1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 56 炼 数列中的整数问题一、基础知识：1、整数的基本性质：（1）整数的和，差，积仍为整数（2）整数的奇偶性：若 ，则称 为奇数；若 ，则称 为21nkZn2kZn偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律： 奇数 奇数 偶数 奇数 偶数 奇数 偶数 偶数 偶数 奇数 偶数 偶数 偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 奇数（3）若 ，且 ，则 ,abZb1a（4）已知 ，若 ，且 ，则 只能取到有限多个整数（也有可能,RnZ,bn无解）（5）若 ，称 能被 整除，则有：aZbb 为 的一个因数a（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集
2、，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4） ） ，例如：若，则 的取值只能是 。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找,2,5nNn3,4等量关系，构造不等关系依然可以求解。（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程
3、的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个： 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -方程的方程组，进而解出变量 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点： 所解得变量非整数，或不符合已知范围 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前 项和的项数，均n为正整数。二、典型例题： 例 1：已知数列 的通项公式为 ，
4、若 为数列 中的项，则 _na27na12manam思路： ， 中的项为大于等于 （ ）的奇数，所以12753mmn51考虑将 向奇数形式变形：12ma234232753m，可得 应该为大于等于 4 的偶数，所以883693m8或 ，解得 （舍）或 8422522答案： 小炼有话说：（1）本题的亮点在于对 的变形，在有关整数的问题里，通753m常可对分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分。例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在 上。82（2）本题对 的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到 应为奇数，而83m 23m，而 的奇因数只有 和 ，同样可
5、确定 的值。Z1例 2：已知等差数列 的公差 ，设 的前 项和为 na0dna123,6nSa（1）求 的通项公式n（2）求 的值，使得 ,mkN165mmk高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -例 3：已知数列 的前 项和为 ，且nanS21nN（1）求数列 的通项公式（2）设 ，是否存在 ，使得(21,)3nkNfam成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由15fmf解：（1） 2211, 2nnSSn1na符合 1625na（2）思路： 按照奇偶分段，所以要确定 的奇偶。观察可发现无论 为何值，f 1,mm均为一奇一偶，所以只需要对 的奇偶进行分类讨论，解出
6、符合条件的 即可5,m解： 5,213,nakf n当 为奇数时， 为偶数151525fmfm解得：当 为偶数时， 为奇数151532ff解得： （舍）7m综上所述：例 4：已知各项均为整数的数列 满足 ，前 6 项依次成等差数列，从第五na371,4a项起依次成等比数列（1）求数列 的通项公式na（2）求出所有的正整数 ，使得 m1212mmaa解：（1）设前 6 项的公差为 ，则 d563,41dd高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -成等比数列， 567,a2265741ad解得： 1d时， n3ndn，则 时， 56,2aq7652nnaq54,7n（2）思路：
7、由于数列 分为两部分，当 时，即为公比是 的等比数列，所以考虑对na5n2于数列的前几项可进行验证， 后成等比数列，从而可进行抽象的计算，看是否能够找到符合条件的 。m解：由（1）可得： :3,21,04,8na则当 时， 12236a当 时，234434234,a当 时，m5350a当 时，4646456456,a当 时，假设存在 ，使得5m1212mmaa则有 即： 31221m5377=，从而 无解58m2m时，不存在这样的 ，使得1212maa综上所述： 或 1m3例 5：已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， （ ）.nanS1130nS*nN（1）求 ， 的值；23（2）求数列 的通
8、项公式；n（3）是否存在整数对 ，使得等式 成立？若存在，请求出所有满(,)m28nnam足条件的 ；若不存在，请说明理由.(,)高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -解：（1）在 中，令 ，得： 1320naS1n2130aS214再令 ，得： 3238（2）由 ，可得： 10naS120naSn 可得： 1n从第二项开始成等比关系，公比为 n而 符合上式222nna1an（3）思路：所成立的等式为 ，考虑将 进行分离得到：248nnm,mn，再利用 为整数可得 为整数，从288442nnnm,824n而求出符合条件的 ，再求出 。解：由（2）得： 248nnm281
