1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 15 炼 函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。一、基础知识：1、函数的单调性：设 的定义域为 ，区间 ，若对于 ，有fxDI1212,xIx，则称 在 上单调递增， 称为单调递增区间。若对于2fxfI，有 ，则称 在 上单调递减， 称为单调递减区间。11,Ix12ffxfxII2、导数与单调区间的联系（1）函数 在 可导，那么 在 上单调递增fx,abfx,ab,()0x
2、abfx，此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如： 的单调递增区间2fx为 ，而 ，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子0+， 0f为 在 处的导数为 0，但是 位于单调区间内。3fx,（2）函数 在 可导，则 在 上单调递减f,abfxab,()0xabfx，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由 的符，号能否推出 在 的单调性呢？如果 不是常值函数，那么便可由导数的符号对fx, fx应推出函数的单调性。 （这也是求函数单调区间
3、的理论基础）3、利用导数求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域（2）求出 的导函数fx()fx（3）令 （或 ） ，求出 的解集，即为 的单调增（或减）区间()0fx（4）列出表格高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集） 。另一方面通过定义域对 取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的x求解（2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式（3）一般可令 ，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆） ，若 不存在常()0fx fx值函数部分，那
4、么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）（4）若 的解集为定义域，那么说明 是定义域上的增函数，若 的解()f fx()0f集为 ，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么 是定义域上的减函数（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增增，减+减减， 增减，复合函数单调性同增异减1等。如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。5、求单调区间的一些注意事项（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例如函数 的单调减区间为 ，若写成 就出错了（0 不在定义域1yx0,内
5、）（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集 的符号。有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“ ”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。依然以 为例，如果写成 ，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两1yx0,0个变量，满足单调减的条件。由 性质可知，如果在 两个区间里各取一1yx0,个，是不满足单调减的性质的。6、二阶导函数的作用：几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于 而言，决定的是 的单调性。“fxfx当 时， 单调递增，意味着 随 的增大而增大，由于导数的几何意义0fxfxf高
6、考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -为切线斜率，故切线斜率 随 的增大而增大；同理，当 时， 单调递减，kx0fxfx则切线斜率 随 的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？kx单调增有三种： 其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同，所以如果说 是决定函数单调性的，那么 在已知单调性的前提下，能够告诉f fx我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。（1）当 ，其图像特点为： 我们称这样的函数为下凸函数“0fx（2）当 ，其图像特点为： 我们称这样的函数为上凸函数“代数意义：当通过 无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单fx调性，再看
7、能否利用条件判断符号。二、典型例题：例 1：下列函数中，在 上为增函数的是（ ）0,A. B. C. D. sin2fxxfe3fxlnfxx思路：本题只需分析各个函数在 上的单调性即可。A 选项 通过其图像, si2可知显然在 不单调；B 选项 ，当 时，0, 1xxfee0,，所以 在 单调递增；C 选项fxfx0,可得 在 单调递减，在 单调2331=f fx30,3,递增；D 选项 ，可得 在 单调递增，在 单调递减。 1xfxf,11,综上，B 符合条件答案：B例 2：函数 的单调递增区间是（ ）21log4fxA. B. C. D. 0,02,2思路：先分析 的定义域： ，再观察解
