1、第十四章 整式的乘法与因式分解1.了解 幂 的意义,并学会 简单的同底数幂的乘法、 幂的乘方、积的乘方及同底数 幂的除法的运算,能根据幂的各种运算性质解决数学问题和简单的实际问题 .2.了解零指数幂的意 义;探索整式乘除法的法则,会进行简单的乘除法运算 .3.要求学生说出平方差公式和完全平方式的特点,能正确地利用平方差公式和完全平方式进行多项式的乘法 .4.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系,从中体会事物之间可以相互转化的思想,学会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解( 指数是正整数 ).让学生主动参与到一些探索过程中来,逐步形成独立思考、主 动探索的习惯,培养思维
2、的批判性、 严密性和初步解决问题的能力 .通过本章中一些生活实例的学习,体会数学与生活之间的密切联系,在一定程度上了解数学的应用价值,提高学生学习的兴趣 .本章是整式的加减的后续学习,首先,从幂的运算开始入手,逐步展开整式的乘除法运算;接着,在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算,即两个乘法公式;最后,从整式乘法的逆过程出发,引入因式分解的相关知识 .本章主要有如下特点:1.注重知识形成的探索 过程,让学生在探索过程中领悟知识,在领悟的过程中建构体系,从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移 .2.知 识内容的呈 现 方式力求与学生已有的知识结构相联系,同时兼顾学生的思维水平和心理特征 .
3、3.让 学生掌握基本的数学事实与数学活动经验,减轻不必要的记忆负担 .4.注意从生活中选 取素材,给学生提供一些交流、讨论的空间,让学生从中体会数学的应用价值,逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯 .5.教材的安排、例题的讲解与习题的处理都给教师留有较大的余地与足够的空间,教师能根据各地学生的实际情况,充分发挥自己的教学主动性和积极性,创造性地进行教学 .【重点】1.理解和掌握幂的运算性 质 .2.掌握整式的乘除运算方法,理解乘法公式,能对多项式进行因式分解 . 【难点】1.整式的乘除运算 .2.利用乘法公式进 行计算,利用提公因式法和因式分解法对多项式进行因式分解 .1.幂 的运算是整式
4、乘除的基础,在教学幂的运算性质时,要让学生经历探索的过程,通过特例计算,自己概括出有关运算法则,理解并掌握这些法则,并能用来进行简单的计算 .要注意留给学生探索与交流的空间,让学生在自己的实践中获得运算法则 .在教学中要注意渗透化归的思想 .对于整式的乘除法要让学生通过适当的尝试,获得一些直接体验,体验单项式与单项式相乘的运算规律,在此基础上总结出整式乘除法的一些运算法则,对于一些法则的获得要注意结合图形,让学生体会特点,从而加深对知识的理解和掌握 .2.对 于乘法公式的教学,要留出更多的时间和空间让学生自主探索,发现规律,体验乘法公式的来源,理解公式的意义和作用,降低对公式的记忆要求 .教学
5、时可以让学生直接计算较为简单的情况,在此基础上指出这一乘法结果的普遍性 .教师要注意从已有的整式乘法的知识中提炼出这一乘法公式,让学生明确公式来源于整式的乘法,又应用于整式乘法的辩证性 .3.对 于因式分解 这 部分内容,要注意留给学生讨论的时间,引导学生进行归纳、概括 .注意教给学生因式分解的方法和步骤,强化提公因式法和公式法的结构特点,让学生在不断练习中得以巩固和提高 .总之,在本章的教学中,教师要创造性地使用教材,充分发挥自己在教学中的组织、引导、合作的作用 ,通过创设一定的问题情境,帮助学生在做一做、探索、交流与讨论中,主动地去获取知识 .本章的教学中,教师不要人为地增加学生的记忆负担
6、,提高对学生的要求,也不要人为地补充一些繁、难、偏、旧的内容,根据学生的具体情况,可以在某些具体问题上,让一部分学有余力的学生得到更好的发展,体现教材的弹性 .14.1 整式的乘法14.1.1 同底数幂 的乘法( 1 课时)14.1.2 幂的乘方 (1 课时)14.1.3 积的乘方 (1 课时)14.1.4 整式的乘法 (4 课时)7 课时14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式 (1 课时)14.2.2 完全平方公式 (1 课时)2 课时14.3 因式分解14.3.1 提公因式法 (1 课时)14.3.2 公式法(2 课时)3 课时单元复习 1 课时14.1 整式的乘法1.了解 幂 的意义
