1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 79 炼 利用点的坐标处理解析几何问题有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。一、基础知识：1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构” ，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与 相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免12121,x
2、y因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。2、利用点坐标解决问题的优劣：（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受形式的约束2121,xy（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根） ，从而使得点的坐标也变得复杂导致运算繁琐。那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入3、求点坐标的几种类型：（1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式） ，则可考虑把点的坐标解出来（用核心变量进行表示）（2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标
3、已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或因式分解求解）4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。 （整体代入是解析几何运算简化的精髓）二、典型例题：例 1：已知椭圆 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆2:10xyCab的短轴为直径的圆 经过这两个焦点，点 分别是椭圆 的左右顶点O,ABC高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -（1）求圆 和椭圆 的方程OC（2）已知 分别是椭圆和圆上的动点（ 位于 轴的,PQ,PQy两侧） ，且直线 与 轴平行，直线 分别与 轴交xAB于点 ，求证：
4、 为定值,MN解：（1）依题意可得 ， 过焦点，且242aOrb，再由 可得 c22cbc椭圆方程为 ，圆方程为 14xy2xy（2）思路：条件主要围绕着 点展开，所以以 为核心，设 ，由 与 轴平行，PP0,xyPQx可得 。若要证明 为定值，可从 的三角函数值下手，在解析中角的10,QxyMQNQN余弦值可以与向量的数量积找到联系，从而能够转化为坐标运算。所以考虑，模长并不利于计算，所以先算 ，考虑利用条件设出cosMN M方程，进而 坐标可用核心变量 表示，再进行数量积的坐标运算可得,APB, 0,xy，从而 ，即为定值0Q2QN解：设 与 轴平行，,xyPx设 ，由 所在椭圆和圆方程可
5、得：10,2220001144xyxy由椭圆可知： 2,AB02APykx0:2yAPx令 ，可得：0x0,yMx高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -同理： 可得0:2yBPx02,yNx00 0011112, ,2yxyQMQx ，代入 可得：220001 14xyyNx 220014xy2022004Qy，即 为定值MNQ思路二：本题还可以以 其中一条直线为入手点（例如 ） ，以斜率 作为核心变量，,APBAPk直线 与椭圆交于 两点，已知 点坐标利用韦达定理可解出 点坐标（用 表示） ，AP从而可进一步将涉及的点的坐标都用 来进行表示，再计算 也可以，计算步骤k
6、0QMN如下：解：设 ，由椭圆方程可得：0,Pxy2,0,AB所以设直线 ，联立方程：:2Akx22218404xykxk，代入到直线方程可得：22008411Axxk0241ky224,kP214BPkk，由 ，令 可得：:2yxk:2APyx010,MN高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -设 ，则10,Qxy1010,2,MxkyQNxyk22 2100100Nk由 在圆上可得： ，再由 代入可得：210xy024ky21kQM，即 为定值NQ例 2：设椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，210xyab12,FAB已知 123ABF（1 ）求椭圆的离
7、心率（2 ）设 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 为直径的圆经过点 ，经过原点 的直PPB1FO线 与该圆相切，求直线 的斜率ll解：（1）由椭圆方程可知： ，,0,Aab12,0,Fc212,ABabFc2 233ab即 22cace（2 ）由（1 ）可得 :2:1ab椭圆方程为 设2xyc0,PxyBc101,FPFBc以线段 为直径的圆经过点1高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -1000FPBcxyxc联立方程： ，整理可得：222yx，解得： ，代入直线方程：2340xc043c03cy1,P,B可知 的中点为 ，2,3Tc2214150233rPBccc圆方
