1、高次方程及解法 江江 苏苏 省通州高省通州高 级级 中学中学 徐嘉徐嘉 伟伟一般地，我们把次数大于 2 的整式方程，叫做高次方程。由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“ 1 判根法”、 “常数 项约数法”、 “倒数方程求根法”、 “双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。一、 1 判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则 1 是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，
2、则 -1 是方程的根。求出方程的 1 的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1 ）或者（ x+1）,降低方程次数后依次求根。 “ 1 判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。例 1 解方程 x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意: 一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零 ,+1 根”,即原方程中可分解出因式(x-1), (x4+2x3-9x2-2x+8) (x-1)= x3+3x2-6x-8 观察方程 x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：
3、1-6=-5 ，根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因式（ x+1），（x3+3x2-6x-8） (x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程 x2+2x-8=0 有（x+4）（x-2）=0, 原高次方程 x4+2x3-9x2-2x+8=0 可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即 :当(x-1)=0 时,有 x1=1;当(x+1)时，有 x2= -1;当(x-2) =0 时，有 x3=2; 当(x+4)=0 时，有 x4=-4点拨提醒：在运用“ 1 判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式
4、anxna n-1xn-1+ +a1x+a0可分解出因式 Px-Q,即方程 anxna n-1xn-1+ +a1x+a0=0 有有理数根 （、Q 是 P互质整数），那么，一定是首项系数 an 的约数，Q 一定是常数项 a0的约数”，我 们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型：首项系数为 1。对首项（最高次数项）系数为 1 的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。例 1 解方程 x4+2x3-4x2-5x-6=0解：第一
5、步：首先列出“常数项”-6 的所有约数 1、 2、 3、 6 第二步：将这些约数逐一代入原方程验算，确定原方程中所含的“带根”因式。根据各项系数和不为零和奇数项系数和不等于偶数项系数和，排除 1 根， f(2)=16+16-16-10-6=0 f(-3)=81-54-36+15-6=0,所以原方程中含有因式（x-2）（x+3）第三步：用长除法将原方程降次。 （x4+2x3-4x2-5x-6） (x-2) (x+3)= x2+x+1第四步：解一元二次方程 x2+x+1=0x= =acb24211ix1= x2= x3=2 x4= -3,3i,i第二种类型，首项系数不为 1 。对首项系数不 为的高
6、次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是 而不PQ是，因为此 时原方程的因式是（ x），其余的解法步骤同首项系数为的解法步骤相同。例 解方程x 3-x2x -6解：将原方程化为 （x3- x2 x -） 此时， “常数项”为-2，它的约数为 1， ，根据 “ 1 判根法”排除 1，这时，代人原方程验算的只能是 = ，或 = - PQ32f( )=3 =3 0=0322 278所以原方程中有因式（3 X-2）。（3x3-x2x -6 ） (3x -2)= x2+3解方程式 x2+3=0 x= ， x1= ，x2=
7、-3i3i3i原方程的解 为 x1= ，x2= ，x3=i三、倒数方程求根法1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如 a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中， 或者 a= -e,b= -d,eadb2、性质：倒数方程有三条重要性质：（1）倒数方程没有零根；（2）如果 a 是方程的根，则 也是方程的根；a1（3）奇数次倒数方程必有一个根是-1 或者 1，分解出因式 (x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。3、倒数方程求解方法：如果 a x4+bx3+cx2+dx+e=0 是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即 x 0,所以，方程两边同除以 x2得：a
8、(x 2+ )+b(x+ )+e=0,令 1xxx+ =y, x2+ =y2-2,即原方程变为：11ay2+by+(e-2a)=0, 解得 y 值，再由 x+ =y，解得 x 的值。x例 1 解方程 2 x4+3x3-16x2+3x+2=0解： x2 0 方程两边同除以 x2 得：2x 2+3x-16+ + =0,即x322（x2+ ）+3（x+ ）-16=0, 2（x+ ） -2+3（x+ ）-16=0, 11令 x+ =y, 代入方程整理得：2y 2+3y-20=0, 解之得：y 1= -4, y2= 1 5即 x+ = -4, x2+1= -4x, x2+4x+1=0, x= =x ac