7、,并学会 简单的同底数幂的乘法、 幂的乘方、积的乘方及同底数 幂的除法的运算 .2.从 幂的运算入手,逐步展开整式的乘法,要了解单项式与单项式、 单项式与多项式、多 项式与多项式相乘的法则,会进行简单的整式乘法的计算 .3.通 过计 算,提高学生独立思考、主动探索的能力 .1.在推理的过程中 ,让学生学会类比的方法,培养学生的观察、抽象、概括的能力 .2.在 观察的 过程中 ,让学生掌握整式乘法的一些计算方法,并能运用这些方法进行计算 .1.让 学生体 验从特殊到一般的 过程,能自己在实践中总结概括法则 .2.培养学生学习数学的 积极性,让学生树立热爱数学的情感 .【重点】1.同底数幂的乘法、
8、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法法则 .2.整式的乘法法则 .【难点】1.能正确进行同底数 幂的乘法、 幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法 计算 .2.整式的乘法的一些计算 .14.1.1 同底数幂的乘法1.理解同底数幂的乘法法 则 .2.能运用同底数幂 的乘法法则解决一些实际问题 .1.在 进一步体会 幂 的意义时,发展推理能力和有条理的表达能力 .2.通 过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用,使学生初步理解特殊到一般,一般到特殊的认知规律 .体会科学的思想方法,激发学生探索创新的精神 .【重点】 正确理解同底数幂的乘法法则 .【难点】 正确理解和应用同底数幂的乘法法则 .【教师准备】 多
9、媒体课件(1,2 ,3).【学生准备】 复习幂的意义 .导入一:复习 an 的意义:an 表示 n 个 a 相乘 ,我们把这种运算叫做乘方 ,乘方的结果叫做幂; a 叫做底数, n 是指数 .提出问题:一种电子计算机每秒可进行 1 千万亿(10 15)次运算,它工作 103 秒可进行多少次运算?【师】 能否用我们学过的知识来解决这个问题呢?【生】 运算次数=运算速度 工作时间,所以计算机工作 103 秒可进行的运算次数为:10 15103.【师】 1015103 如何计算呢?【生】 根据乘方的意义可知:1015103= (101010)= =1018.(1010)15个 10(101010)1
10、8个 10【师】 很好,通过观察大家可以发现 1015,103这两个因数是同底数幂 的形式,所以我们把像 1015103 的运算叫做同底数幂的乘法,根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算同底数幂的乘法 .设计意图 首先让学生回忆幂的一些知识,然后根据教材中的问题 1 让学生列式、 观察并计算出结果,从而导入到本节课的学习之中 .导入二:“盘古开天辟地” 的故事 :公元前一百万年 ,没有天没有地,整个宇宙是混沌的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了
11、太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流 .【师】 盘古的左眼变成了太阳,那么太阳离我们多远呢?光的速度为 3105 千米 /秒,太阳光照射到地球大 约需要 5102 秒,你能 计算出地球距离太阳大约有多远吗?【生】 可以列出算式:310 55102=15105102=15“?”.(引入课题)设计意图 从远古到现代,让学生感受传说,极大地激发了学生的学 习热情,同时相应问题的提出,也为学习同底数幂的乘法埋下了伏笔 .导入三:北京奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 108 千克煤所产生的能量 .那么 105
12、平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃 烧多少千克煤 ?【师】 你们能列式吗?( 学生讨论得出 108105)【师】 108,105 我们称之为什么?(幂)【师】 我们再来观察底数有什么特点?【生 1】 都是 10.【生 2】 是一样的 .【师】 像这样底数相同的两个幂相乘的运算,我们把它叫做同底数幂的乘法 .(揭示课题)设计意图 利用提问题,一方面可以集中学生注意力,使之较快进入 课堂学习状态,另一方面可以对学生进行爱国主义教育,增强学生的环保意识 .过渡语 刚才我们通过计算知道 1015103=1018,下面我们再来观察几道题 .问题 1【课件 1】 计算下列各式 :(1)252