8、析式可得fx24xx可视为函数 的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，fx12log,yt高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -可分别分析两个函数的单调性，对于 而言， 对 是减函数。所以如要求得增区间，12logytyt则 中 对 也应为减函数。结合定义域可得 的单调增区间为 24txtxfx,2答案：D例 3：求函数 的单调区间（2009 宁夏，21 题（1） ）323xf e思路：第一步：先确定定义域， 定义域为 ，fR第二步：求导： 232()63x xfxee,393e第三步：令 ,即()0fx0xxe第四步：处理恒正恒负的因式，可得 3第五步：求解
9、,列出表格3,x,00,33,()fx AAAA例 4：求函数 的单调区间ln2fxx解：定义域 0,2 21 =2 xxxfx 0,0,2令导数 解得： （通过定义域大大化简解不等式的过程）fx2xx0,2,()fx高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -fxAA例 5：求函数 的单调区间2lnf解： 12 32llln4lxxxf 令 ，即解不等式 ，解得0fln04l1xe的单调区间为xx,14,e4,fx 例 6：求函数 的单调区间()1lnf思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析解： ，当 时， 为减函数l,1n01xf x
10、0,1lnfxx当 时， ,f1x0f在 单调递增fx综上所述： 在 单调递减，在 单调递增f0,1,小炼有话说：（1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。（2）本题在 时，利用之前所学知识可直接判断出 单调递减，从而简化步骤。0,1xfx导数只是分析函数单调性的一个工具，若能运用以前所学知识判断单调性，则直接判断更为简便例 7：（1）若函数 在区间 单调递增，则 的1ln0,xfxaa1,+a取值集合是_高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -（2）若函数 的递增区间是 ，则 的取值集1ln0,xfxa
11、a1,+a合是_解：（1）思路： ，由 在 单调递2 2211xfxaxafx,增可得： ， 。12 220f2max1aa（2）思路： 的递增区间为 ，即 仅在 单调递增。fx1,+fx1,+令 ，若 ，则 单调递增区间为 2200afaxfx不符题意，若 ，则 时， 。所以,10f21a答案：（1） ， （2）a小炼有话说：注意两问的不同之处，在（1）中，只是说明 在区间 单调递增，fx,+那么 也可以在其他区间单调递增，即 是增区间的子集。而（2）明确提出单调fx1,+增区间为 ，意味着 不再含有其他增区间， 为单调区间的分界点，从而满,+fx1x足条件的 只有一个值。要能够区分这两问在
12、叙述上的不同。a例 8： ，若 在 上存在单调递增区间，则 的取值321fxxafx2,3a范围是_思路： ，有已知条件可得： ，使得 ，即 2fxa2,+3x0fx，只需 ，而 ，所以21a2min1x221139y9答案： 1a小炼有话说：（1）已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -成为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数 单调递增（减）fx时，其导函数 （ ） ，勿忘等号。0fx（2）在转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别，例如：若把例 6 的条件改为“在 上存在单
13、调递增区间” ，则在求解的过程中，靠不等式能成立问题的2,3解法解出的 的范围时 ，但当 时，满足不等式的 的解仅有 ，不能成a1919ax23为单调区间，故 舍去，答案依然为例 9：设函数 （其中 是自然对数的底数） ，若 在其定义域内2lnpfxxefx为单调函数，求实数 的取值范围思路：条件中只是提到 为单调函数，所以要分单调增与单调减两种情况考虑。无非就f是 恒成立或 恒成立，进而求出 的范围即可0fx0xp解： 2p若 在 单调递增，则 恒成立fx, 20fxx即 22 211pp，设 2max2xh则 211hx1p若 在 单调递减，则 恒成立fx0, 20pfxx即 2211pp
14、，设 2minx2xh高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -则 ，且当 或 时， 201xh0x0hx0p综上所述： 或10p例 10：若函数 在区间 内单调递增，则 取值范3log0,1afxxa,02a围是( )A B C D1,43,149,491,4思路：先看函数 的定义域，则 在 恒成立，fx30xa1,22ax可看成是由 的复合函数，故对 进行分类讨论。当 时，fx3log,ayu 1单调递增，所以 需单调递增，logayux，与 矛盾；当 时， 单调递减，22min3030x1a01alogayu所以 需单调递减， ua22min34uxx,1答案：B小炼有话说：（1）在本题中要注意参数对定义域的影响。单调区间是定义域的子集，所以在求参数范围时要满足定义域包含所给区间。这可能会对参数的取值有所限制。也是本题的易错点（2）对于指数结构与对数结构的函数（如本题中的 ） ，可分别分析底数与 1 的大小fx（对数的增减性）与真数的单调性，然后判断整个函数的单调性。理论依据为复合函数的单调性特点（同增异减） ，故本题对底数 以 1 为分界点分类讨论，并依此分析真数的情况。a
