1、1、基本概念和考点、基本概念和考点2、合理分类和准确分步3、特殊元素和特殊位置问题、特殊元素和特殊位置问题4、相邻相间问题、相邻相间问题5、定序问题6、分房问题7、环排、 多排问题多排问题12、小集团问题、小集团问题10、先选后排问题9、平均分组问题11、构造模型策略8、实验法（枚举法）13、其它特殊方法排列组合应用题解法综述 （目录）排列组合应用题解法综述计数问题中排列组合问题是最常见计数问题中排列组合问题是最常见的，由于其解法往往是构造性的的，由于其解法往往是构造性的 , 因此因此方法灵活多样方法灵活多样 , 不同解法导致问题难易不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现变化也较大，
2、而且解题过程出现 “ 重重复复 ” 和和 “ 遗漏遗漏 ” 的错误较难自检发现的错误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结，并把握。因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。一些常见解题模型是必要的。返回目录基本原理组 合排列 排列数公式组 合数公式组 合数性 质应用问题知识结构网络图：返回目录名称内容 分 类 原理 分步原理定 义相同点不同点两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数直接（ 分类 ）完成 间接（ 分步骤 ）完成做一件事，完成它可以有 n类办法，第一类办法中有 m1种不同的方法，第二类办法中有 m2种不同的方法 ，第 n类办法中有 mn种不同的方法， 那么
3、完成这件事共有 N=m1+m2+m3+m n 种不同的方法做一件事，完成它可以有 n个步骤，做第一步中有 m1种不同的方法，做第二步中有 m2种不同的方法 ，做第 n步中有 mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1m2m3m n 种不同的方法 .回目录1.排列和组合的区别和联系：名 称 排 列 组 合定 义种数符号计 算公式关系性 质 ，从 n个不同元素中取出 m个元素， 按一定的顺序 排成一列从 n个不同元素中取出 m个元素， 把它并成 一组所有排列的的个数 所有组合的个数回目录2.掌握解决排列组合问题的常用策略 ;能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力
4、。 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题 .教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。返回目录完成一件事，有完成一件事，有 n类办法，在第类办法，在第 1类办法中类办法中有有 m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第 2类办法中有类办法中有m2 种不同的方法，种不同的方法， ，在第，在第 n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法1.分类计数原理分类计数原理 (加法原理加法原理 ) 返回目录完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成 n个步骤，做第个步骤，做第 1步有步有 m1种不同的方法，做第种不同
5、的方法，做第 2步有步有 m2 种不同种不同的方法，的方法， ，做第，做第 n步有步有 mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有：那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法2.分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）分步计数原理分步计数原理 各步相互依存各步相互依存 ，每步中的，每步中的方法完成事件的方法完成事件的 一个阶段一个阶段 ， 不能完成整个事不能完成整个事件件3.分类计数原理分类计数原理 分步计数原理区别分步计数原理区别分类计数原理分类计数原理 方法相互独立方法相互独立 ，任何一种，任何一种方法都可以方法都可以 独立地完成这件事独立地完成这件事 。返回目录1、某校
6、 组织 学生分 4个 组 从 3处风 景点中 选 一处 去春游 ,则 不同的春游方案的种数是（ ）A. B. C. D.C回目录2、将数字 1、 2、 3、 4 填入 标 号 为 1、 2、 3、 4 的四个方格里 , 每格填一个数字， 则 每个方格的 标号与所填的数字都不相同的填法共有（ ）。A. 6 种 B. 9种 C.11种 D.23种（ 331= 9. 可用框 图 具体填写）B考点分析从考纲大纲看：高考对这部分的要求还是比较高的 .要重视两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用 .值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合 .画一画，数一数，算一算，是基本的计数方法，不可废弃 .