13、2;(2)a3a2;(3)5m5n(m,n 都是正整数) .你发现了什么?注意 观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述 .【师】 根据乘方的意义,同学们可以独立解决上述问题 .【生】 2522 =(22222)(22)=27 =25+2.25 表示 5 个 2 相乘 ,22 表示 2 个 2 相乘,根据乘方的意义:a3a2=(aaa)(aa)=a5=a3+2.5m5n= =5m+n.(让学生自主探索,在启发性 设问的引导下发现规律,并用自己(555)个 5 (555)个 5的语言叙述)【生】 我们可以发现下列规律:(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘;(2)相乘结果的底数与原来底数
14、相同,指数是原来两个幂的指数的和 .【师生共析】 aman 表示同底数幂的乘法,根据幂的意义可得:aman= =am+n.()个 ()个 于是有 aman=am+n(m,n 都是正整数),用语言来描述此法则即为:“ 同底数幂相乘,底数不变,指数相加” .知识拓展 同底数幂是具有相同底数的幂 .(1)幂可以看做是代数式中的一 类,是形如 an 的代数式 .目前,在我们研究的这类式子中,可以是任何有理数,也可以是整式,而 an 中的 n 只能是正整数 .(2)35 与 155 不是同底数幂,因为它们的底数一个是 3,一个是 15,是不一样的,这说明两个幂是不是同底数幂,与它们的指数是否相同毫无关系
15、 .(3)53 与 515 是同底数 幂,因为它们的底数相同(都是 5).同理, x3 与 x5,(a+b)2 与( a+b)5 也都是同底数幂 .同底数幂的乘法法则的关键在于底数,底数一定要相同,并且二者是相乘关系,这样指数才能相加,否则不能运用此法则 .问题 2(针对导入三)1.探索 108105 等于多少 .(鼓励学生大胆猜想 )学生可能会出现以下几种情况: 100 13;10 40; 100 40;10 13.设计意图 猜想产生疑问,激发兴趣,为学生推导公式做好情感铺垫 .【师】 那到底谁的猜想正确呢?小组合作讨论,生回答,师板演:108 105=(10 1010)8个 10 (10
16、1010)5个 10=10101013个 10=1013.即 108 105=108+5.设计意图 师给出适当的提示后,相信学生能在已有的知识基础上 ,利用集体的智慧,找出猜想中的正确答案,并通过“转 化” 思想得出结论 ,也找到了正确的推理过程 .2.出示 问题 :(学生口答,课件显示过程)a6a9= ()6个 ()9个 =15个 =a15.即 a6a9=a6+9.3.观 察以上两个式子,你有什么发现?【师】 这是两个特殊的式子,它们的指数分别是 8,5;6,9.底数相同的两数的任何次 幂相乘,都是底数不变,指数相加吗?能找到一个具有一般性,代表性的式子吗?aman 怎么计算?设计意图 a6
17、a9 和 aman 的推导过 程由于 108105 打好了坚实的基础,所以用填空的形式简化公式的推导过程,既避免了重复教学过程,也节约时间,同时也能达到让学生经历从具体到一般的推导过程 .【板书】 aman=am+n(m,n 都是正整数) .师补充解释 m,n 都是正整数的原因,并请学生用自己的语言概括该结论,之后全体学生用精炼的文字概括表述 .【板书】 同底数幂相乘,底数不变,指数相加 .设计意图 全班学生参与活动,经历从理解法则的含义的概括到用十分准确 简练的语言概括过程,从而提高学生的表达能力 .问题 3过渡语 刚才通过探究,我们知道了同底数幂的乘法法则,现在我 们就可以利用这个法则进行
18、同底数幂的乘法计算 .【课件 2】(教材例 1)计算:(1)x2x5;(2)aa6;(3)(-2)(-2)4(-2)3;(4)xmx3m+1.计算 amanap 后,能找到什么规律?【师】 我们先来看例 1,是不是可以用同底数幂的乘法法则呢?【生 1】 (1)(2)(4)可以直接用“同底数 幂相乘,底数不变,指数相加” 的法则 .【生 2】 (3)也可以,先算 2 个同底数幂相乘,将其结果再与第三个幂相乘,仍是同底数幂相乘,再用法则运算就可以了 .【师】 同学们分析得很好 .请自己做一遍,每组出一名同学板演,看谁算得又准又快 .【生板演】 (1)解: x2x5=x2+5=x7.(2)解: aa
