1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 81 炼 排列组合寻找合适的模型在排列组合问题中，有一些问题如果直接从题目入手，处理起来比较繁琐。但若找到解决问题的合适模型，或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题一、典型例题：例 1：设集合 由 个元素构成，即 ，则 所有子集的个数为_An12,nAa A思路：可将组成子集的过程视为 中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，所以第一步从 开始，有两种选择，同样后面的 都有两种选择，所以总数1a23,na个22nnN个答案： 例 2：已知 ， 且 中有三个元素，若 中的元素可构成等差数列，1,3,40S ASA则这
2、样的集合 共有（ ）个AA. B. C. D. 46076380190思路：设 中构成等差数列的元素为 ，则有 ，由此可得 应该同奇同偶，,abc2ac,ac而当 同奇同偶时，则必存在中间项 ，所以问题转变为只需在 中寻找同奇同偶数,ac 4的情况。 同为奇数的可能的情况为 ，同为偶数的可能的情况为 ，所以一共有20C20C种2038C答案：C例 3：设集合 ，那么集合 中满足条件12345,|1,0,2345iAxxiA“ ”的元素个数为（ ）12A. B. C. D. 6090130思路：因为 或 ，所以若 ，则在ix1i 12345xx中至少有一个 ，且不多于 个。所以可根据 中含 0
3、的个数进行分1,2345i ii类讨论。 五个数中有 2 个 0，则另外 3 个从 中取，共有方法数为,2315NC 五个数中有 3 个 0，则另外 2 个从 中取，共有方法数为 2高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 - 五个数中有 4 个 0，则另外 1 个从 中取，共有方法数为,4352NC所以共有 种232455530NC答案：D例 4：设集合 ，设 的三元素子集中，三个元素的和分别为 ，1,A A12,na求 的值12na思路： 的三元子集共有 个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。所以不妨310C换个思路，考虑将这些子集中的 各自加在一起，再进行汇总。
4、则需要统计这 个,2 310C子集中共含有多少个 。以 1 为例，含 的子集可视为集合中有元素 1，剩下两个元,素从 9 个数中任取，不同的选取构成不同的含 1 的子集，共有 个，所以和为 ，同理，29C29含 2 的集合有 ，其和为 ，含 10 的集合有 个，其和为 所以29C2901108naa 答案： 80例 5：身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列，在第一行的每个人都比他同列的身后的个子矮，则所有不同的排法种数是多少思路：虽然表面上是排队问题，但分析实质可发现，只需要将这六个人平均分成三组，并且进行排列，即可完成任务。至于高矮问题，在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而
5、将问题转化为分组问题。则 （种）236490CNA答案：90例 6：四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，则由这 10 点构成的直线中，有（ ）对异面直线A. 450 B. 441 C. 432 D. 423思路：首先要了解一个结论，就是在一个三棱锥中存在 3 对异面直线，而不共面的四个点便可构成一个三棱锥，寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为寻找这 10 个点中共面四点的情况。首先 4 个面上共面的情况共有 ，每条棱与对460C棱中点共面情况共有 6 种，连结中点所成的中位线中有 3 对平行关系，所以共面，所以四点高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网
6、- 3 -共面的情况共有 种，所以四点不共面的情况有 种，从而异面4639C41069C直线的对数为 种12N答案：D小 炼 有 话 说 ：要熟悉异面直线问题的转化：即异面三棱锥四点不共面四点共面，从而将所考虑的问题简单化例 7：设 是整数集的一个非空子集，对于 ，如果 且 ，那么称 是AkA1kAk集合 的一个“孤立元” ，给定 ，则 的 3 个元素构成的所有集合中，1,2345,678SS其元素都是“孤立元”的集合个数是（ ）A. B. C. D. 65025思路：首先要理解“ ，则 且 ”，意味着“独立元”不含相邻的数，kA1kA元素均为独立元，则说明 3 个元素彼此不相邻，从而将问题转
7、化为不相邻取元素问题，利用插空法可得： 种3620C答案：C例 8：圆周上有 20 个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个思路：本题可从另一个角度考虑交点的来源，一个交点由两条弦构成，也就用去圆上 4 个点，而这四个点可以构成一个四边形，在这个四边形中，只有对角线的交点是在圆内，其余均在圆上，所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点，从而把交点问题转化为圆上的点可组成多少个四边形的问题，所以共有 个42085C答案： 个 485例 9：一个含有 10 项的数列 满足： ，则符na101,(12,9)kaak合这样条件的数列 有（ ）个nA. 30 B. 35 C. 36
