1、第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,7.1 动态电路的方程及其初始条件,1. 动态电路,含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。,当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,过渡过程产生的原因:,电路内部含有储能元件L，C。电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,2.电路的初始状态,（1）把某一时刻的电容电压uc(t)或电感电流iL(t)称该时刻的电路状态。,（2）初始时刻t0的iL(t0)和uc(t0)称电路的初始状态。,3.换路定律,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保
2、持不变。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,4.电路初始值的确定,t =0,已知开关闭合前电路已达到稳定，求开关闭合后各电压、电流的初始值。,2.作t =0+时刻的等效电路。,解：,1. 已知t =0-时，电路达到稳定，iL恒定，uL=0 ,（L2A的电流源）,例7.1:,( t = 0- 为换路前的瞬间,t = 0+ 为换路后的瞬间),L短路。,3.根据t =0+时的等效电路，求各量的初始值。,例7.2:,已知开关打开前电路已达到稳定，求开关打开后各电压、电流的初始值。,解：,1. t =0-时，电路已达到稳定，uC恒定，iC=0 ,由,知,2.作t =
3、0+时刻的等效电路。,（C6V的电压源）,t = 0,C开路。,3.根据t =0+时的等效电路，求各量的初始值。,求初始值的步骤:,1. 在换路前电路中,求uC(0)和iL(0)；,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。,. 画0+等效电路。,. 由0+等效电路，求所需的初始值。,b. 电容用电压源代替，电感用电流源代替。,a. 换路后的电路,例7.3:,(1) 由0-电路求 uC(0-),uC(0-) = 8V,由换路定律,uC (0+) = uC (0-) = 8V,() 由0+等效电路求 iC(0+),解：,已知开关打开前电路已达到稳定，求开关打开后的 iC(0+) 。,例7.4
4、:,iL(0+)= iL(0-) =2A,t = 0时开关闭合, 求 uL(0+),（）求,由换路定律:,解：,（）0+等效电路,例7.5:,iL(0+) = iL(0-) = IS,uC(0+) = uC(0-) = RIS,uL(0+)= - RIS,求 iC(0+) , uL(0+),解:,（1）由0-等效电路,（2）由0等效电路,例7.7:,求S闭合瞬间各支路电流和电感电压。,解:,由0-电路得：,由0+电路可得：,7.2一阶电路的零输入响应,零输入响应：是指电路没有外加激励时的响应。由初始时刻电容中电场的储能，或电感中磁场的储能引起的。,t= 0,1. t 0时，C被充电为u0。,因
5、C上的电压不能突变，uc(0+)= u0，,3. t 0时，换路后。,2. t = 0时，换路的瞬间，,i(t)= u0/R。,uc(0)= u0,1.RC电路的零输入响应：(由uc(0+)产生的响应),由KVL: uR uC = 0,特征方程:,特征方程根:,一阶齐次方程,解得：,得:,初始条件,结论:,u0,0.368u0,0.0184u0,uc不能跃变，ic可以跃变。,2.时间常数,RC电路的零输入响应uc(t),ic(t)都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由决定。=RC（秒）， 越小， uc(t),ic(t)衰减的越快。,3. RC电路能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完
6、毕.,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,3.RL电路的零输入响应：,t 0时：,t = 0,iL(0)=I0,由KVL: uL uR = 0,特征方程：,特征方程根：,I0,结论: iL不能跃变，uL可以跃变。,-RI0,时间常数,=L/R=LG（秒）,5. RL电路能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,4.总结:,A.零输入响应与uc(0),iL(0), 有关。,B.零输入响应的一般形式:,=LG,=RC,C.零输入响应都是按指数规律衰减的，衰减的快慢由决定,越小， uc(t),iL(t)衰减的越快。,D.时间常数的求法:,在