19、6=a1+6=a7.(3)解:( -2)(-2)4(-2)3=(-2)5(-2)3=(-2)8=256.(4)解: xmx3m+1=xm+3m+1=x4m+1.【师】 接下来我们来看例 2.受例 1 中第( 3)题的启发,能自己解决吗?与同伴交流一下解题方法 .解法 1:amanap=(aman) ap=am+nap =am+n+p.解法 2:amanap=am(an ap)=aman+p=am+n+p.解法 3:amanap= =am+n+p.()个 ()个 ()个 【归纳】 解法 1 与解法 2 都直接应 用了运算法则,同时还运用了乘法的结合律;解法 3 是直接应用乘方的意义 .三种解法得
20、出了同一结果,我们需要这种开拓思维的创新精神 .【生】 那我们就可以推断,不管是多少个幂相乘,只要是同底数幂相乘,就一定是底数不变,指数相加呢?【师】 是的,能不能用符号表示出来呢?【生】 .123 =1+2+3+【师】 (鼓励学生)那么例 1 中的第( 3)题我们就可以直接应用法则运算了 .(-2)(-2)4(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256.1.同底数幂的乘法的运算性 质是底数不变,指数相加 .应用这个性质时,应注意两点:一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,即 aman=am+n(m,n 都是正整数) .2.推广 :am
21、anap=am+n+p.3.(课 件 3)注意:在应用同底数幂乘法法则时,注意以下几点:(1)底数必须相同,如 23 与 25,(a2b2)3 与( a2b2)4,(x-y)2 与( x-y)5 等 .(2)a 可以是 单项式,也可以是多项式 .(3)按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加 .1.计 算 a6a3 的结果是 ( )A.a9 B.a2 C.a18D.a3解析:原式= a6+3=a9.故选 A.2.下列 计 算正确的是 ( )A.xx2=x2 B.x2x2=2x2C.x2+x3=x5 D.x2x=x3解析:A.底数不变,指数相加,故 A 错误;B.底数不变,指数相加,故 B
22、 错误;C .不是同底数幂的乘法,指数不能相加,故 C 错误;D.底数不变,指数相加,故 D 正确.故选 D.3.计 算( -a)3(-a)2 的正确结果是 ( )A.a5 B.-a5 C.a6 D.-a6解析:原式=( -a)3+2=(-a)5=-a5.故选 B.4.计 算 .(1)(-5)(-5)2(-5)3;(2)(-a)(-a)3;(3)-a3(-a)2;(4)(a-b)2(a-b)3;(5)(a+1)2(1+a)(a+1)3.解析:利用同底数幂乘法法则进行计算,底数不同的利用互为相反数的奇偶次幂的性质进行转化 .解:(1 )(-5)(-5)2(-5)3=(-5)6=56.(2)(-a
23、)(-a)3=(-a)4=a4. (3)-a3(-a)2=-a3a2=-a5. (4)(a-b)2(a-b)3=(a-b)5.(5)(a+1)2(1+a)(a+1)3=(a+1)6.14.1.1 同底数幂的乘法1.法 则2.公式例题讲解例 1例 2一、教材作业【必做题】教材第 96 页练习 .【选做题】教材第 104 页习题 14.1 第 9,10 题 .二、课后作业【基础巩固】1.计 算( -x2)x3 的结果是 ( )A.x5 B.-x5 C.x6 D.-x62.下列 计 算正确的是 ( )A.a3a2=a6 B.b4b4=2b4C.x5+x5=x10 D.y7y=y83.下列运算正确的是
24、 ( )A.a5a5=2a5 B.a5+a5=a10 C.a5a5=2a10 D.a5a5=a104.a2014 可以写成 ( )A.a2010+a4 B.a2010a4C.a2014a D.a2007a20075.下列运算错误的是 ( )A.(-a)(-a)=(-a)2B.-32(-3)4=(-3)6C.(-a)3(-a)2=(-a)5D.(-a)3(-a)3=a6【能力提升】6.设 am=8,an=16,则 am+n 等于 ( )A.24 B.32 C.64 D.1287.下列各式成立的是 ( )A.(x-y)2=-(y-x)2B.(x-y)n=-(y-x)n(n 为正整数)C.(x-y)