8、程为259cxy设直线 ：lyk，整理可得：25331Tlcdck，解得：281039k415k直线 的斜率为 或l415例 3：（2014，重庆）如图所示，设椭圆 的左右焦点分别为 ，210xyab12,F点 在椭圆上， ， 的面积为 D121,FD12FA（1 ）求椭圆的标准方程（2 ）设圆心在 轴上的圆与椭圆在 轴的上方有两个交点，且圆在yx这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径解：（1）设 ，由 可得： 12,0,Fc12FD12FDc12121DFScA，解得 2c高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -1212,FD在 中， 12A222
9、1293FDF12aa椭圆方程为： b21xy（2 ）如图：设圆与椭圆 相交，2 12,Pxy是两个交点， 是圆的切线，且 ，则120,y12,FP12FP由对称性可得：212,xy121x由（1）可得 ,0,1221,FPxyFPxyxy，221 0联立方程 ，解得 （舍）或2211034xyx 1x143x过 且分别与 垂直的直线的交点即为圆心 12,P12,FPC由 是圆的切线，且 ，可得：F1212P因为 为等腰直角三角形12CrCA112143rPx例 4：已知椭圆 的焦距为 ，设右焦点为 ，离心率为 20xyab41Fe（1 ）若 ，求椭圆的方程e高考资源网（） 您身边的高考专家
10、版权所有高考资源网- 7 -（2 ）设 为椭圆上关于原点对称的两点， 的中点为 ， 的中点为 ，若原点,AB1AFM1BFN在以线段 为直径的圆上OMN 证明：点 在定圆上 设直线 的斜率为 ，若 ，求 的取值范围ABk3e解：（1）依题意可得： 2c2ca所以椭圆方程为： 224ba184xy（2 ） 思路：设 ，则 ，由此可得 坐标（用 进行表示） ，0,Axy0,B,MN0,xy而 在以 为直径的圆上可得： ，所以得到关于 的方程，由方程便可OMNO,判定出 点的轨迹解：设 ，则 。因为 ，且 为 的中点0,Axy0,Bxy12,0F,N1,AFB所以有 02,2N在以 为直径的圆上OM
11、00022xyN220044xy点在定圆 上A2 消去 可得： （*）222 1144ykxkxababx21=14kab而 ， 22,cece2e代入（*）可得： 42213k高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -所以解得： 42801e1e2143e32例 5：已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，离心率为210xyabBF5（1 ）求直线 的斜率BF（2 ）设直线 与椭圆交于点 （ 异于点 ） ，过点 且垂直于 的直线与椭圆交于点PP（ 异于点 ） ，直线 与 轴交于点 ，QQyMPQ 求 的值 若 ，求椭圆方程75sin9PMB解：（1）由 可知cea:5:21b
12、c设 ，,0F,0,2B2Bck（2 ） 设 12,PxyQ:c椭圆方程为：:5:21ab2154xyc联立方程： ，整理后可得：224040xycc可解得： 20c15354,3P因为 设BQP2BQk1:2yxc高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -联立方程： ，整理后可得：22 245014501xycxc，解得 ，即2140xc2c0,21Q设 ， 斜率为 ，由弦长公式可知：0,MyPQk2251013cPMkk224011ck25734081PcQMk 由可得： 71515PMPQQ75sin9PB5sinsin73BMB由 可得：40,2,3c225403P
13、ccc513椭圆方程为24xy例 6：已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆210ab,0Fc3M上且位于第一象限，直线 被圆 截得的线段的长为 ，FM224xy4F（1 ）求直线 的斜率（2 ）求椭圆的方程（3 ）设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为原点）斜率的取值PFP2OP范围高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -解：（1）由已知可得 3cea:3:21abc3,2acb椭圆方程为 222136xyxyc设直线 ，其中: 0FMkckk由 可得：21Od221OFMdcr解得：2222414kcbk 3k（2 ）由（1 ）可得： 3:F
14、yxc22231636yxc解得： 或2505xc在第一象限M，即23xcy23,c2431cF可得： c椭圆方程为：213xy（3 ）由（2 ）可知 ，设 ，设 的斜率为,0F,PxyFk:1Pykx高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -联立方程： 222131636ykxkx可解得：261kx,0设直线 的斜率为 ，即OPmymx2222213313xyxx当 时， 可知,0ykx，由 可得：0ymx233,1223,m当 时，可知 1,10ykx，由 可得：0yx23,23,综上所述： ,m例 7：已知椭圆 的离心率为 ，其短轴的两端点分别为 .G20,1,AB