7、换路后(即 )的电路中求。,R是从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。,例7.8:,解: 时的电路为:,时, S打向b点,求uc(t) 。,已知:,例7.9:,时，S打向b点，求iL(t) 。,解:,时的电路为:,例7.10:,电路中的电容初始电压为24V，求S闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解:,分流得：,7.3一阶电路的零状态响应,一.RC电路零状态响应,动态元件本身没有储能uC(0)=0，或iL(0)=0。响应仅与外加激励有关。,1.RC(并联）电路的零状态响应,t = 0时,开关打开。,因电容上的电压不能突变,t =0+时，全部电流都流过C，使C充电，R上没有电流。,t
8、 时,C上没有电流，uC恒定，C相当与开路，全部的电流都流过R。,由KCL: ic+iR= Is,一阶非齐次方程,电容电压的变化率：,暂态响应 稳态响应,暂态响应,稳态响应,完全解:,解得:,方程解有两部分：,齐次方程解 非齐次方程特解,固有响应 强制响应,电路中各输出波形：,IS.R,IS,IS,2.RC(串联）电路的零状态响应,由KVL: uR +uc= US,暂态响应：,稳态响应：,完全解:,解得:,t = 0,u C (),4,US/R,3. 能量关系,电容储存：,电源提供能量：,电阻消耗能量：,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,二.RL电路的零状态响应
9、,t = 0,由KVL: uL+ uR = US,暂态响应：,稳态响应：,=L/R=LG,解得:,完全解:,2.RL(并联）电路的零状态响应,解：,暂态响应：,稳态响应：,=L/R=LG,由KCL: iR + iL= IS,t = 0,解得:,完全解:,三.总结:,A.零状态响应的一般形式:,=LG,=RC,B.零状态响应都是按指数规律上升的，上升的快慢由决定,越小， uc(t),iL(t)上升的越快。,例7.11:,已知uC(0) = 0，t = 0时开关合上。,求：t 0 时的uC(t)，u0(t)。,解法一：,t = 0,解法二：,时的戴维宁等效电路：,例7.12:,已知 t = 0时开
10、关合上。,求：t 0 时的iL(t), i(t)。,解: t 0 时,从L两端看进去的戴维宁等效电路：,t =0,+ U0C-,求i(t)要回到原电路,2.5,2,0.5,7.4 一阶电路的全响应,已知：,S (t=0),1.全响应,若US=0:,零输入响应,零状态响应,完全响应,完全响应=零输入响应+零状态响应,若 :,US,U0,例7.13:,已知：uC(0)= 4V,求：t 0 时,uC(t)。,解：零输入响应:,零状态响应:,完全响应:,例7.14:,已知：uC(0)= 1V,求：t 0 时,i(t)。,解：1.零输入响应:,2.零状态响应:,（两个电源，用叠加定理）,1A单独作用：,
11、10V单独作用：,完全响应:,2.三要素法,三要素为：,三要素法是一种很重要的分析方法。它适用于在直流电源作用下，有损耗的一阶电路（既有电阻的电路，只有这样的电路才能进入稳态）。, 时间常数 =RC, =L/R,f (0+) 初始值,f () 稳态值,稳态时,电容相当于开路。 稳态时,电感相当于短路。,（同一电路 相同）,1.f (t)增长的情况：,RC电路或RL电路在直流输入的情况下,（包括零输入）电路的电压或电流无非是按两种规律 变化，一是指数衰减，二是指数上升。,初始值为零时，f (0+)=0,零状态响应,初始值不为零时，,完全响应,2.f (t)衰减的情况：,稳态值为零时， f ()
12、=0,零输入响应,稳态值不为零时， f () 0,完全响应,分析电路时，只需求出f (0+) f () 这三个要素就能画出波形，并能迅速写出相应的表达式。,总结：t = 0+ t =时的等效电路,电压、电流的初始值，稳态值的计算：,例7.15:,已知开关闭合前电路已达到稳定，用三要素法求uC(t)。,t =0,解： 1.求uC(0+) :,t =0-时，电路已达到稳定，C开路。,2.求 ：,t 时，C开路,3.求：,或：,例7.16:,已知: t = 0时S1合上，t = t1时S2合上。求iL(t)，并画出波形。,解： 1. t = 0时S1合上,t =0- 时:,t 时，L短路,2.t =
13、 t1时S2合上,t = t1,t 时，L短路,设S2合上前为：t = 0-,t1,4 1,4 2,输出波形：,例7.17:,t = 0,求 t 0 时,uL(t)。,(a). t = 0- 时，电路已达到稳定，即t 时，L短路。 uL(0-)= 0, 受控源也为零。,解：1. 先求uL(0+),（L1A的电流源）,3. 求,(a). 先求R,2. 求uL(),t 时，L短路。 受控源也为零。,另解：先求iL(t),在求uL(t)。,t = 0,t = 0- 时，电路达稳定，L短路。uL(0-)= 0, 受控源也为零。,1. 求iL(0+),2. 求iL(),t 时，L短路。 受控源也为零。,