25、2(y-x)2=-(x-y)4 D.(x-y)3(y-x)3=-(x-y)6【拓展探究】8.阅读 材料 :求 1+2+22+23+24+22013 的值 .解:设 S=1+2+22+23+24+22012+22013,将等式两边同时乘以 2 得:2S=2+22+23+24+25+22013+22014,将下式减去上式得 2S-S=22014-1,即 S=22014-1,即 1+2+22+23+24+22013=22014-1.请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+24+210;(2)1+3+32+33+34+3n(其中 n 为正整数) .【答案与解析】1.B(解析 :(-x2)x3=-x
26、2+3=-x5.故选 B.)2.D(解析:A. 应为 a3a2=a5,故本选项错误;B. 应为 b4b4=b8,故本选项错误 ;C.应为 x5+x5=2x5,故本选项错误;D.y7y=y8,正确 .故选 D.)3.D(解析:A. 应为 a5a5=a10,故本选项错误;B.应为 a5+a5=2a5,故本选项错误 ;C.应为 a5a5=a10,故本选项错误;D.a5a5=a10,正确 .故选 D.)4.B(解析 :A.a2010+a4 不能进行计算;B. a2010a4 =a2014;C.a2014a=a2015 ;D.a2007a2007=a4014,故选 B.)5.B(解析 :A.(-a)(-
27、a)=(-a)2,故本选项 正确;B. -32(-3)4=-3234=-36,故本选项错误;C.( -a)3(-a)2=(-a)3+2=(-a)5,故本选项正确;D.( -a)3(-a)3=(-a)3+3=(-a)6=a6,故本选项正确 .故选 B.)6.D(解析: am=8,an=16,am+n=aman=816=128.故选 D.)7.D(解析:A .(x-y)2=(y-x)2,故本选项错误 ;B.(x-y)n=-(y-x)n(n 为奇数), 故本选项错误;C.( x-y)2(y-x)2=(x-y)4,故本选项错误;D.( x-y)3(y-x)3=-(x-y)6,故本选项正确 .故选 D.
28、)8.解 :(1)设 S=1+2+22+23+24+210,将等式两边同时乘以 2 得 2S=2+22+23+24+210+211,将两式相减得 2S-S=211-1,即 S=211-1,则 1+2+22+23+24+210=211-1.(2)设 S=1+3+32+33+34+3n,两边同时乘以 3 得 3S=3+32+33+34+3n+3n+1, -得 3S-S=3n+1-1,即 S= (3n+1-1),则121+3+32+33+34+3n= (3n+1-1).12在教学中教师通过实际问题创设情境,导入新课,激发了学生学习数学的兴趣,通过学生的自主探索,让学生经历观察类比抽象概括等过程,归纳
29、出同底数幂的乘法法则,提高了学生的自主意识和自我解题的能力 .在归纳出同底数幂的乘法法则之后,教师通过例 1、例 2 的学习,让学生加深了对同底数幂的乘法法则的理解 .整个过程学生对知识的接受和理解较好,突出了学生的主体地位和教师的主导作用,学生学得开心,知识掌握较好 .因为本节课的内容较简单,所以在习题的设计上,教师可增加些难度,让学生通过变式训练,使学生的能力得到进一步的提高 .另外,对于法则的概括和理解要尽量让学生自己去独立完善,教师要少说,多讲评 .教学中要适当增加难度,增加变式训练,如法则的逆应用和底数为负数的习题 .法则的逆应用要重点让学生掌握,以提高学生解决问题的能力 .同时,一
30、定要让学生分清幂的底数,明确只要在同底数幂相乘的时候才能用法则进行计算,否则不行 .另外,对于法则的概括以及延伸的 amanap=am+n+p,一定要让学生尽量发挥小组合作的能力,发现计算方法,从而总结出规律 .教学过程能让学生独立完成的,教师绝不包办代替,把课堂应尽量还给学生 .练习(教材第 96 页 )解:(1)原式= b5+1=b6. (2)原式= - 1+2+3= - 6= . (3)原式= a2+6=a8. (4)原式= y2n+n+1=y3n+1.12 12 164题型 1 一般的同底数 幂的乘法问题计算:(1)x2x3;(2)(-2)4(-2)3;(3)(a-1)4(a-1)2.
