1、33一元高次方程求解任给一个一元二次方程 由韦达定理，的根可以表示为20,axbca 24bacx次方程的一般表达式是n1010,nnax而 称为 次多项式，其中 。当系数 都是实数时，称() nfxax0a01,a1,na是 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称 为 次复系数多项式。如果存在复数 ，使得xn ()fxn，就称 是 次方程 的一个根，或称为 次多项式 的一个根。()0f()0fx()f1799 年，年仅 22 岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。根据代数基本定理可以推出：复数域上 次多项式恰有
2、个复数根，其中 重根以 个根计算。这一结论也可nnk以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何 次多项式都可以分解成 个一次式的乘积。 ”n代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。要求得 次方程的根，一般是希望得到 次方程nn101() 0nfxaxax的求解公式，如二次方程的求根公式那样。众所周知，方程的解早在古代的巴比伦、埃及、中国、印度、希腊等国的数学著作中，都有不同的表述方式。一个 次方程的求根公式是指，的根通过其系数经由加、减、n乘、除以及乘方、开方的表示式，也称这种情况为方程有根式解。三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是说，是否有求根公式？经
3、过漫长的研究之路，直到 16 世纪，意大利数学家卡当（Candano）及其助手才先后给出了三次和四次方程的根式解。这里我们向读者介绍卡当关于三次方程解的公式，从中可看出他所作的极富技巧的变换。另一方面，这个与二次方程仅仅相差一次方的三次方程，是中学时代爱好数学的青少年向往着解决的问题，看看前人是如何解决的，自己又能得到什么启示？不失一般性，可以设三次方程中 的系数为 1，则三次方程为 3x320xabc其中 是任意复数。若令 ，则三次方程简化为 ,abcayypq其中 ， ，3p327bqc设 表示简化方程的根，则据根与方程系数的关系，得 。123,y 1230y若令 ， 。24upqv213
4、zyvy34对于适当确定的立方根，卡当公式是 ， ，31273zqu32732zqu求解线性方程组 ，得到 ，123112320yvz1212231()()yvzy于是，原三次方程的三个根为 ，3312qy， 。2332qy332q其中 ， （ 是虚数单位） 。247p1i1对于四次方程求根，就更加复杂了。但数学家们还是找到了一个解四次方程的办法。与三次情形类似，用一个平移，消去方程 的这一项，于是可假定四次方程为3x420xabc然后构造方程的预解式 2()bu这是 的三次方程。通过这个三次方程解出 ，把得到的 代入，可以把原方程化为两个二次方程来求根。因而可u u以说，对于次数不超过 4
5、的方程，都可以找到根的计算公式，使得方程的每个根可以用方程的系数经过加减乘除和开方运算表示出来。做这件事就叫做根式求解。怎样得到高次方程的近似根伽罗华找到了一个一元高次方程能否根式求解的判别方法，但是他还是没有给出高次程的具体求解方法。那么，如何求得高次方程的根呢？在一般情况下，求出精确根是很困难的，而且科学研究、工程技术季实际应用中，也没有必要求出精确根，只要求出根的近似值。那么，又如何求得高次方程的根的近似值呢？设 是 的一个精确根，即 ，假设问题所要求的精确度为 ，也就是*x()f *()0fx满足 的 ，或满足 的 ，称为 的一个近似根。*x下面我们介绍一下求近似根的几个常用方法：方法
6、一：牛顿切线法取一个初始值 ，然后使用下述迭代公式0x35xyO x*f(xk-1)xk-1f(xk)xk，1()kkfxx0,12,其中 是 的一阶导数。()ff牛顿切线法有明显的几何意义，如右图，因为 的根 满足 ，在直角()fx*()0fx坐标平面中，点 恰是,(yf的曲线与 Ox 轴的交点，于是每次迭代所得的点 正好是曲线上点 的横坐k(,)kxf标。牛顿切线法其实就是过曲线上的一列点所作曲线的切线与 Ox 轴的交点。方法二：牛顿割线法在方法一中，只要给定一个初始点 。而方法二中，我们给定两个初始点 。然后0x 01,x在每次迭代时，把 作为下一次迭代的始值。1,kx11 (),12,
7、3()kk kkxfxff这类方法都是从已知的点通过相同的计算公式，求得下一个新点。数学上称为迭代法。迭代法很适合于计算。只要初始值选取得好，以上两种方法产生的无穷数列。01,nx均能收敛于 的根 。()fx*方法三：二分法先将 分成 N 等份，得到 N 个等长的小区间，显然每个小区间的长度 。记第一个小区间为 ，,ab bahN1,ab其中 ， ，第 个小区间为 ，则11hi,iabi， ，()i1iia,2.若对其中某些 ，有 ，则在 中必有 的一个根。然后对这些()0iif(,)i ()fx再分别用二分法，便能求出 的一个近似根。(,)iab()fx二分法很简便，是工程师们喜欢的一种求全
8、部相异近似单实根的方法。问题在于如何合适地确定 N，因为 N 太大，则工作量也会太大，而 N 太小时，会出现某个小区间内包含多个根，从而二分法会将这个小区间的根漏掉。方法四：劈因子法先用求单实根的方法，求出 的一个根 ，利用因式分解有 ，()fx1 1()(fxfx其中 是（ ）次多项式。然后求 的一个根 ，依次计算下去就有可能求出1()fxn()f2x36的所有实根。这里所说的有可能求出 的所有实根，而不是一定，是因为在一般情况下，我们只能求得()fx ()fx等的近似值，所以有可能会影响到后面所得根的精确性。12,方法五：林士谔赵访熊法林士谔与赵访熊是我国两位著名的数学家，在计算数学方面都
9、有卓越的贡献。林士谔赵访熊法是求 的()fx复数根的一种好方法。我们知道，二次多项式 的根由 给出，林士谔赵访熊法就是求20,axbca24bacx的二次因式 的方法。该方法建立了一套求 和 的迭代方法，且可以避免复数运算。一()fx2()upqpq旦求得 和 之后，就得到了 的两个根，且当 时，可得到 的一对共轭复根，然后再利用pq()fx240p()fx，21()()ff其中 是（ ）次多项式，继续用同样的方法求 的实根或复根。该法也是一种劈因子法。1()fxn1()fx求高次方程的根的近似值，除了以上几种方法外，还有施斗姆（Stome）法等，这里不再详说。这些方法各有优点，又不是万能的。另外，牛顿法和二分法可以用来求超越方程的根，牛顿法及其改进可以用来求非线性方程组的根。