8、D. 40思路：以 为入手点可得： ，即可视为在数轴上， 向左或向右移1ka1kaka动一个单位即可得到 ，则问题转化为从 开始，点向左或向右移动，总共 9 次达到1k0，所以在这 9 步中，有且只有 2 步向左移动 1 个单位，7 步向右移动 1 个单位。所以105不同的走法共有 种，即构成 36 种不同的数列236C高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -答案：36 种例 10：方程 的正整数解有多少组？非负整数解有多少组？10xyzw思路：本题可将 10 理解为 10 个 1 相加，而 相当于四个盒子，每个盒子里装入了多,xyzw少个 1，则这个变量的值就为多少。从
9、而将问题转化为相同元素分组的模型，可以使用挡板法得： 种；非负整数解相当于允许盒子里为空，而挡板法适用于盒子非空的情况，3984C所以考虑进行化归： ，则10114xyzxyzw这四个盒子非空即可。所以使用挡板法得： 种1,1xyzw 3286C答案：正整数解有 84 种，非负整数解有 286 种二、历年好题精选1、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ）A144 种 B96 种 C48 种 D34 种2、现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各
10、 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张不同取法的种数为 （ ）A. 232 B. 252 C.472 D. 4843、在 1，2，3，4，5 这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9 的三位数共有（ ）A. 16 个 B. 18 个 C.19 个 D.21 个4、把座位号为 1、2、3、4、5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）A96 B240 C48 D405、某班组织文艺晚会，准备从 等 8 个节目中选出 4 个节目演出，要求： 两个节目,A,A
11、B至少有一个选中，且 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数,为（ ）A1860 B1320 C1140 D10206、某班一天中有 节课，上午 节课，下午 节课，要排出此班一天中语文、数学、英语、63物理、体育、艺术 堂课的课程表，要求数学课排在上午，艺术课排在下午，不同排法种数高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -为（ ）A B C D 722163207207、用 0、1、2、3、4 这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（ ）A48 B36 C28 D128、某宾馆安排 A、B、C、D、E
12、五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，且 A、B 不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种A24 B 48 C96 D1149、 （ 2014 重庆八中一月考， 2）要从 名男生和 名女生中选出 人组成啦啦队，若按性别1056分层抽样且甲男生担任队长，则不同的抽样方法数是A B C D2539C2531025310A2541010、 （ 2015，广东文） ，若集合：， ,|4,EpqrspsqsrspqrsN，用 表示集合 中的|0FtuvwtuvwtuvcadX元素个数，则 （ ）cardErFA. B. C. D. 5101502011、 （ 2014，浙江）在 8 张奖券中有
13、一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种12、 （2014，安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60的共有 ( )A24 对 B30 对 C48 对 D60对13、 （2014，重庆）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A72 B120 C144 D168高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -14、 （2014，广东）设集合 ，那么集12345,|1,0,2345iAxxi合 中满足条件“ ”
