1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 38 炼 向量的数量积数量积的投影定义一、基础知识1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴 ， 是轴上的有向线段，如果实数 满足 ，且lABAB当 与轴同向时， ，当 与轴反向时， ，则称 为轴 上有向线段 的值。AB00l（2）点在直线上的投影：若点 在直线 外，则过 作 于 ，则称 为 在直线AlAl A上的投影；若点 在直线 上，则 在 在直线 上的投影 与 重合。所以说，投影往l ll往伴随着垂直。（3）向量的投影：已知向量 ，若 的起点 在 所在轴 （与 同向）上的投影分别,ab,ABblb为 ，则向量 在轴 上的
2、值称为 在 上的投影，向量 称为 在 上的投影向,ABla量。2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记 为向量 的夹角,ab（1） 为锐角：则投影（无论是 在 上的投影还是 在 上的投影）均为正abba（2） 为直角：则投影为零（3） 为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以 在 上的投影 为例，通过构造直角三角形可以发现ab（1）当 为锐角时， ，因为 ，所以cos0cosb（2）当 为锐角时， ，因为 ，所以 即cosb0cosbcosb（3）当 为直角时， ，而 ，所以也符合0cos0cosbAA高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源
3、网- 2 -综上可得： 在 上的投影 ，即被投影向量的模乘以两向量的夹角abcosb4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量 数量积公式为 ，可变形为 或,sa cosab，进而与向量投影找到联系 cosab（1）数量积的投影定义：向量 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向,ab量上的投影，即 （记 为 在 上的投影）abb（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： ab即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是
4、垂足确定的情况下（此时便于确定投影） ，例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题二、典型例题：例 1：已知向量 ,ab满足 3,2b，且 ab，则在 a方向上的投影为（ ）A3 B 3. C 32 D 32思路：考虑 在 上的投影为 ，所以只需求出 即可。由 可得：bababab，所以 。进而20a 9a932答案：C高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -小炼有话说：本题主要应用投影的计算公式，注意在
5、哪个向量投影，便用数量积除以该向量的模长例 2：如图，在 中， ， 是边 上的高，则ABC:4,30ABCDBC的值等于（ ） DA0 B4 C8 D 思路：由图中垂直可得： 在 上的投影为 ，所以AA，只需求出 的高即可。由已知可得2CB:，所以sinADB 24C答案：B例 3：两个半径分别为 的圆 ,公共弦 长为 3，如图所示，则12,rMNAB_.AMNB思路： 为两个圆的公共弦，从而圆心 到弦 的投影为,的中点，进而 在 上的投影能够确定，所以考虑,A计算 和 时可利用向量的投影定义。BN解：取 中点 ，连结 ，由圆的性质可得：T,MT,MTABN219AAB 219ANBN例 4：
6、如图， 为 的外心， 为钝角， 是边 的中点，则OC:4,2,CBBC的值为（ ）AMA. 4 B. C. D. 567思路：外心 在 上的投影恰好为它们的中点，分别设为,BAC，所以 在 上的投影为 ，而 恰好为 中,PQO11,22APBQACMBC高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -点，故考虑 ，所以12AMBC2211+52OOACOABC 答案：B小炼有话说：题目中遇到外心时，要注意外心的性质，即到各边的投影为各边的中点，进而在求数量积时可联想到投影法。例 5：若过点 的直线 与 相交于 两点，则 的取值范围1,Pl2:4Oxy,ABOB是_思路：本题中因为
7、 位置不断变化，所以不易用数,AB量积定义求解，可考虑利用投影，即过 作直线 的垂A线，垂足为 ，通过旋转 可发现，当 时，DABO， 位于其他位置时， 点始终位于 的反向延长线上，0OA DA，故 ，故 ，下面寻找最小值，即 0max0B的最大值，可得当 在 上的投影与 重合时， 最大，即为 ，此时直线BACAC即为直线 。所以 。进而P2min 4OOr的范围是OAB4,0答案： ,例 6：已知 ，且 的夹角为 ，点 是 的外接圆上优弧1,3,OAB150CAOB:上的一个动点，则 的最大值是_:ABC思路：题中 的模长为定值，考虑 即为 乘以O在 上的投影，从而 的最大值只需寻找投影的C