9、68244nnnnm且 只需 ，即Z2nZ8nZ1,24,8n经计算可得： 时，1,324n解得： ,1nm共有三组符合题意： 2,43小炼有话说：（1）在第（2）问中，要注意 的取值范围变化，并且要把 所能取到的最小值代入到递推nn高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -公式中以了解递推公式从第几项开始满足。（2）二元不定方程在求解时，参变分离是一种方式，通过变形让两变量分居不等号的两侧，这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题） ，来求得变量的解例 6：已知数列 是各项均不为 0 的等差数列， 是其前 项和，且满足 ，令nanS21naS，数列 的前 项和为 1
10、nbnbnT（1）求数列 的通项公式及 nan（2）是否存在正整数 ，使得 成等比数列？若存在，求出所有的,1m1,mnT的值；若不存在，请说明理由。,m解：（1） 122nnaS12nna且 2n21nS0a1221nbnn135221n nT （2）思路：先假定存在满足条件的 ，则由 可得 ，无,mn1mnT23法直接得到不等关系，考虑变形等式： ，分离参数可得：263，以 为突破口可解出 的范围 ，从而确定 的值2413mn061,2m后即可求出 解：假设存在 ，则 ,1m21mnT即 2 226341633nmn即24162410n高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网-
11、 7 -解得： 2410m66122m，代入可得： ，解得： 34nn存在 ，使得 成等比数列2,11,mnT例 7：已知各项均为正数的数列 满足： ，且a1322110,nnnaaN（1）设 ，求数列 的通项公式nnbnb（2）设 ，求 ，并确定最小正整数 ，2212211,nnnSaaTa nSTn使得 为整数nT解：（1） 22 2211110nnnnaaa2111n nnnnnb ab 是公比为 2 的等比数列n（2）思路：由（1）可得 ， 的通项公式可求但是比较复杂，213nnnaba不利于求出 ，但观察发现可将 中的项重新组合，进而能够和 找到联系。,nSTnSTnb，求和可得 ，
12、若 为整数，22 21nnnaba 64127nnnST则 能被 整除，而 ，考虑可将 写成 ，通过二项式定理展开并找到4733n最小的正整数解： 222111n nSTaa12n高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -222188844333n61692127nn若 为整数，因为 nSTZ4Z即 142701321333nn nnnnCCC01 21nnnn能被 整除2272219339nnCn所以可得 时， 能被 整除213nnC7的最小值是n9例 8：已知 为等差数列，前 项和为 ，若nannS42,1nSa（1）求（2）对 ，将 中落入区间 内项的个数记为mNn2
13、,mmb 求 b 记 ， 的前 项和记为 ，是否存在 ，使得21mmcbcmT,tN成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由1mtT,t解：（1）设 的公差为nad4211642Sa2 1n nd高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -解得： 1,2ad1na（2） 2mmm121nnN2mm21mb 思路：由可得： ， ，则所解方程变形为：21c142mmT，得到关于 的不定方程，可考虑对 进行变量分离1142mmtt,t ,t，以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数） ，得到 ，即142t 40t，然后代入 解出符合条件的 即可,3ttm解：由可得：21mc2
14、142mmT由 可得：1mtctT111mmmt t ttcccTT112tmtTc14mt高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -1142mt10,4022mt0,3tt时，解得： （舍）1t1213log255mZ时，解得： （舍）2t 12l3时，解得：3t128mZ存在这样的 ，满足所给方程3t小炼有话说：1、本题中的方程，并没有在一开始就将 代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为mT先化简变形，变形完成之后再代入。可简化不必要的运算2、本题在解 的不定方程所用的方法为变量分离法，将两个只含某一字母的式子用等号,mt连接，则两边式子的范围应当一致。以其中一个式
15、子作为突破口（比如 ） ，再结合变量12m必须取整数的条件，便可用不等关系将变量所能取的值确定下来。例 9：已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，且对任意的 ，都有：nanbnN，若 ，则：3122nabb 18a（1）求数列 的通项公式,n（2）试探究：数列 中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它 项,2rN的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由解：（1） 3122nnabab21 可得：高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -322211nnnnab令 ，则 14b令 ，则 21348adq令 ，则 n5214a所以有： ，解得： 82128dqq4,
16、nnab（2）思路：首先要把命题翻译为等式，将其他 项可设为 ，设存在某项 ，则r12,rttb mb，设 ，则同除以 ，就会1212 rrtttmmtttb r 12t出现左右两侧奇偶不同，从而假设不成立解：假设存在某项 及数列中的其他 项mbr1212,rtt rbt ，所以 1122rrtttmtttb rtmr两边同时除以 可得：1t，左边为偶数，右边为奇数。所以等式不成立121rttt所以不存在这样的项小炼有话说：（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项，则可表示为：，如果不一定相邻，则可用 作角标，其中 体现出这一串项2,ma 12,rt 1,2r所成数列中项的序数
