1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 36 炼 向量的数量积寻找合适的基底在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量 数量积的问题，如果无法寻找到计,ab算数量积的要素（ 模长，夹角）那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将 两个,ab ,ab向量表示出来，进而进行运算。这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法一、基础知识：（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：1、平面向量基本定理：若向量 为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量12e，均存在唯一一对实数 ，使得 。其中 成为平面向量的一组基底。a,12ae12e，（简而言之，不共线的两个向量可
2、以表示所有向量）2、向量数量积运算 ，其中 为向量 的夹角cosab ,ab3、向量夹角的确定：向量 的夹角 指的是将 的起点重合所成的角，, , 0,其中 ：同向 ：反向 ： 024、数量积运算法则：（1）交换律： ab（2）系数结合律： abR（3）分配律： cc因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同：例如： 22abab0ab5、若 ，则1212+,ee 2211212+=ee 由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将 用基底表示出来，则可计算,abab（二）选择合适基底解题的步骤与技巧：1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有
3、两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -那就是它们了。所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知。常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有：（1）向量的加减运算（2） “爪”字型图：在 中， 是 上的点，如果ABCD:BDCmn，则 ，其中 知mnAD,ABC 二可求一。特别的，如果 是 边上的中线，则 12AB3、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过
4、程中要注意基底的夹角二、例题精炼例 1:如图，在 中， 是边 上一点，ABC120,1,ABCD B，则 _2D思路： 模长未知（ 尚可求出） ，夹角未知，,所以很难直接求出数量积。考虑是否有合适基底， ，可计算120,1BACAC出 ,进而对于 ,模长均已知，数量积已求，条件cos120ABCA齐备，适合作为基底。用 表示 ： , ,BCD23DB221833DAABC答案： 8A例 2：如图，已知在 中， ，则 _BC,1DBDAD思路：观察条件， 很难直接利用公式求解.考虑,选择两个向量表示 ,条件中AB CADB CADmnAB CD高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网
5、- 3 -B CADE(数量积有了） ， （模长有了） ，所以考虑用 作为0ADBA1AD ,ABD基底。下一步只需将 表示出来， （底边比值C3:1:3BC联想到“爪”字型图） ,解得：1A所以 2313ADAD答案： C例 3:在边长为 1 的正三角形 中，设 ，则 _BC2,3BCAEB思路：如图，等边三角形三边已知，夹角已知，由此对于三边所成的向量， 两两数量积均可计算，所以考虑 用三边向量进行表示，表示的方法很多，,ADE 例如观察“爪”字形图可得 ,12213(注意向量夹角）1234ADBECBA答案： 4小炼有话说：这道题由于是等边三角形，故可以建系去做，以 为坐标原点， 所在直
6、线DBC为 轴， 所在直线为 轴。 坐标完成之时，就是 计算的完成之日，且此xADy,DEAE法在计算上更为简便。例 4：如图，在 中，已知 ，点 分别在边BC4,6,0ACB,上，且 ，点 为,A2,3EF中点，则 的值是（ ）DEFA. B. C. D. 245思路：在本题中已知 及两个向量的夹角，,ABC所以考虑将 作为一组基底。则考虑将 用 进行表示，再做数量积即, ,BFDE,AC可解： 111122232BFDBABABFAB CDE高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -1364ACB且 ，所以有：12DEA2231136488BFCBACBA 由已知可得：
7、 221,6, cosADE答案：C例 5：已知向量 的夹角是 ，且 ，若 ，且,ABC1202,3ABCAPBC，则实数 的值是_P思路：题中 模长夹角已知，所以选择它们作为基底，表示 ，再根据, ,求出 即可ABC解： APBC00PA 即 21BC4,9, cos3ABC 式变为： 解得 30127答案： 127例 6：在边长为 的正三角形 中， ，则ABC,0,1DxACEyxxy的最大值为_CDBE答案： 38思路：所给 为等边三角形，则三边所成向量两两数量A积可解。所以用三边向量将 表示出来，再作数量积,CDBE运算并利用 消元即可求出最值1xy AB CDE高考资源网（） 您身边
8、的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -解： CDBxBAECByA2EyxCyBA1112 2yxxy 且 xy02211132 48CDBExxx 等号成立条件： max38答案：小炼有话说：（1）本题在最后求最值时还可以利用均值不等式迅速把问题解决： 21113228xyCDBEyxy（2）在消元时要注意，如果所消去的元本身有范围，则这个范围由主元来承担，比如本题中用 把 消掉，则 所满足的条件除了已知的 之外，还有 ，xyx0x010yx即 1例 7：如图，在四边形 中， 是等边三角形，则ABCD,3,4,BACAD的值为_ACBD思路：从条件中可分析 ， 的边所成的向量两 两之间数量
9、积可求，其公共边为 ，所以以 作为突破口，A 所求数量积中只有 需要转换，可得 ，所以BDC ACBDCABCD，进而可解解： BDCAAB在 中， Rt 2C在等边三角形 中， DABCD高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -2cos 16BCACBACBA25DD72答案： 小炼有话说：（1）在求 时要注意夹角不是 ，而是它的补角！ACDACD（2）在求 也可以用投影定义来解，即 在 上的投影为 ，所以BB2AC例 8：如图，四边形 满足 ，若 是AC0,2BACAM的中点，则 （ ）BMDA. B. C. D. 13232思路：本题要抓住 这个条件，所0ABC求表
10、达式中主要解决 。从图中可发现 分别是 的中线，从,D,AMD,ABCD而 可用条件中的向量进行表示： ，从,M 11,22而求得表达式的值解： 11,22ABCBCDADBC2 2120,ABCBC2213MDAD答案：D例 9：菱形 边长为 ， ，点ABC2120BADB CA DEF高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -分别在 上，且 ，若 ，则,EF,BCD,EBCDF 31,2AEFC（ ）A. B. 1232C. D. 5471思路：本题已知菱形边长和两边夹角，所以菱形四条边所成向量两两数量积可求，所以可以考虑将题目中所给的 所涉及的向量用菱形的边和 进行表
11、示，3,2AEFC ,进而列出关于 的方程，解出方程便可求出,解： ,BBADFC1,1CEFCA242BDABD121CEFC732421 2234 答案：D例 10：已知向量 满足条件： ，且 ，,OABC 0OABC2OABC点 是 内一动点，则 _PPP思路：本题已知 模长，可对 进行变形得到更多条件：, 0，同理20 2OABCOABCOABCOAB ，从而可将所求式子中的向量均用 表示再进行计算即2 ,可。解： 220ABCABCABC高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -，代入2 2OABOC2ABOC可得： ，同理BPAPOBOCBOACPBPBAPAOBCOCBOACO 22618答案： 小炼有话说：（1）本题在处理 关系时，从 入手两边同时模长,OABCOABC平方，得到数量积的关系，这也是“向量等式数量积等式”的常见变形方法（2）在处理 关系时也可以通过数形结合，从 和,AB 0中发现 在图像上的特点，推断出两两夹角 从而计算2OC,AB 12出它们的数量积（3） 为动点，但从所求来看表达式有极大可能是一个定值，所以在应试时如果想不到正P规方法，也可以考虑利用特殊值进行处理，比如利用条件构造出一个特殊模型，即 为ABC等边三角形，且 是中心，然后再给 选择一个特殊位置（比如与 重合）计算出结果。OPO