9、b4= = =-2 ,21434x1= -2+ , x2= -2 -3又 x+ = 2x2+2=5x, 2x2-5x+2=0 (2x-1)(x-2)=0 5x3= , x4=22经检验知 x1= -2+ , x2= -2- ，x3= , x4=2 都是原方程的根。321例 2 解方程 6x5 - 4 x4 -3x3+3x2 -4x -6=0解：观察该方程首尾等距离对应项系数互为相反数，且最高次幂项数是奇数，有根 x=1,方程两边同除以因式（x-1 ）得：6x4+10x3+7x2+10x+6=0， 方程两边同除以 x2并整理得：6+10 , 令 y= 得21x071xx1051y方程 x+ 无实
10、数解：,651y2y65651x得：xx1264503, 经检验知： 是原方程的实数根。5,12 点评讲析：例 1、例 2 这些倒数方程的特征是首尾等距离对应项系数相等，用一般表达式表述为 ax4+bx3+cx2+dx+e=0,其中 a=e,b=d,或者 a= -e,b= -d 对首尾对应项系数相等的方程，我们一眼就能发现是“倒数方程”，两边同除以 x2,化成可用“换元法”替解的一元二次方程求解。但有些方程，首尾等距离对应项系数不相等，但这些系数又有这样的规律：如 ax4+bx3+cx2+k (a )即常数项可以分02akb解成同四次项系数相同的数字“a”和另一个因数“k 2”的乘积，一次项系
11、数可分解出同三次项系数相同的数字 b 和与常数项 相同的数2k字 k 的乘积 ，凡是具有 这样规律特征的方程，也可以用“倒数方程求根法”来解答。例 3：x4+5x3+2x2+20x+16=0解： ， d=20=4ake16bk5属于倒数方程的“特例形式”，可用“倒数方程求根法”求解。原方程两边同除以 x2 得： x2+5x+2+ ，0162x设 y=x+ ,则04516248162yx即：y 2+5y-6=0 y= -6 或 1,当 y= -6 时，x+ 53,当 y=1 时，x+ (无 实数根) , 14x531x2四、双二次方程及推广形式求根法双二次方程有四种形式：第一种是标准式，如：ax
12、 4+bx2+c=0 ,此时设 y=x2 原方程化为含 y 的一元二次方程 ay2+by+c=0，求出 y 值 在代入 x2之值，从而求出 x 之值。第二种形式双二次方程的推广形式。如：（ax 2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0 ,此时设 y=(ax2+bx+c),也可转化为含 y 的一元二次方程 y2+my+d=0,解出 y 值代入 ax2+bx+c=y从而求出原方程的根 x 之值。第三种形式是(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,此时，方程左 边按照“创造相同的多项式，换元替换”的要求，将（x+a）(x+c); (x+b)(x+d)结合（一般是最小数与最大数，中间
13、数与中间数组合），展开相乘，创造相同的多项式（ax 2+bx+c）或成比例的多项 式 m(ax2+bx+c),然后设y=ax2+bx+c,将原方程转化为含 y 的一元二次方程 y2+my+e=0,求出 y值，将 y 值代入 ax2+bx+c=y 求 x 之值。第四种形式是（x-a） 4+(x-b) 4=c 的形式，此时，将“-a” 换成“+b” 或将“-b” 换成 “+a”，利用 y=x+ ,消去 x 的三次项和一次项，变2ba成双二次方程 + 的形式求解。42bay4y例 1 解方程 x4+3x2-10=0解：本例属于双二次方程标准式 ax4+bx2+c=0 的形式，直接设y=x2,则原方程
14、化为：y 2+3y-10=0 (y+5)(y+2)=0 y= -5 或者 y=2 (舍去 )，x2=2,x1= ，5x2x例 2 解方程（x 2-3x+2）2=9x-3x2-2解：本例属于双二次标准方程 ax4+bx2+c=0 推广形式的第二种类型（ax 2+bx+c）2+m(ax2+bx+c)+d=0，因为括号内的二次三项式和括号外的二次三项式经过整理，对应项系数成比例，即：(x 2-3x+2)2+3(x2-3x+2)-4=0 设 y=x2-3x+2,则原方程转化为 y2 +3y -4=0 ，或者 4yy=1 x2-3x+2=-4 ,x2-3x+6=0 无实数根, x2-03x+2=1,x2
15、-3x+1=0 x= 原方程的根 x1= x2=53,5353例 3 解方程(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x 2解：本例题属于双二次标准方程 ax4+bx2+c=0 推广形式的第三种类型（x+a）(x+b)(x+c)(x+d)+m=0,这种方程解答的核心要领是“创造可供设 y 换元的相同多项式”。根据这个要求，只有将（x+2）(x+12)和(x+3)(x+8)组 合（最小数 2 和最大数 8 组合，中间数 3 和 8 结合），才能创造出“相同”的多项式“x 2+24”,即 ，2412x241x设 则原方程转化为(y+14x)(y+11x)=4x 2, y2+25xy+150x2
16、=0, 24xy(y+10x)(y+15x)=0 y+10x=0 或 y+15x=0, y+10x+24=0 或y+15x+24=0, x2+10x+24=0, x1=-4 x2=-6; x2+15x+24=0, , 195x29531954例 4 解方程(x-6) 4+(x-8)4=16解：本题属于双二次标准方程 ax4+bx2+c=0 推广形式的第四种类型（x-a ）4+(x-b)4=c 的形式。 (x-6)4+(x-8)4=(x-7+1)4+(x-7-1)4,设 y=x-7286xx7 则原方程转化为: , 161y(y4+4y2+1+4y3+2y2+4y)+(y4+4y2+1-4y3+2y2-,112y4y)=16 y4+6y-7=0 , , y2=-7 或 y2=1,y2=-7 无解；017yy2=1, y= x-7= x1=8 x2=6 原 方程有根 x1=8 x2=6 点拨提醒：凡是(x+a) 4+(x+b)4=c 类型，设 ,将双二次ba方程(x+a) 4+(x+b)4=c 转化为 + 利用2baycy2,，消去 x 的三次项和一次 项，变为含 y 的双二次方22ba程 ay4+by2+c=0 求解
