1、知识内容一随机抽样1随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法：简单随机抽样：从元素个数为 的总体中不放回地抽取容量为 的样本，如果每一次抽Nn取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样抽出办法：抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表表中每一位置出现各个数字的可能性相同随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从
2、每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法抽出办法：从元素个数为 的总体中抽取容量为 的样本，如果总体容量能被样本容量Nn整除，设 ，先对总体进行编号，号码从 到 ，再从数字 到 中随机抽取一个数kn1N1k作为起始数，然后顺次抽取第 个数，这样就得到容量为 的s 2()sks， ， ， n样本如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在
3、各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛2简单随机抽样必须具备下列特点：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 是有限的N简单随机样本数 小于等于样本总体的个数 n简单随机样本是从总体中逐个抽取的简单随机抽样是一种不放回的抽样简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n3系统抽样时，当总体个数 恰好是样本容量 的整数倍时，取 ；NNkn若 不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容Nn量 整除因为每个个体被剔除的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的
4、机会板块六 .回归分析仍然相等，为 Nn二频率直方图列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；决定组距与组数：取组距，用 决定组数；极 差组 距决定分点：决定起点，进行分组；列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以 的值为纵坐标绘制直方图，频 率组 距知小长方形的面积组距 频率频 率组 距频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义总体密度曲线：
5、样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线 来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线总体()yfx密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律三茎叶图制作茎叶图的步骤：将数据分为“ 茎”、 “叶” 两部分；将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线；将各个数据的“ 叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出 四统计数据的数字特征用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差数据的离散程序可以用极差、方差或标准差来描述极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；样本方差描述了一组数据平均数波动的
6、大小，样本的标准差是方差的算术平方根一般地，设样本的元素为 样本的平均数为 ，12nxx， ， ， x定义样本方差为 ，222()()()ns样本标准差 12n简化公式： 2221()sxxn五独立性检验1两个变量之间的关系；常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有一定随机性的当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系2散点图：将样本中的 个数据点 描在平面直角坐标系中，就得到n()12)ixyn， ， ， ，了散点图散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直
7、观地判断分析两个变量的关系3如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时，散点图中的点在从左下角到右上角的区域反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关此时，散点图中的点在从左上角到右下角的区域散点图可以判断两个变量之间有没有相关关系4统计假设：如果事件 与 独立，这时应该有 ，用字母 表示此式，AB()()PAB0H即 ，称之为统计假设0:()()HPAB5 （读作“卡方” ）统计量：2统计学中有一个非常有用的统计量，它的表达式为 ，用它的大小可22121()n以用来决定是否拒绝原来的统计假设 如果 的值较大，就拒绝 ，即认为 与 是
8、0H0HAB有关的统计量的两个临界值： 、 ；当 时，有 的把握说事件 与 有23.8416.523.84195%关；当 时，有 的把握说事件 与 有关；当 时，认为事件 与6.59%AB23.841是无关的B独立性检验的基本思想与反证法类似，由结论不成立时推出有利于结论成立的小概率事件发生，而小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以认为结论在很大程度上是成立的1独立性检验的步骤：统计假设： ；列出 联表；计算 统计量；查对临界值表，0H22作出判断2几个临界值： 2().1(3.841)0.5(6.35)0.1PPP .76， ， 联表的独立性检验：如果对于某个群体有两种状态，对于每种状
