1、19.2.1 矩形(一)知识与技能 1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系 2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题过程与方法 经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法.并 渗透运动联系、从量变到质变的观点教学目标情感态度与价值观 培养严谨的推理能力，以及自主合的精神，体会逻辑推理的思维价值.重点 矩形的性质难点 矩形的性质的灵活应用教 学 过 程备 注 教学设计 与 师生互动第一步：课堂引入1展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2思考：拿一个活动的平行四边形
2、教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）3再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状 随着 的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？ 当 是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条
3、对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质矩形性质 1 矩形的四个角都是直角矩形性质 2 矩形的对角线相等如图，在矩形 ABCD 中，AC 、BD 相交于点O，由性质 2 有 AO=BO=CO=DO= AC= BD21因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半第二步：应用举例：例 1 （教材 P104 例 1）已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点O，AOB=60，AB=4cm，求矩形对角线的长分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得OAB 是等边三角形，因此对角线的长度
4、可求解： 四边形 ABCD 是矩形， AC 与 BD 相等且互相平分 OA=OB又 AOB=60， OAB 是等边三角形 矩形的对角线长 AC=BD = 2OA=24=8（cm ）例 2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，AB 长 8 cm ，对角线比AD 边长 4 cm求 AD 的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的长分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法略解：设 AD=xcm，则对角线长（x+4 ）cm ，在 RtABD 中，由勾股定理： ，解得 x=6 则 AD=6cm2
5、2)4(8x（2）“ 直角三角形斜边上的高” 是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AEDB ADAB，解得 AE 4.8cm 例 3（补充） 已知：如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，DFAE 于 F，若 AE=BC 求证： CEEF分析：CE、EF 分别是 BC，AE 等线段上的一部分，若 AFBE，则问题解决，而证明 AF BE，只要证明ABEDFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形证明： 四边形 ABCD 是矩形， B=90 ，且 ADBC 1=2 DF AE， AFD=90 B= AFD又 AD=AE， ABEDFA（AA
6、S ） AF=BE EF=EC此题还可以连接 DE，证明 DEFDEC，得到 EFEC例 2 已知：如图 3，矩形 ABCD 中， 于 E，且BDA.BAED3求： 的度数.C分析：由已知 可得3.而所求 是 的一部分，567,5.2CAED就要研究 与其它角的关系.因为 OAOD ，所以 .OADOB把题目中的已知条件 ，与矩形的性质 结合起来，得BE90B到基本图形直角三角形斜边上的高的形式，可以推出 ，于是得到 ，求 的度数也就显然了.52.BAEODCAE图 3解： 90BADC矩 形OABEO, ABE2190455.25.67903ADECDB例 3 已知：如图 4，矩形 ABCD
7、 的对角线 AC、BD 交于 O，EF 过 O 点交AD 于 E，交 BC 于 F，且 EFBF， .求证：CFOF.132图 4分析：欲证 CFOF，只要 ，由矩形可知FOC.由 ，可得到 OEOF ，又因为FBOCDERttEFBF ，有 ，由于 ，于是 步21B进 一,30，又有 ，090EFOFBEODCAD2143,1/，矩 形证 明 ： OFCCOFBBADAEFOBF30912180,21又第 三 步 ： 随 堂 练 习1（填空）（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 （2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 （
8、3）已知矩形的一条对角线长为 10cm，两条对角线的一个交角为 120，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm2（选择）（1）下列说法错误的是（ ） （A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等步为营 （C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）（A）2 对 （B）4 对 （C）6 对 （D）8 对3已知：如图，O 是矩形 ABCD 对角线的交点，AE 平分BAD，AOD=120 ，求AEO 的度数3. 如图 5，在矩形 ABCD 中，求这个矩形的周长.（答案：4,30,EED16 ）3
9、4图 5 图 6在矩形中若存在矩形对角线，那就一定要利用矩形对角线的性质，即相等又平分，转化成等腰三角形，利用等边对等角的性质.4、 已知：如图 6，矩形 ABCD 中，AE 平分 交 BC 于 E，若BAD1CAE求： 的度数.（提示：要充分利用等腰 ，等边 的性BORtO质）解： 矩形 ABCD，AE 平分BA是 等 边 三 角 形AOBCED60154275)3018(249,EBAE第四步：课后练习1（选择）矩形的两条对角线的夹角为 60，对角线长为 15cm，较短边的长为（ ）(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm2在直角三角形 ABC 中，C=90，AB=2AC ，求A、B 的度数3已知：矩形 ABCD 中，BC=2AB ，E 是 BC 的中点，求证：EAED4如图，矩形 ABCD 中，AB=2BC ，且 AB=AE，求证：CBE 的度数课后小结与反思：今天我们主要学习了矩形的定义及性质，矩形是角特殊的平行四边形，决定了矩形的四个角都是直角，对角线相等.由于矩形的对角线把矩形分割成直角三角形，等腰三角形，所以我们还要把直角三角形，等腰三角形，等边三角形的性质、判定好好复习一下，这对于解决矩形问题是大有好处的.学优中!考*，网
