1、学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,学点六,1.一般地，我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫 做 （简称为 ）.,元素,集,集合,2.集合通常用 来表示，而集合中的元素通常 来表示 ，如果a是集合A中的元素，就说 ，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说 ，记作 ；,大写拉丁字母A，B，C，,小写拉丁字母a,b,c,a属于集合 A,aA,3.集合中元素具有的性质 、 、 .,确定性,互异性,无序性,4.常用的数集 （1）非负整数的全体构成的集合叫 ，记作 ； （2）在自然数集内排除零构成的集合叫 ，记作 ； （3）整数的全体构成的集合叫 ，记作 ； （4）有理数构成的集合叫 ，记
2、作 ； （5）实数的全体构成的集合叫 ，记作 .,a不属于集合A,自然数集,N,正整数集,N*或 N+,整数集,Z,有理数集,Q,实数集,R,5.列举法是 . 6.如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的 . 7.描述法的表示形式为 .,把集合中元素一一列举出来放在“ ”内，这种表示集合的方法叫列举法,特征性质,xI|p(x),学点一 集合的概念,下列各组对象能否组成集合. (1)小于10的自然数：0,1,2,3,9; (2)满足3x-2x+3的全体实数; (3)所有直角三角形; (4)到两定点距离的和等
3、于两定点间的距离的点; (5)高一(1)班成绩好的同学; (6)参与中国加入WTO谈判的中方成员; (7)小于零的自然数; (8)小于等于零的正整数.,【分析】一组对象能否构成集合,关键在于其是否具有确定性.,【解析】由于研究对象具有确定性,故(1) (2)(3)(4) (5)(6) 构成集合;(7) (8)中的元素不存在因构成空集;而(5)中的对象无标准,因成绩是否好是不确定的,不能构成集合.,【评析】要构成集合,必须明确集合中的元素是确定的,模棱两可、似是而非的不确定元素不能构成集合.,下列各组对象能否构成集合: (1)所有漂亮的人; (2)所有大于0的正整数; (3)不大于3且不小于0的
4、有理数; (4)所有的正整数; (5)某校2009年在校的所有成绩好的同学.,解析： (1)不能.“漂亮”的标准不具有元素的确定性，故不能构成集合. (2)能.所有大于0的正整数为1,2,3,故能构成集合. (3)能.满足条件的集合为xQ|0x3. (4)能.所有的正整数构成的集合为N*. (5)不能.成绩“好”的分类标准不明确，故不能构成集合.,学点二 元素与集合的关系,若M是由1和3两个数构成的集合,则下列表示方法正确的是( ) A.3 M B.1 M C.1M D.1M且3 M,【分析】如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA; 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a
5、A.,【解析】注意集合与元素的关系,正确的使用符号“”与“” 易知1M,3M，故应选C.,【评析】集合与元素之间的关系只能是属于和不属于的关系， 即对于集合A和某一个元素x,有一个明确的判断标准，即是xA， 还是xA，两者必居其一，且仅居其一.,C,给出下列命题: N中最小的元素是1; 若aN,则-aN; 若aN,bN,则a+b的最小值是2. 其中所有正确命题的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,A,对命题逐个分析判断. N是自然数集,最小的自然数为0,故错误; 若aN,则-aN,错误,如a=0时,-a=0N,故错误; 因为N中最小元素为0,故当aN,bN时,a+b的最小值为
6、0,故错误.,学点三 集合中元素的性质,已知由1,x,x2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件.,【分析】1，x,x2是集合中的三个元素，则它们是互不相等的.,【解析】根据集合中元素的互异性，得所以xR且x1且x0.,【评析】解决这类问题的主要依据是集合元素的性质特征 互异性，列出两两元素的关系式求解，通常要用到分类讨论.,集合3,x,x2-2x中，x应满足的条件是 .,【解析】 x3且x0且x-1根据构成集合的元素的互异性，x应满足解之得x3且x0且x-1.,学点四 集合的表示,【分析】（1）根据x的范围解方程；（2）根据绝对值的意义化简；（3）所求的x要满足两个条件：x是正整数；使 是整