17、，而 表示该项在原数列中的序数12,rt（2）本题还有一个矛盾点：题目中的 项不一定为相邻项，但是可通过放缩将右边的项补全，变为从 一直加到 ，即 。则1rt 1212r rttt t ，由整数性质可得 ，所以21mtrt rrm，与矛盾，所以不存在。1rrtt例 10：已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，等比数列 的首项为 ，公比为 ，其nabnba中 均为大于 1 的正整数，且 ，对于任意的 ，均存在 ，使得,ab123,aNm成立，则 _3mnn高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -思路：本题的关键是求出 ，已知 均为大于 1 的正整数，所以考虑从两个不等关系入
18、,ab,手尝试求 的值或范围： ，所以 ，,ab123,2bab2ab从而根据不等号方向可得： 解得： ，所以ba3，从而 ，代入 可得：132131nmn a，因为 ，所以11552nmb ,2bZmZ（舍）或 。所以 成立，所12nnb11255nnb以 ， ,5ab2153na答案： 3n三、历年好题精选1、 （2014，山东师大附中五模）用部分自然数构造如图的数表：用 表示第 行第ijai个数（ ） ，使得 ，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数j,ijN1iija之和，设第 行中的各数之和为nnb（1）写出 ，并写出 与 的递推关系（不要求证明）1234,b1n（2）令 ，证
19、明： 是等比数列，并求出 的通项ncncnb公式（3）数列 中是否存在不同的三项 恰好成等差数列？若存在，求nb,pqrbN出 的关系，若不存在，说明理由,pqr2、 （2016，泰州一模）已知数列 满足 ，其中 是数列 的前,na2()nnSabnSna项和 （1）若数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，求数列 的通项公式；na231n（2）若 ， ，求数列 的通项公式；b2na（3）在（2）的条件下，设 ，求证：数列 中的任意一项总可以表示成该数列其ncbnc高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 13 -他两项之积3、已知数列 的奇数项是首项为 1 的等差数列，偶数项是首
20、项为 2 的等比数列，数列na前 项和为 ，且满足nS5459342,aa（1）求数列 的通项公式n（2）若 ，求正整数 的值12mam（3）是否存在正整数 ，使得 恰好为数列 中的一项？若存在，求出所有满足条21Sna件的 值，若不存在，说明理由4、 （2016，无锡辅仁高中 12 月月测）已知数列 满足,nab1123,2, ,nnnnababN（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式nn（2）设数列 满足 ，对于任意给定的正整数 ，是否存在正整数c25nap，使得 成等差数列？若存在，试用 表示 ；若不存在，请说,qrp1,pqrc ,qr明理由高考资源网（） 您身边的高考专家
21、 版权所有高考资源网- 14 -习题答案：1、解析：（1） 1234,10,2bb猜想 n（2） 1n1nc是等比数列，nc12313n2nb（3）由（2）可得： 1112,32,32pqrrbbb若 为等差数列,pqrN则 1qprrb不妨设 为最小的数，则 ，左边为偶数，右边为奇数，显然不成立2qrp不存在符合要求的,2、解析：（1）因为1233nnna13123nnS12123nnSba（2）若 ，则nna112S12nnnna a高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 15 -12nnaa两式相减可得： 时，11 1121nnnnnnnaaa 2a为等差数列n可得： ，
22、因为1S12a23dn（3）由（2）得 ，nc对于给定的 ，若存在 ，使得 ，*N*,ktntNnktc只需 ， 1nkt即 ，即 ，则 ， 12 分1()kt1nkt(1)nkt取 ，则 ， kn(2)对数列 中的任意一项 ，都存在 和 使得nc1nc12nc221ncn21nn3、解析：（1）设 的公差为 ，设 的公比为13521,ka d2462,ka q42 94aqda由 545412393 3S q11221, 21kkkaqandk12,3nnk高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 16 -（2）若 ，则 ，即mkN212kka1323kk解得： ，即13m若
23、，即2121kk123k因为 为正整数3为正整数 21k21k代入可知 不符 ，故舍去3综上所述： m（3）若 为 中的一项，则 为正整数21Sna21mS21321242mmaa 13m2121212 11 33mm mSa 故若 为 中的某一项只能为21mn123,a 若 无解213 若 ，即 ，可知 是方程的根21m1230m2m当 时，设 312xf 13lnxf在 单调递增2 1ln0xf,在 单调递增936ffx2fx时， 无解，即 是方程唯一解3m120m2m高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 17 - 若 ，则2133m21m综上所述： 或4、解析：（1）1221nnnnabab2nna1422nnnb，即112nnbb12nb是公差为 的等差数列n12nb123ba即3nn2n（2）由（1）及 可得：2nabnanc当 时，p1,21,pqrcc成等差数列 即1,pqrcqpr21qr2,3r1,不成立21q高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 18 -当 时， 成等差数列，同理可得：2p1,pqrc11q2421pqr 142421pqrpq设 ，此时q25p221,73410prp， 符合题意224r综上所述： 时，不存在满足条件的 ,qr时，存在 ，p1qp25rp