31、解析 (1)可以直接得到 x5;(2)中将( -2)看作相同的底数,由法则可得( -2)7;(3)中将( a-1)看作一个整体作为相同的底数 .解:(1) x2x3=x5. (2)(-2)4(-2)3=(-2)7 =-27. (3) (a-1)4 (a-1)2=(a-1)6.题型 2 间接运用同底数 幂的乘法法则计算:(1)-t3(-t)4(-t)5;(2)(z-y)3(z-y)(y-z)2.解析 虽 然底数不同,但仅仅只有符号之差,如 z-y 与 y-z,可以先把底数 变为相同的底数,再用法则计算 .解:(1) -t3(-t)4(-t)5 =-t3t4(-t5)=t3t4t5=t12. (2
32、)(z-y)3(z-y)(y-z)2=(z-y)3(z-y)(z-y)2=(z-y)6.方法提示 对于不能直接运用同底数幂乘法法则的问题,通常先将题目中各项进行转化,化为同底数幂再运用法则计算,此过程中注意符号的确定 .题型 3 同底数幂 乘法法则的逆用计算:( -2)2007+(-2)2008.解析 若直接 计算,则相当麻烦,可以运用同底数幂的逆运算,将( -2)2008 化成( -2)2007(-2),再进行计算,比较简便 .解:( -2)2007+(-2)2008=(-2)2007+(-2)2007 (-2)=(-2)2007 (1-2)=(-2)2007(-1)=22007.(2014
33、温州中考 )计算 m6m3 的结果是 ( )A.m18 B.m9 C.m3 D.m2解析 根据同底数幂的乘法法则,底数不变,指数相加可知 m6m3=m9.故选 B.14.1.2 幂的乘方1.知道 幂 的乘方的意 义 .2.会 进行 幂的乘方 计算 .1.经历 探索 幂的乘方的运算性 质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力 .2.了解 幂 的乘方的运算性 质,并能解决一些实际问题 .通过分组探究,培养学生合作交流的意识、提高学生勇于探究数学的品质 .【重点】 会进行幂的乘方的运算 .【难点】 幂的乘方法则的总结及运用 .【教师准备】 预设学生学习中容易混淆的知识 .【学生准
34、备】 复习同底数幂的乘法法则 .导入一:(1)叙述同底数幂乘法法则,并用字母表示 .(2)计算: a2a5a3; a4a4a4.大家已经会进行同底数幂的乘法运算: aman=am+n(m,n 都是正整数),那么幂的乘方运算又应该如何进行呢?设计意图 通过复习巩固上节课所学的同底数幂的乘法法则的内容 ,为探索幂的乘方做好准备 .导入二:(1)有甲、乙两个球,如果甲球的半径是乙球半径的 n 倍,那么甲球的体 积是乙球体积的多少倍?学生口答: n3 倍 .(2)引导学生计算:(102)3= ,怎样计算? (102)3=106.方法一:(10 2)3=102102102=102+2+2=106.方法二
35、:(10 2)3=(100)3=1000000=106.设计意图 在独立思考的基础上,组织学生交流、 讨论,培养学生思维的严密性,让学生体验在交流中获益的乐趣 .并在此过程中,引导学生主动反思,回顾解决问题的方法,为进入新课做准备 .一、法则的探究过渡语 我们知道表示几个相同因数积的运算叫做乘方 .根据乘方的意 义,请同学们解决以下问题 .思路一1.思考 .【课件 1】 根据乘方的意 义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:(1)(32)3=323232 =3( );(2)(a2)3=a2a2a2=a( );(3)(am)3=amamam=a( )(m 是正整数) .【师】 教师要加
36、强引导,强调应用中的注意事项 .2.小 组讨论 .对正整数 n,你认为 (am)n 等于什么 ?能对你的猜想给出检验过程吗?【生】 小组互相探索、交流 ,积极思考 ,然后各组派代表回答,相互点评,补充得出关于幂的乘方法则 .幂的乘方法则:(am)n= =amn.个 =个 +字母表示:( am)n=amn(m,n 是正整数) .语言叙述:幂的乘方,底数不变,指数相乘 .教师说明法则中 a 可以是一个具体的数,也可以是单项式或多项式 .知识拓展 理解法则注意两点:( 1)在形式上,幂的乘方的底数本身就是一个 幂;( 2)法则可推广到( am)nk=amnk(m,n,k 是正整数);( 3)幂的乘方