7、数.,用列举法表示下列集合： （1）A=x|x=|x|,xZ且x8; （2）B=x|x= + ,a,b为非零实数； （3）C=x| Z,xN+ ,【解析】（1）x=|x|,x0,又xZ且x8, x|x=|x|,xZ且x8用列举法表示为0,1,2,3,4,5,6,7.,（2）当a0,b0时，x=2;当a0,b0时，x=-2；当a,b异号时，x=0. B=-2,0,2.,（3）由题意，知3-x=1,2，3，6, x=0, -3,1,2,4,5,6,9,又xN+, C=1,2,4,5,6,9.,【评析】掌握集合的两种表示形式的关系和转化,(1)用适当的方法表示下列集合: 方程组 的解集;(2)1 0
8、00以内被3除余2的正整数所组成的集合; (3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合; (4)所有的正方形; (5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.,（1）由 得方程组的解集为(4,-2). （2）1 000以内被3除余2的正整数可以表示为x=3k+2,kN的形式. 故所求的集合为x|x=3k+2,kN,且x0,用集合表示为(x,y)|x0. （4）所有的正方形构成的集合表示为正方形. （5）在直角坐标平面上,在直线x=1和x=-1两侧的点,其横坐标x1或x1或x-1.,【分析】元素在集合中时,用符号“”，而元素不在集 合中时，用符号“”.,学点五：数集的应用
9、,用符号“”或“”填空: 1 N,-1 N*,-3 N,0.5 N, N; 1 Z,0 Z, -3 Z,0.5 Z, Z;1 Q, 0 Q,-3 Q,0.5 Q, Q;1 R,0 R, -3 R,0.5 R, R.,【评析】数集的范围不明或数集的符号记忆错误是出错的主要原因.,用符号“”或“”填空: (1)0 N*;5 Z;(-1)0 N*. (2) x|x4; x|x2+ . (3)3 x|x=n2+1,nN*; 5 x|x=n2+1,nN*. (4)(-1,1) y|y=x2; (-1,1) (x,y)|y=x2.,学点六 集合的应用,已知集合A=x|ax2+2x+1=0. （1）若A中只
10、有一个元素，求a的取值范围; （2）若A中至少有一个元素,求a的取值范围; （3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围,【分析】理解“只有”“至少”“至多”的准确含义是解本题的关键.,【解析】（1）A中只有一个元素方程ax2 +2x+1=0只有一解.若a0,则=0,解得a=1，此时x=-1.若a=0,则x=-12.当a=0或a=1时,A中只有一个元素. （2）当A中只有一个元素时,由（1）知a=0或a=1;当A中有两个元素时,需满足条件a0,0.得a1且a0.综上，得a1.,（3）A中至多有一个元素方程ax2 +2x+1=0至多有一解.=4-4a0 a0或a=0, a1或a=0.当a1或a=0
11、时，A中至多有一个元素.,【评析】本题应用一元二次方程有关根的讨论，将集合语言转化为方程解的问题. 本题难点在于如何将集合中元素个数转化为方程系数所需要的条件.,已知数集A满足条件:若aA,则 A (a1). (1)若2A,试求出A中其他所有元素; (2)自己设计一个数属于A,再求出A中其他所有元素; (3)从(1)(2)中你能发现什么规律,并论证你的发现.,（1）2A,则 =-1A,-1A,则 = A, A,则 =2A.A中其他元素为-1, .（2）可根据自己所选的数去重复(1)中的过程.,(3)观察(1)(2)不难发现:A是由“a, , ”三个元素 构成的集合，并且a =-1.证明:设aA
12、,则 A, A,则= A. A,则 =a A A是由“a, , ”三个元 素构成的集合，并且a =-1 . 即这三个元素的乘积恒为-1.,1.解题时如何利用集合中元素的性质?,集合中元素的确定性、互异性、无序性是集合中元素的三个重要性质，要充分理解和认识三个性质，掌握其规律.如在解有关集合相等时,集合中元素间存在相等关系,元素顺序是一个重要因素,利用元素的无序性,可解决此问题.另外在解决了表示集合元素的字母后,应代回集合中检验互异性.,2.集合的列举法和描述法的转换如何进行?,集合的表示形式主要有两种:列举法和描述法.当需要转换表示形式时,可这样实施,由描述法到列举法,只需把满足特征性质的所有
13、元素一一写出来即可,而完成由列举法到描述法时,需由列出的元素找规律,常常用归纳、猜测、计算等方法，要注意元素的一些限制条件.,1.集合和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素 和集合关系的.如11,2,3的写法是错误的，而 11,2，3的写法就是正确的.,2.解题时要特别关注集合元素的三个性质,特别是互异性,要 进行解题后的检验.,3.注意将数学语言与集合语言进行相互转化.,4.列举法与描述法各有其优点,应该根据具体问题确定采用哪 种表示法,列举法有直观、明了的优点,但有些集合是不能用 “列举法”表示出来的,如满足x3的x的集合.描述法是把集合 中元素所具有的特征性质描述出来,具有抽象、概括、普遍性 的优点.表示一个集合可认为是进行如下的过程：,祝同学们学习上天天有进步！,