7、例（ 2001年新课程卷） 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得 3分；平一场，得 1分；负一场，得 0分 .一球队打完 15场，积 33分 .若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有： A 3种 B 4种 C 5种 D 6种 .回目录解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下 :1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事 ,即采取分步还即采取分步还是分类是分类 ,或是分步与分类同时进行或是分步与分类同时进行 ,确定分多确定分多少步及多少类。少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是
8、排列问题 (有序有序 )还是还是组合组合 (无序无序 )问题问题 ,元素总数是多少及取出多元素总数是多少及取出多少个元素少个元素 . 解决排列组合综合性问题，往往类与步交解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略叉，因此必须掌握一些常用的解题策略回目录判断下列问题是组合问题还是排列问题 ? (1)设集合 A=a,b,c,d,e，则集合 A的含有3个元素的子集有多少个 ?(2)某铁路线上有 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票 ? 有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法 ?组合问题(4)10人
9、聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次 ?组合问题(5)从 4个风景点中选出 2个安排游览 ,有多少种不同的方法 ? 组合问题(6)从 4个风景点中选出 2个 ,并确定这 2个风景点的游览顺序 ,有多少种不同的方法 ? 排列问题组合问题回目录合理分类和准确分步解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏； 按 事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚 .回目录总的原则 合理 分类和 准确 分步解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。解法 1 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分
10、两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例 1 6个同学和 2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的 5人可自由安排，有 种方法 .2) 若甲在第 2、 3、 6、 7位，则 排尾的排法有 种， 1位的排法有 种 , 第 2、 3、 6、 7位的排法有 种 ，根据分步计数原理，不同的站法有 种。再安排老师，有 2种方法。回目录把握分类原理、分步原理是基础例 1如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路 ,其中有 6个焊接点 A， B， C， D， E， F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了 ,
11、 那么焊接点脱落的可能性共有（ ）A.63种 B.64种 C.6种 D.36种分析 :由加法原理可知由乘法原理可知： 222222-1=63回目录（ 1） 0， 1， 2， 3， 4， 5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？练 习 1分类：个位数字为 5或 0：个位数为 0：个位数为 5：回目录（ 2） 0， 1， 2， 3， 4， 5可组成多少个无重复数字且大于 31250的五位数？分类：引申 1： 31250是由 0， 1， 2， 3， 4， 5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）方法二：（直接法）引申 2：由 0， 1， 2， 3， 4， 5组成的无重复
12、数字的五位数中大于 31250，小于 50124的数共有多少个？(2004 全国 12) 在由数字 1， 2， 3， 4， 5组成的所有没有重复的 5位数中，大于 23145且小于 43512的数共有（ ）个58回目录合理分类与分步策略例 .在一次演唱会上共 10名演员 ,其中 8人能唱歌,5人会跳舞 ,现要演出一个 2人唱歌 2人伴舞的节目 ,有多少选派方法 ?解：10演员中有 5人只会唱歌， 2人只会跳舞3人为全能演员。 以只会唱歌的 5人是否选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的 5人中没有人选上唱歌人员共有 _种 ,只会唱的 5人中只有 1人选上唱歌人员 _种 ,只会唱的 5人中只有 2
13、人选上唱歌人员有 _种，由分类计数原理共有 _种。+回目录本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准：*以以 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以以 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的以只会跳舞的 2人是否选上跳舞人员为标准人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。回目录有不同的数学 书 7本， 语 文 书 5本，英 语书 4本，由其中取出不
14、是同一学科的 书 2本，共有多少种不同的取法？（ 75 + 74 + 54 = 83）回目录（ 4）（ 2005福建 理）从 6人中选 4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）A 300种 B 240种 C 144种 D 96种B（直接法）分三种情况：情况一 ,不选甲、乙两个去游览 :则有 种选择方案 ,情况二 :甲、乙中有一人去游览：有 种选择方案 ;情况三 ： 甲、乙两人都去游览 ,有 种选择方案 ,综上不同的选择方案共有 + + =240 （间接法）回目录1.从 4名男生和
15、 3名女生中选出 4人参加某个座 谈会，若这 4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 _ 34 练习题2. 3成人 2小孩乘船游玩 ,1号船最多乘 3人 , 2号船最多乘 2人 ,3号船只能乘 1人 ,他们任选2只船或 3只船 ,但小孩不能单独乘一只船 ,这 5人共有多少乘船方法 . 27回目录特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解 :由于末位和首位有特殊要求 ,应该优先安排 ,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有 _ 然后排首位共有 _最后排其它位置共有 _由分步计数原理得 =288位置分
16、析法和元素分析法是解决排列组合问题最常位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法用也是最基本的方法 ,若以元素分析为主若以元素分析为主 ,需先安排需先安排特殊元素特殊元素 ,再处理其它元素再处理其它元素 .若以位置分析为主若以位置分析为主 ,需需先满足特殊位置的要求先满足特殊位置的要求 ,再处理其它位置。若有多再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件兼顾其它条件回目录“特殊元素、特殊位置优先安排法 ”对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。例 2 用 0， 1， 2，
17、 3， 4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）A.24 B.30 C.40 D.60分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为 0不能排首位，故 0就是其中的 “特殊 ”元素，应优先安排。按 0排在末尾和不排在末尾分为两类；1) 0排在末尾时，有 个；2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有 个；3) 由分类计数原理，共有偶数 30 个 .B解题技巧回目录学生要从六 门课 中 选 学两 门 ：（ 1）有两 门课时间 冲突，不能同 时 学，有几种 选 法？（ 2）有两 门 特 别 的 课 ，至少 选学其中的一 门 ，有几种 选 法？回目录解法一：解法二：（ 1）有两 门课时间 冲突 ,不能同 时 学，有几种 选 法？回目录解法一：解法二：（ 2）有两 门 特 别 的 课 ，至少选 学其中的一 门 ，有几种 选 法？特殊元素（或位置）优先安排例 将 5列车停在 5条不同的轨道上，其中 a列车不停在第一轨道上， b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（ ）（ A） 120种 （ B） 96种 （ C） 78种 （ D） 72种解：