14、3. 求,方法同上：,用三要素法求响应，不需先求动态变量uc(t),iL(t)，只需求出f (0+) ，f () ， 这三个量就能写出相应的表达式：,一阶电路作业,7-1（b），7-5，7-8，7-12，7-14，7-19，7-20,7.5 二阶电路的零输入响应,一.RLC 电路微分方程的建立,由KVL:,代入上式,(串联电路选uC为求解变量),t = 0,特征方程为：,特征根为：,二. 零输入响应的三种情况,P1、P2为不相同的负实数；,P1、P2为共轭复数；,临界情况（临界阻尼）,非振荡放电过程（过阻尼）,P1、P2为相同的负实数；,振荡放电过程（欠阻尼）,1.过阻尼情况,P1、P2是不相
15、同的负实数；,联立两式可求得A1、A2,例7.1：,已知 uc(0)=0，iL(0)=1A，US=0，求uc(t),iL(t)，t0。,解：电路的微分方程为：,解得：,tm,tm,2tm,uL,ic,电路的响应是非振荡性的。,iC为极值时(即uL=0时)的tm的 t,计算如下:,由duL/dt可确定uL为极小时的 tn .,能量转换关系,0 t tm uc减小 ，i 增加。,t tm uc减小 ，i 减小.,2.临界阻尼情况,P1、P2为相同的负实数；,电路的响应依然是非振荡性的。,联立两式可求得A1、A2,例 7.2：,已知 uc(0)=-1V，iL(0)=0，US=0，求iL(t)，t0。
16、,解：电路的固有频率为：,3.欠阻尼情况,P1、P2为共轭复数,其 中：,，间的关系:,t=0时 uc=U0,uc零点：t = -，2- . n-,ic,uL零点：t = ，+，2+ . n+,ic零点：t =0，2. n ，为uc极值点,ic 极值点为uL零点。,能量转换关系,0 t , t -,- t ,4. R =0,P1、P2为虚数；（无阻尼）,等幅振荡,总结：,串联选uC为求解变量,P1、P2为不相同的负实数；（过阻尼）,P1、P2为共轭复数；（欠阻尼）,P1、P2为相同的负实数；（临界阻尼）,非振荡,非振荡,衰减振荡,例7.3:,求在原电路增加一个元件后，电路的状态。,临界阻尼,加
17、C0 后：,过阻尼,A图,解：,0 1,B图,临界阻尼,加受控源：,用外加电压法求R0=U0/ I,I+ i=i,I = () i,又：U0 = -0.02 i,电路从临界阻尼过阻尼,例7.4:,t=0时开关打开。 求uc,并画出变化曲线。,解:,uc(0-)= uc(0+)= 25V,（2）开关打开为RLC串联电路,（1）t=0-的电路,iL(0-)= iL(0+)= 5A,特征方程根：,(3) 根据初始条件,7.6二阶电路的零状态响应和全响应,1. 全响应,由KVL:,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,A1,A2由uc(0),iL(0)定出。,2. 零状态响应,uc(0-)=0, iL(0-)=0
18、,例7.5：,已知 uc(0)=-5V，US=10V，求uc(t)，iL(t), t0。,解：,3. GCL并联电路的分析,与RLC串联电路分析是对偶的,由KVL:,由KCL:,选uC为求解变量,选iL为求解变量,P1、P2为不相同的负实数；,P1、P2为相同的负实数；,非振荡,非振荡,过阻尼,临界阻尼,P1、P2为共轭复数；,衰减振荡,欠阻尼,P1、P2为不相同的负实数；,P1、P2为相同的负实数；,非振荡,非振荡,过阻尼,临界阻尼,P1、P2为共轭复数；,衰减振荡,欠阻尼,P1、P2为虚数；（无阻尼）,等幅振荡,等幅振荡,P1、P2为虚数；（无阻尼）,例7.6：,若u0为等幅振荡时,解:
19、t 0时:,已知U0= u1 , u0为等幅振荡时, u1也为等幅振荡.,由KCL:,选u1为求解变量,已知初始状态为零,求 u0(t)=? , t0。,对u1求一次导,整理后:,LC是并联，iC(0)iL(0)，iC(0)要在t=0+的等效电路中求出。,t =0 + 时，C 短路，L开路。,7.7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,一.阶跃函数,1.单位阶跃函数,2.延时单位阶跃函数,1,t0,3.用阶跃函数表示激励,t = 0,t = 0,4.用阶跃函数表示响应,零状态响应:,二.单位阶跃响应,t0,t0,+,例6.18:,已知 uc(0)=10V , US如图，求 i (t)。,解： 1. t = 0时，uc(0)=10V, （零输入响应）,2. t 2S时，（零状态响应）,二阶作业：,7-21 7-25 7-29,