15、（1）求椭圆 的方程；（2）若 是椭圆 上关于 轴对称的两个不同点，直线 与 轴分别交于点,CDy,CDx.试判断以 为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说,MN明理由.解：（1） 2cea:2:1abc由短轴顶点 可得： 0,1,AB椭圆方程为 2a21xy高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -（2）设 ，则对称点0,Cxy0,Dxy从而直线 的方程为：0011,ABDkk,ACB，令 解得：00:,:1yyCxx0y，设 中点为00,11MNyyMNE则 0022Exx半径 000211Nryy以 为直径的圆方程为： M22001xxy代入
16、可得：2220001xxyy，代入 可得：2 220 000444yxxx 22001xy即 20yx时，无论 为何值,0,xy等式均成立圆 恒过 E0,2例 8：如图，设抛物线 的准线与 轴交于 ，焦点为 ，以 为21:40Cymxx1F212,F焦点，离心率 的椭圆 与抛物线 在 轴上方的交点为 ，延长 交抛物线于点e21P， 是抛物线 上一动点，且 在 之间运动QM1M,PQ（1 ）当 时，求椭圆 的方程m2C高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 13 -（2 ）当 的边长恰好是三个连续的自然数时，求 面积的最大值 12PFA MPQA解：（1） 时， ，焦点坐标 m2
17、1:4Cyx21,0Fcceaa223b椭圆 的方程为： 2C214xy（2 ）由 可得： ，即 1:0ym2,0Fmccea22,3abc椭圆方程为：22143xy2223160xymxm代入 解得： 603x24yx263my2,3Pm253pmFx1274a1263mFc边长为 3 个连续的自然数 PA 3抛物线方程为 ， 21yx2,6,0P2603PFk即 ，代入抛物线方程可得：:Qyx解得 22413180x92Qx966Qy,36高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 14 -设 ， 2,1tM36,2t2 22675330041MPQtdtt36,2t675,2
18、t2max max60304MPQdt由 可得： 92,6,36 2512PQQxmaxmax1564MPQMPSd例 9：在平面直角坐标系 中，点 为动点， 分别为椭圆Oy,0b12,F的左，右焦点，已知 为等腰三角形21xyab12FA（1 ）求椭圆的离心率 e（2 ）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足 ，2PF,BM2PF2AMB求点 的轨迹方程M解：（1）设 ，由图可知， 为等腰三角形即 12,0,c12A212F,代入可得：21,PFabFc22 2=4cc，解得： （舍）或 2400e1e12e（2）思路：由（1）可将椭圆方程化简为： ，与直线 的方程联立，即223
19、xycPF消元后发现方程形式为 ，形式极其简单，所以直接求出点23xyc 2580高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 15 -的坐标可得： ，进而设所求点 。将 坐标化后，83,035AcBc ,Mxy,AB再利用 即可得到关于 的方程：2M,xy，方程中含有 ，所以考虑利用直线方程83325xcycc将 消掉： ，代入即可得到轨迹方程yxy解： 12cea2,3cbac椭圆方程转化为： 即2143xy2241xy即 ,Pab2,c203PFck的方程为： ，设 ，联立方程可得：2F3yxc12,AxyB，消去 ，方程转化为：2341xcy22 2580xc解得： 128,
20、05xc3,3ABc设 ，则 ,My8,5xcyMxy由 可得： ，化简可得：2AB 3325c222839055xcyc因为 ，所以 ，代入式化简可得：x3yx21863150y高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 16 -将 代入 ，可得： 218563xy3ycx210506xcx的轨迹方程为：M21865例 10：如图， 分别为椭圆 的左右焦点，椭圆 上的点到12,F2:10xyCabC距离的最大值为 5，离心率为 ， 是椭圆 上位1 3,AB于 轴上方的两点，且直线 与 平行。x12F（1）求椭圆 的方程C（2）设 与 的交点为 ，求证： 为2AF1BP12P定值解
21、：（1） ，依椭圆性质可得：椭圆上的点到焦点的距离最大值为3cea 5ac,225bc所以椭圆方程为 19xy（2）解：由（1）可得： ，设 12,0,F12,AxyB设直线 ，与椭圆联立方程：1:Axmy，整理可得：225945594y0y2221219510519mm由 可得： 10y21059y2221110519mAFm高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 17 -同理，设直线 ，与椭圆联立方程：2:BFxmy225945594xy整理可得：202my222 219510519m由 可得： 20y22059y2222 105119mBFm1A1111122 2PPFAPFABBB111221aFA同理 222121 1PPFPFABBA22121BaFA211221FFPA 21212aBBa126AF由可得： 2 22 2121051105199mmAFB高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 18 -230159m2 22 2125110519mAFB22221059m2 22 221591 m 259m代入到可得： 21225195136630PFm为定值12高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 19 -