8、AO大小，观察图形可得只有当 与 同向时，投影最大。即MC，只需计算 的模长即可maxOAD高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -解：当 与 同向时， 在 上的投影最大MCOACOAmaxD在 中， B:22cos7BAOB7A即 2271sinROBR17DNAmax2ACD答案： 172例 7：如图，菱形 的边长为 为 中点，若 为菱形内任意一点B,60,AMDCN（含边界） ，则 的最大值为（ ）AMNA. B. C. D. 3239思路：在所给菱形中 方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即 乘以 在 上的投影，所以 的最大值只需要ANAMAN寻找 在 上的
9、投影的最大值即可，而 点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找ANM在 投影距离 最远的，结合图像可发现 的投影距离 最远，所以C，再由 表示后进行数量积运算即可 maxAC,D解： max 12AMNMACDADC22139DCD答案：9小炼有话说：（1）从例 7 也可以看出投影计算数量积的一个妙用，即在求数量积最值时，如果其中一个高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -向量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的投影即可，这种方法往往能够迅速找到取得最值的情况（2）在找到取到最值的 点位置后，发现利用投影计算数量积并不方便（投影， 不便N AM于计算） ，则要灵活利用其
10、他方法把数量积计算出来（寻求基底，建系等） 。正所谓：寻找最值用投影，而计算时却有更多方法供选择。例 8：如图，在等腰直角 中， ，点 分别是 的中点， 点ABC:2,MN,ABCP是 内（包括边界）任一点，则 的取值范围是_ABC:NP思路：因为 点为 内任一点，所以很难用定义表示出P，考虑利用投影定义。由 长为定值，可得NM为 乘以 在 上的投影，所以只需找到投A影的范围即可。如图，过 作 的垂线，则 点的投影为NM，当 在 点时， 在 上的投影最大且为线段 的长，当 在 点时， FPBPFEPA在 上的投影最小，为 ，分别计算相关模长即可。在图中有条件可得：MANAF，所以可得： ，则5
11、,1CERtACNtB:，所以 ，由 ， 为中点可5=EB65EFME得： 为 中点，从而 在 方向上的投影分别为 ，由FA,MBAN3,即可求得 的范围为5,NP3,答案： 3例 9：已知 为直角三角形 的外接圆， 是斜边 上:ABCOBAC的高，且 ， ，点 为线段6,2ACOP的中点，若 是 中绕圆心 运动的一条直径，则DEM_P MCAOBPDE高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -PA BCIDFE思路：本题的难点在于 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。考虑到 为直DE DE径，所以延长 交圆 于 ，即可得 ，则 在PMQEPD上的投影向量为 。所求
12、，而由EPQ联想到相交弦定理，从而 。考虑 AC与已知条件联系求出直径 上的各段线段长度。由射影定理可得：AC，且 ，所以解得 ，再由28AOCB6O2,4O为 的中点可得 ，所以 ，进而P1,5P5PEQAPCDEQ答案： 5例 10：已知 为线段 上一点， 为直线 外一点， 为 上一点，满足CABPABIP， ， ，且4PA10PC，则 的值为（ ABICBIA）A. B. C. D. 2435思路：从条件上判断很难用代数方式求解，所以考虑作图观察几何特点，则。由 及所求 可想到投影与数量积的关系，10PABPACBIBA即 在 上的投影相等，即可得到 平分 。再分析C, P，且 为0AP
13、ACBI I AC的单位向量，由平行四边形性质可得和向量平分,CP，而 与和向量共线，从而 平分 ，由AIAIPC此可得 为 的内心，作出内切圆。所B:求MCAOBPDEQPA BCI高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -也可视为 在 上的投影，即 ，由内切圆性质可得： ，所以BIABIABFPDEAFB，且有4PDEPA，可解得10AFB3IBF答案：C小炼有话说：本题用到向量运算中的两个几何意义，从而将表达式与图形特征联系起来：一个是向量投影的定义；一个是两个模长相等向量（如单位向量）的和平分向量夹角。三、历年好题精选（数量积三种求法综合）1、如图：在平行四边形 中
14、，已知 ， ，则ABCD8,5AD3,2CPAB的值是 .ABD2、已知 的半径为 1，四边形 为其内接正方形，O:为 的一条直径， 为正方形 边界上一动点，EFMABCD则 的最小值为_3、已知点 是边长为 2 的正方形 的内切圆内（含边界)的一动点，则 的取MAB值范围是（ ）A. B. C. D. 0,1,13,14,14、已知 是单位圆上互不相同的三个点,且满足 ，则 的最小值PMNPNP为（ ）A B C D 1123415、如图， 是半径为 1 的圆 上两点，且 ，若,OAB点 是圆 上任意一点，则 的取值范围是_COA6、 （2015，福建文）设 ，若,2,1abcakb，则实数
15、 的值等于（ ）bckA. B. C. D. 32535332 O ABC高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -7、 （2015，天津）在等腰梯形 中,已知 ,动ABCD/,2,1,60ABCBAC点 和 分别在线段 和 上,且, 则 的最小值为 EF1,9EFDEF_答案： 29188、 （2015，山东）已知菱形 的边长为ABCD，则 （ ）,60aABCA. B. C. 23234aD. 423a9、 （2015，福建）已知 ，若 点是 所在平面内一点，且1,ABCAttPABC:，则 的最大值等于（ ）APPA. B. C. D. 1315192110、（201