9、态又有两个情况，这样排成一张 的表，如2下：状态 B状态 合计状态 A1n12n状态 21n2n如果有调查得来的四个数据 ，并希望根据这样的 个数据来检验上述的两122n， 4种状态 与 是否有关，就称之为 联表的独立性检验AB六回归分析1回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性回归直线：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线2最小二乘法：记回归直线方程为： ，称为变量 对变量 的回归直线方程，其中 叫做回归yabxYxab，系数是为了区分 的实际值
10、，当 取值 时，变量 的相应观察值为 ，而直线上对应于yYi iy的纵坐标是 ixiiyabx设 的一组观察值为 ， ，且回归直线方程为 ，Y， ()iy， 12n， ， ， yabx当 取值 时， 的相应观察值为 ，差 刻画了实际观察值 与回归i i(12)iiyn， ， ， iy直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差我们希望这 个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点n记 ，回归直线就是所有直线中 取最小值的那条21()iiiQyabxQ这种使“离差平方和为最小” 的方法，叫做最小二乘法用最小二乘法求回归系数 有如下的公式：， ，其中 上方加“ ”，表示是由
11、观察值按最小二乘法求得的12niixybaybxab， 回归系数3线性回归模型：将用于估计 值的线性函数 作为确定性函数； 的实际值与估计yxy值之间的误差记为 ，称之为随机误差；将 称为线性回归模型yab产生随机误差的主要原因有：所用的确定性函数不恰当即模型近似引起的误差；忽略了某些因素的影响，通常这些影响都比较小；由于测量工具等原因，存在观测误差4线性回归系数的最佳估计值：利用最小二乘法可以得到 的计算公式为ab， ，其中 ，11222()()nniiiii iixyxyb aybx1nix1niy由此得到的直线 就称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程其中 ， 分yabx ab别为 ，
12、 的估计值， 称为回归截距， 称为回归系数， 称为回归值abby5相关系数：1 1222221 1()()()()n nii iin nii i iiixyxyr y 6相关系数 的性质：r ；|r 越接近于 1， 的线性相关程度越强；xy， 越接近于 0， 的线性相关程度越弱| ，可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关7转化思想：根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数8一些备案回归（regression）一词的来历： “回归”这个词英国统计学家 Francils Galton 提出来的1889
13、 年，他在研究祖先与后代的身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高，但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高；身材较矮的父母，他们的孩子也较矮，但这些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高Galton 把这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称为回归分析回归系数的推导过程： 222 2()iiii iiiQyabxyanbxyaxb，2 2)iiiiinx把上式看成 的二次函数， 的系数 ，20因此当 时取最小值(iiiixyann同理，把 的展开式按 的降幂排列，看成 的二次函数，当 时取最小Qbb2iii
14、xyab值解得： ， ，1 22()ni iiixyxybaybx其中 ， 是样本平均数iynixn9 对相关系数 进行相关性检验的步骤：r提出统计假设 ：变量 不具有线性相关关系；0Hy，如果以 的把握作出推断，那么可以根据 与 （ 是样本容量）在5%10.95.2n相关性检验的临界值表中查出一个 的临界值 （其中 称为检验水平） ；r.r0.5计算样本相关系数 ；r作出统计推断：若 ，则否定 ，表明有 的把握认为变量 与 之间具有线0.5|0H%yx性相关关系；若 ，则没有理由拒绝 ，即就目前数据而言，没有充分理由认为变.|量 与 之间具有线性相关关系yx说明：对相关系数 进行显著性检验，
15、一般取检验水平 ，即可靠程度为 r 0.595%这里的 指的是线性相关系数， 的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不r相关，可能是非线性相关的某种关系这里的 是对抽样数据而言的有时即使 ，两者也不一定是线性相关的故在统计|1r分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释典例分析题型一 线性相关及回归【例 1】 已知变量 与 之间的相关系数是 ，查表得到相关系数临界值yx0.872r，要使可靠性不低于 ，则变量 与 之间（ ）0.5482r95%yxA不具有线性相关关系 B具有线性相关关系C线性相关关系还待进一步确定 D具有确定性关系【例 2】 当相关系数 时，表明（ ）0rA
16、现象之间完全无关 B 相关程度较小 C 现象之间完全相关 D 无直线相关关系【例 3】 下列结论中，能表示变量 具有线性相关关系的是（ ）,xyA B C D 0.5r 0.5r 0.5r0.5r【例 4】 下列现象的相关密切程度最高的是（ ）A某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数 0.87B流通费用水平与利润率之间的相关关系为 94C商品销售额与利润率之间的相关系数为 .51D商品销售额与流通费用水平的相关系数为【例 5】 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）若 的值为 6635 ，我们有 的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在29%100 个吸烟的人中必有 99