37、不能和同底数 幂的乘法相混淆 ,例如不能把( a5)2 写成 a7,也不能把a5a2 的计 算结果写成 a10;(4)幂的乘方是变乘方为乘法(底数不变,指数相乘),如( a3)2=a32=a6;而同底数幂的乘法是变乘法为加法(底数不变,指数相加 ),如 a3a2=a3+2=a5.设计意图 在探索幂的乘方法则的过程中,学生经历了由特殊到一般的 过程,让学生学会了归纳,同时培养学生的合作意识 .思路二探索练习1.32 表示 个 相乘; (32)3 表示 个 相乘; a2 表示 个 相乘; (a2)3 表示 个 相乘 . 2.(32)3= = (根据 aman=am+n)= ; (a2)3= = (
38、根据 aman=am+n)= . 引导学生观察、猜测(3 2)3 与( a2)3 的底数、指数,并用乘方的概念解答问题 .3.(am)3= = (根据 aman=am+n)= ; (am)n= = (根据 aman=am+n)= . 通过上面的探索活动,你发现了什么?【归纳】 幂的乘方,底数不变,指数相乘 .(am)n=amn(m,n 是正整数) .【说明】 在此过程中教师应当鼓励学生,自己发现幂的乘方的性质特点(如底数、指数发生了怎样的变化), 并运用自己的语言进行描述,然后再 让学生回顾这一性质的得出 过程,进一步体会幂的意义 .设计意图 学生在探索练习的指引下,自主完成有关的练习,并在练
39、习 中发现幂的乘方的法则,经历由猜测到探索的过程,从而理解法则的实际意义,在本质上认识、学习幂 的乘方的来历 .思路三1.x3 表示什么意义 ?2.如果把 x 换成 a4,那么( a4)3 表示什么意 义?3.怎 样把 a2a2a2a2 =a2+2+2+2 写成比较简单的形式?4.由此你会计算( a4)5吗?5.根据乘方的意义 及同底数幂的乘法填空:(1)(53)2 =5353=5( );(2)(52)3=( )( )( )=5( );(3) (a3)5 =a3( )( )( )( )=a( ).6.用同 样 的方法计 算( a3)4,(a11)9,(b3)n(n 为正整数) .这几道题学生都
40、不难做出,在处理这类问题时,关键是如何得出 3+3+3+3=12,教师应多举几例 .(a11)9=a11a11a11= =a99.9个 1111+11+11+11(b3)n=b3b3= =b3n.个 33+3+3+3教师应指出这样处理既麻烦,又容易出错,此时应让学生思考,有没有简捷的方法?引导学生认真思考,并得到:( 23)2 =232=26;(32)3=323 =36;(a11)9=a119=a99;(b3)n=b3n= b3n.观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?怎样说明你的猜想是正确的?(am)n= (乘方的意义
41、)个 = (同底数 幂的乘法)个 +=amn(乘法定 义),即( am)n=amn(m,n 是正整数) .这就是幂的乘方法则 .你能用语言叙述这个法则吗?幂的乘方,底数不变,指数相乘 .设计意图 通过层层导入与渗透,让学生通过类比总结出幂的乘方的 计算法则,整个过程由浅入深,体现了循序渐进的原则 .二、例题讲解过渡语 刚才通过探究我们了解了幂的乘方法则,利用幂的乘方法 则,我们可以直接计算幂的乘方 .(教材例 2)计算:(1)(103)5; (2)(a4)4;(3)(am)2; (4)-(x4)3.解析 要充分理解幂的乘方法则,准确地运用幂的乘方法则进行计算 .启发学生共同完成例题 .学生在教
42、师启发下,完成例题的问题,并进一步理解幂的乘方法则 .解:(1)(10 3)5=1035=1015.(2)(a4)4=a44=a16.(3)(am)2=am2=a2m.(4)-(x4)3=-x43=-x12.想一想: amn 等于( am)n(m,n 是正整数)吗?学生类比同底数幂的乘法运算得出 amn=(am)n(m,n 是正整数),也就是说对于幂的乘方法则,它的逆应用同样成立 .当一个幂的指数是积的形式时,就可以写成幂的乘方的形式 .a20=(a4)( )=(a5)( )=(a2)( )=(a10)( ).已知 xm=4,xn=5,试求代数式 x3m+2n 的值 .解析 x3m+2n x3