14、的元素个数为（ ）A12A. B. C. D. 6090416815、 （2016，哈尔滨六中上学期期末考试）高一学习雷锋 志愿小组共有 人，其中一班、二班、三班、四班各 4人，现在从中任选 3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选 1人，不同的选取法的种数为 ( )A. B. C. D. 4872252316、集合 的 4 元子集 中，任意两个元素差的绝对值都1,23,0S 134,Ta不为 1，这样的 4 元子集 的个数有_个高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -习题答案：1、答案：B解析： 相邻则考虑使用整体法，程序 有要求所以先确定 的位置，共有
15、2 种选法，,CAA然后排剩下的元素 ，再排 间的顺序 ，所以总数为4A,BC24296N2、答案：C解析：考虑使用间接法，16 张卡片任取 3 张共有 种，然后三张卡片同色则不符合要求，316共有 种，然后若红色卡片有 2 张则不符合要求，共有 种，所以不同的取法种数34 214C为： 3211647NC3、答案：A解析：可按重复数字个数进行分类讨论，若没有重复数字，则数字只能是 或 ，三1,352,4位数共有 个；若有两个重复数字，则数字为 和 ，三位数有 个；若三322,51,46C个数字相同，则只有 333，所以 319NAC4、答案：A解析：5 张票分给 4 个人，则必有一人拿两张票
16、，所以先确定哪个人有两张票，共 种选择，14C然后确定给哪两张连号的票，共 4 种情况，剩下的票分给 3 人即可。所以 396NA5、答案：C解析：由题可知可分为两类：第一类 只有一个选中，则还需从剩下 6 个里选出 3 个节目，,AB然后全排列，所以不同的演出顺序有 ；第二类， 同时选中，则还需从剩下 6 个13426C,AB里选出 2 个，然后 不相邻则进行插空，所以不同演出顺序有 。综上,AB263C134263140NC6、答案：B高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -解析：先排数学与艺术各有 3 种共 9 种，其余的 4 个科目全排列有 种，所以4A49216
17、NA7、答案：C解析：根据题意，在 0，1，2，3，4 中有 3 个偶数，2 个奇数，可以分 3 种情况讨论：（1）0 被奇数夹在中间，先考虑奇数 1、3 的顺序，有 2 种情况；再将 1、0、3 看成一个整体，与 2、4 全排列，有 种情况；故 0 被奇数夹在中间时，有 种情况；63A 2A（2 ） 2 被奇数夹在中间，先考虑奇数 1、3 的顺序，有 2 种情况；再将 1、2、3 看成一个整体，与 0、4 全排列，有 种情况，其中 0 在首位的有 2 种情况，则有 种排法；3 64故 2 被奇数夹在中间时，有 种情况；248（3）4 被奇数夹在中间时，同 2 被奇数夹在中间的情况，有 8 种
18、情况，则这样的五位数共有 12+8+8=28 种.8、答案：D解析：由题可知，5 个人住三个房间，每个房间至少住一人，则有（3,1,1）和（2,2,1）两种，当为（3,1,1）时，有 种，A、B 住同一房间有 种，故有6035C183AC种，当为（2,2,1）时，有 种，A、B 住同一房间有421860 90325种，故有 种，根据分类计数原理共有 种23AC9018742719、 答案：A解析：由分层抽样可得男生需要 4 名，女生需要 2 名，甲男生担任队长，则还需要出 3 名男生，所以 3295N10、 答案： D解析：分别统计 中元素的个数，在 中， 可取的值由 的值决定，当 时,EFE
19、,pqrs4s分别可选 ，所以有 种，当 时；同理 有 种；当,pqr01233463s,pqr327时；同理 有 种；当 时；同理 有 种，所以共计2s,pqr81,r1；在 中，可知 一组， 一组，按照 的计算方式760cardEFtu,vwE高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -可得 和 的选择各有 10 种，所以 。从而,tuvw10cardF20cardErF11、答案：60解析：可按获奖人数进行分类讨论，若有 3 人，则一人获得一张中奖的奖券，即，若 2 人，则 1 人获 1 个奖，1 人获 2 个奖， ，所以共计314NA 2436NA60S12、答案：C
20、解析：正方体的对角线共有 12 条，其所成角大致分为 ，可使用间接法，0,692 个一对共有 种选法，其中成 的有 6 对，成 有 12 对，所以成 的2160 60共有 对64813、答案：B解析：不相邻则“插空” ，可歌舞类节目搭架子，因为歌舞类节目也不能相邻，所以另外 3个节目插空时有两种情况，一种情况为 3 个节目插 3 个空，则有 2 种插法，再安排完顺序，合计： ；另一种情况为相声与一个小品相邻，然后与另一个小品插两31272NA个空，则 ，则共计 种348C120SN14、答案：D解析： 可知在 中， 的情况至少12345xx12345,xx1i1 个，最多 3 个，从而分 三种情况讨论即可，每种讨论都分为两步，第一步1,确定几个选 0，几个选 ；第二步确定选 的是选 1 还是 ：123550NC15、答案：B解析：分两种情况讨论，当三班没人时， ，当三班恰有一人时，3312408NC，所以122461247S16、答案： 17C解析：两个元素差绝对值不为一，说明 中的四个元素两两不相邻，所以考虑插空法，剩下T16 个位置共 17 个空，选择四个孔即可，共有 个417C高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -
