,A 不正确;若 m,n ,则 m 与
11、n 无交点,即 m 与 n 平行或异面,B 不正确 ;若 =m,n,n,过 n 作平面分别与 ,交于直线 s,t,则 sn,tn, 所以 st ,再根据线面平行的判定定理得 s,又 =m,s ,所以 sm,所以 mn,C 正确;若 ,且 =m,A ,直线 ABm,则只有当 B 时,才有 AB,D 不正确.故选 C.9.A 解析 由三视图知该几何体的上半部分是半圆柱,圆柱的底面半径为 1,高为 2,下半部分是底面边长为 2,高为 1 的正四棱锥,所以该几何体的表面积 S=4 2 +12+12=3+4 .12 2 210.D 解析 由题意知圆锥的底面半径 r=1,球的半径 R=2.设 O 为球的球
12、心,O 1 为圆锥底面圆的圆心,OO 1=x,则 x= = = ,圆锥的高 h=R+x=2+ 或 h=R-x=2- ,所以圆锥22 2212 3 3 3的体积 V= 12(2+ )= 或 V= 12(2- )= .故选 D.13 3 13 311. 解析 如图所示,设截面分别交 AA1,CC1 于点 M,N.由图可知, 当 M,N 分别为62, 2AA1,CC1 的中点时,截面面积最小 ,最小为 MNBD1= = ;当截面为四边形 ABC1D112 12 2 3 62时,截面面积最大,最大为 1 = .故 S 的取值范围是 .2 2 62, 212. 解析 由题意,三棱锥 P-ABC 可看成是
13、由菱形 PABC 沿对角线 AC 翻折后得到的,20蟺3且 PA=PC=AB=AC=BC=2,易知当平面 ACP平面 ABC 时,三棱锥 P-ABC 的体积最大,此时三棱锥的高为 .3易知底面ABC 外接圆的半径 r= .23设三棱锥的外接球的半径为 R,球心与底面的距离为 x,则( -x)2+ =R2,3 (33)2x2+r2=R2,由 解得 R2= ,53故外接球的表面积 S=4R2= .20蟺3能力提升13.A 解析 过 P 作 PMAB 于点 M,连接 MN,则 PM平面 ABC,PNM 就是 PN 与平面ABC 所成的角,则 tanPNM= = ,故当 MN 最小时 tanPNM 最
14、大,此时 MNAB ,M 为1AB 的中点, 点 P 是 A1B1 的中点, = ,故选 A.1214.C 解析 连接 BD,由俯视图可知 DC=4,BD=2,BC=2 ,所以DBC= ,又四边形 ABCD 为3蟺 2直角梯形,故 AD 的长度等于直角三角形 BDC 斜边上的高,即 AD= ,因为 MD=3,所以在直角3三角形 ADM 中, tanAMD= ,即AMD= ,所以PMA= .故选 C.33 蟺 6 5蟺615.C 解析 根据题意画出如图甲所示的矩形 ABCD,设 AE 与 BD 交于点 F,甲乙翻折后得到如图乙所示的三棱锥 A-BCD,连接 AE.对于 ,在翻折前易证 = =2,
15、设 AB=1,则 BD= ,AE= ,所以 AF= ,BF= ,则 3 62 63 33AF2+BF2=1=AB2,即 AFBD,EFBD ,所以翻折后易得 BD平面 AEF,故 BDAE,故 正确;对于 ,若存在某个位置 ,使得 BCAD,则 BC平面 ACD,从而有平面 ACD平面 BCD,即 A在底面 BCD 上的射影位于线段 CD 上,这是不可能的,故 不正确;对于 ,设存在某个位置,使得 ABCD,因为 CDBC,ABBC=B ,所以 CD平面 ABC,从而有平面 ABC平面 BCD,当 A在平面 BCD 上的射影为 BC 的中点 E 时,平面 ABC平面 BCD,此时直线 AB 与
16、直线 CD 垂直,故 正确 ;对于 ,设存在某个位置 ,使得 BDAC,因为 AFBD, EFBD,AF EF=F ,所以BD平面 AEF,所以 BDAE,又 AEAC=A ,所以 BD平面 AEC,从而 BDEC,这与已知矛盾,故 不正确 .故选 C.16.B 解析 由题意知,该截面与棱 A1C1 的交点为靠近 C1 的三等分点, 与棱 B1C1 的交点为靠近 C1 的三等分点,所以该截面为等腰梯形,计算可得该截面的面积为 ,故选 B.163917.C 解析 ABCD,AA 1DD 1,ABAA 1=A,CDDD 1=D,平面 ABB1A1 平面 CDD1C1,平面 APQR平面 ABB1A
17、1=AP,平面 APQR平面 CDD1C1=RQ,APQR,故 A 结论正确;四边形 ABCD 是直角梯形, AD 与 BC 不平行, 平面 BCC1B1 与平面 ADD1A1 不平行,假设存在点 Q,使四边形 APQR 为平行四边形,则 ARPQ,又AA1BB 1,AA1AR=A ,BB1PQ=P ,平面 ADD1A1平面 BCC1B1,与已知矛盾,假设不成立, 故B 结论正确;如图,延长 CD 至 M,使得 AB=CM,则四边形 ABCM 是矩形 ,BCAM,当 R,Q,M 三点共线时,AM 平面 APQR,BC平面 APQR,故 D 结论正确.故选 C.18. 解析 如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC=1, AB=2,BB1=3,4蟺81则三棱锥 B1-ABC 即为题中所给的四个面组成的三棱锥,该三棱锥的体积 V= 3=1.13在AB 1C 中,易得 AC= ,AB1= ,CB1= ,5 13 10由余弦定理可得 cosB 1CA= = ,210则 sinB 1CA= = ,1( 210)27 210故 = = ,12 5 107 21072该三棱锥的表面积 S= (12+13+23)+ =9.12 72设该三棱锥内切球的半径为 R,则 V= SR,13即 1= 9R,R= ,13 13故该三棱锥内切球的体积为 R3= .43 4蟺81