43、mx2n 整体代入,即可求解 .()3()2,=4,=5解: x3m+2n=x3mx2n=(xm)3(xn)2=4352=1600.1.(am)n=amn(m,n 都是正整数)的使用范围:幂的乘方 .方法:底数不变,指数相乘 .2.知 识拓展 :这里的底数、指数可以是数,也可以是单项式或多项式 .3.幂 的乘方法 则与同底数 幂的乘法法则区别在于一个是“指数相乘”,一个是“指数相加” .1.下列运算正确的是 ( )A.2a2+3a=5a3 B.a2a3=a6C.(a3)2=a6 D.a3-a3=a解析:A.2 a2+3a,不是同 类项不能相加,故 A 选项错误;B. a2a3=a5,故 B 选
44、项错误;C.( a3)2=a6,故 C 选项正确;D. a3-a3=0,故 D 选项错误 .故选 C.2.下列运算中,计算 结果正确的是 ( )A.3x-2x=1 B.2x+2x=x2C.xx=x2 D.(a3)2=a4解析:A.3 x-2x=x,所以 A 选项不正确 ;B.2x+2x=4x,所以 B 选项不正确 ;C.xx=x2,所以 C 选项正确;D.( a3)2=a6,所以 D 选项 不正确 .故选 C.3.计 算 .(1)xn-2xn+2;(n 是大于 2 的整数)(2)-(x3)5;(3)(-2)23;(4)(-a)32.解析:(1 )根据同底数幂的乘法法则求解;(2)(3)( 4)
45、根据幂的乘方的法则求解 .解:(1 )原式= xn-2+n+2=x2n. (2)原式= -x15. (3)原式=4 3=64. (4)原式= a6.14.1.2 幂的乘方一、法则 的探究推理过程:( am)n= =amn.个 =个 +公式:( am)n=amn(m,n 都是正整数) .法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘 .二、例题讲 解一、教材作业【必做题】教材第 97 页练习 .【选做题】教材第 104 页习题 14.1 第 1 题( 1)(4).二、课后作业【基础巩固】1.计 算( -a3)2 的结果是 ( )A.a6 B.-a6 C.a8 D.-a82.计 算:( a3)2a3= . 3
46、.若 9x=3x+2,则 x= . 4.已知 2m=3,2n=22,则 22m+n= . 5.若 28m=42m,则 m= . 【能力提升】6.若 m,n 都是正整数,且 a1,则( an)m 和( am)n 是否一定相等? 若一定相等,请给予证明;若不一定相等,请举出反例 .7.已知 am=2,an=3,m,n 是正整数且 mn.求下列各式的值:(1)am+1;(2)a3m+2n.【拓展探究】8.试 比较 35555,44444,53333 三个数的大小 .【答案与解析】1.A(解析 :(-a3)2=a32=a6.故选 A.)2.a9(解析:先计算幂的乘方,再计算同底数幂的乘法 .所以原式=
47、 a6a3=a9.)3.2(解析:9 x=32x=3x+2,2x=2+x,解得 x=2,故答案为 2.)4.36(解析:2 m=3,2n=22,22m+n=22m2n=(2m)22n=3222=94=36.)5.1(解析:28 m=42m,223m=24m,1+3m=4m,解得 m=1.)6.解 :(an)m 和( am)n 一定相等,理由为 (an)m=(am)n=amn.7.解 :(1)am=2,am+1=ama=2a. (2)am=2,an=3,a3m+2n=(am)3(an)2=89=72.8.解 :35555=(35)1111,44444=(44)1111,53333=(53)1111,35=243,44=256,53=125,443553,444443555553333.在教学过程中,始终以学生自主探索为主,通过复习提问的形式导入新课,通过学生的探索交流,让学生总结出幂的乘方法则,提高了学生对幂的乘方法则的记忆和理解,设置的引