17、 人患有肺病；从独立性检验可知有 的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有 99%的可能患有肺病；若从统计量中求出有 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有 的可能95 5%性使得判断出现错误；以上三种说法都不正确【例 6】 设两个变量 和 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是 ， 关于 的回归xy ryx直线的斜率是 ，纵截距是 ，那么必有（ ） baA 与 的符号相同 B 与 的符号相同r rC 与 的相反 D 与 的符号相反【例 7】 定义：点 与直线 的“纵向距离”为 已知()ixy， bxa()iiybxa三点，存在直线 ，使 三点到直线 的“纵向距0)1()ABC，
18、 ， ， ， ， lABC， ， l离的平方和” 最小Q求直线 的方程和 的最小值；l判断点 与直线 的位置关系(0)3D， l【例 8】 （2009 宁夏海南卷理）对变量 ， 有观测数据 ，得散点图 1；对变量 ，xy1xy， 210i， ， ， u有观测数据 ，得散点图 2 由这两个散点图可以判v1uv， i， ， ，断302520151051 2 3 4 5 6 77654321102030405060A变量 与 正相关， 与 正相关 B变量 与 正相关， 与 负相xyuvxyuv关C变量 与 负相关， 与 正相关 D变量 与 负相关， 与 负相关【例 9】 为了考查两个变量 和 之间的
19、线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了 次和xy 10次的试验，15并且利用线性回归方法求得回归直线分别为 ，已知两人得到的试验数据中，12l，变量 和 的数据的平均值都对应相等，那么下列说法正确的是（ ）xyA直线 和 一定有交点 B直线 一定平行于直线1l2 2lC直线 一定与 重合 D以上都不对l【例 10】 某地高校教育经费 与高校学生人数 连续 6 年的统计资料如下：()x()y教育经费（万元） x316 343 373 393 418 455在校学生（万人） y 11 16 18 20 22 25试求回归直线方程，估计教育经费为 500 万元时的在校学生数【例 11】 一家庭问题研究
20、机构想知道是否夫妻所受的教育越高越不愿生孩子，现随机抽样了 对夫妻，计算夫妻所受教育的总年数 与孩子数 ，得结果如下8 xyx19 17 21 18 15 12 14 20y1 3 1 1 2 3 2 1试求 对 回归直线方程【例 12】 某种产品的广告费支出 与销售额 （单位：百万元）之间有如下对应数据：xyx24568y30007画出散点图；求回归直线方程【例 13】 某五星级大饭店的住屋率 与每天每间客房的成本（元） 如下：(%)x()yx100 75 65 55 50y2000 2500 2800 3200 4000试求 对 回归直线；若 的表示不变， 以小数表示（如 表为 ），求新的
21、回归直线750.【例 14】 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 至 月份每月 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的1610人数，得到如下资料：日 期 月 日0月 日2月 日3月 日410月 日5月 日610昼夜温差（ ）xC10131286就诊人数 （个）y2529612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 组，用剩下的 组数据4求线性回归方程，再用被选取的 组数据进行检验若选取的 月与 月的两组数据，请根据 至 月份的数据，求出 关于 的线165yx性回归方程；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 人，
22、2则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想?【例 15】 某种产品的产量与单位在成本的资料如下：产量（千件） x2 3 4 3 4 5单位成本（元/件）y 73 72 71 73 69 68试求：计算相关系数 ；r 对 直线回归方程；x指出产量每增加 件时，单位成本平均下降了多少元？10【例 16】 求回归直线方程以下是收集到的某城市的新房屋销售价格 与房屋的大小 的数据：yx房屋大小 （ ）x2m 80 15 10 5 13销售价格 （万元）y 1.4 2 .6 24.8 9.2画出数据的散点图；用最小二乘法求回归直线方程；估计该城市一个 平米的房屋销售价格大约为
23、多少？90写一个程序，计算出 和 的值，再比较大小()Qab， (20.)，【例 17】 （07 广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨标准煤）的几组对照数据xy3 4 5 6y 2.5 3 4 .5请画出上表数据的散点图；请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；yxybxa已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?（参考数值： ）32.5464.5.【例 18】 测定某肉鸡的生长过程，每两周记录一次鸡的重量，数据如下表：（周）x 2 4 6 8 10 12 14（ ）ykg 0.3 .8 1.73 2. .47 2.6 .8由经验知生长曲线为 ，试求 对 的回归曲线方程.1xyAeyx【例 19】 为了研究某种细菌随时间 x 变化的繁殖个数，收集数据如下：天数 x1 2 3 4 5 6繁殖个数 y6 12 25 49 95 190作出这些数据的散点图；求出 y 对 x 的回归方程