16、6，无锡联考）如图，已知正方形 的边长为 2，点 为 的中点以 为ABCDEAB圆心， 为半径，作弧交 于点 若 为劣弧 上的动点，EFP:F则 的最小值为_PCD11、 （2016，南京金陵中学期中）如图，梯形 中， ，若 ，则,6,2AB12ACBD_12、已知圆 的直径为 ，点 是圆周上异于O的一点，且 ，若点 是圆 所在,C1PO平面内一点，且 ，则 的最大值为（ ）9ABCPBA. B. C. D. 23 768113、如图，在半径为 1 的扇形 中， 为弧上的动点， 与 交于点AO0,C ABOC，则 最小值是_POBBACE高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网-
17、10 -14、如图，已知圆 ，四边形 为22:44MxyABCD圆 的内接正方形， 分别为边 的中点，当正方形,EF,AB绕 圆心转动时， 的取值范围是（ ）ABCDOA. B. C. D. 82,8,4,42,15、在直角梯形 中， ， ，且 ， 是ABCD 2BAD12BACDM的中点，且 ，则 的值为（ ）2NMNA. B. C. D. 5454767616、如图，在平行四边形 中， ，点 在 边上，且ABCD2,1,3AMAB，则 （ ）13AMA. B. C. D. 2321FEACBoMxyD高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -习题答案：1、答案： 2解
18、析： ， ，14APDAB3344PCBDAB所以 ，3()()B2216A即 ，解得 12564ADDB2、答案：解析：以 为坐标轴建系，则 ，设 EF1,0,EF,Mxy1.,.Mxyxy，所以 的最小值只需找到 的最小值22xy即正方形边上的点到原点距离的最小值，数形结合可得： min1min12EF3、答案：C高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -解析：考虑如图建立坐标系，可得： ，内切圆方程为： ，故1,AB21xy设 ，则cos,in,0,2Mrr1sicos,inArMr22c1niBrr设 ，可得 ，2sinf 2,fr再由 可得： ，所以01r2,0
19、3rr 1,3MAB4、答案：B解析：设 ，则由 可得：,cos,inPMPNcos,in，其中1cs1,inN0 222 1cosinocsoN 当 时，可得1cs2min1PM5、答案： 3,解析：方法一：以 为原点， 为 轴建系，则 ，设OAx13,0,2OAB，则 。所以cos,inC13cos,in2BC 31cos,2C方法二：考虑 在 上的投影为 中点 ，利用数量积投影定义数形结合可知AM取最大值时， 与 重合；当 取最小值时， 在 反向延长线与圆 的OA OABCOAO交点处，经计算可得： 31,26、答案：A解析：由已知可得： ，因为 ，所以1,ckbc高考资源网（） 您身边
20、的高考专家 版权所有高考资源网- 13 -31202bckk7、答案： 98解析：因为 ,DFC1AB，9198CDCAB，AEBA，181FFB2299198CACABCABC 19142cos1088177292891当且仅当 即 时 的最小值为 .23AEF8、答案：D解析： 223cos10BCDBBDAaa9、答案：A解析：以 为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，则 ， 为单,Ctt,ABC位向量，坐标为 ， ，则1,01,4,AP所以,4,PBCtt，因为11674ttt，所以424tt 3PBC10、答案： 5解析：可依正方形以 为坐标轴建系，则 ，其中 ，,ABDcos,inP
21、0,2xyBCAP高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 14 -， ，0,2,DC2cos,in,cos,2inPPD 2cos545si 其中 ，所以当 时， 取到最小值，为1tan,0,24C211、答案：0解析：依题意可得： 13DCAB13ACBDAB22136D222033ABCADCABDABD12、答案：C解析：因为 为直径，所以可知 ，设 ，则 ，以 为原t1CtA点， 所在直线为轴建系，可得 ，且 为 的单位向,AB1,0,BtCt,AB,量，则坐标分别为 ，所以 ，即1,09,09,1,AP，可得到 ，则 ，由1,9P1,9,BtCt82PBCt可得26t
22、t 76P13、答案： 1解析：点 在 上的投影为 中点 ，故考虑使用投影计算数量积的最值。可知 在OABMP线段 上时， ，设 ，则M0P102BPx，所以 的最小值为 12416Bx OPB16高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 15 -14、答案：B解析： 11,22OFADMEAOD4ME设 ，其中 ，则由 可得：cos,in0,2MA2,2si42sin,cosD 2214coii4MEOF 8s,15、答案：D解析：如图可依直角建立坐标系，则 ，所以 ，由2,0,1,CAB1,2M可知 ，所以 ，所以2BN1,33,3MN76CAN16、答案：D解析：可知 ， 13ADABDB221413 3MBA 由已知可得： ，代入可得：cos131D
